1/ 43 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ Trường THCS Ngô Sĩ Liên Đề cương ôn tập học kỳ II – Toán 8 Năm học: 2017-2018 Dạng 1: Rút gọn biểu thức Bài 1. Cho biểu thức 2 2 5 1 3 6 2 x A x x x x + = − + + + − − a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A > 0 c) Tìm x để A nguyên dương. Bài 2. Cho các biểu thức 2 2 2 2 1 x x A x + = − và 2 1 2 1 3 2 2 x x B x x x − + = + − + − a) Rút gọn biểu thức A, B; b) Tính giá trị của A khi x − = 2 3; c) Tính C = A – B; d) Tìm x để C . Bài 3. Cho biểu thức 2 2 1 3 11 3 3 9 x x x A x x x + − = + + + − − và 3 1 x B x − = + với 0 9. x a) Rút gọn A; b) Với P = A.B, tìm x để 9 . 2 P = c) Tìm x để B < 1 d) Tìm số nguyên x để P = A.B là số nguyên. Bài 4. Cho biểu thức 2 3 1 3 1 1 x x A x x − + = − − − và 2 2 2 1 x B x x + = + + với 0 9. x a) Rút gọn A; b) Biết P = A: (1 - B). Tìm x để P 1. Bài 5. Cho biểu thức 2 2 1 3 1 2 1 : 1 1 1 1 x x x x P x x x x − + + = − − + − − − a) Rút gọn P; b) Tìm các giá trị của x để 3 . 1 P x = − c) Tìm các giá trị nguyên của x để A > 1 Bài 6. Cho biểu thức ( ) 2 2 5 50 5 2 10 2 5 x x x x P x x x x + − − = + + + + a) Tìm điều kiện xác định của P; b) Rút gọn biểu thức P. c) Tìm các giá trị của x để 1 0; . 4 P P = = d) Tìm các giá trị của x để P > 0; P < 0. 2/ 43 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ Bài 7. Cho biểu thức 2 2 5 2 : 3 2 5 3 2 3 1 x P x x x x = − + − + − − a) Rút gọn P. b) Tính giá trị của P khi x thỏa mãn 2 1 3 x − = c) Tìm x để P > 1 d) Tìm x nguyên để P nguyên. Bài 8. Cho biểu thức 2 2 3 2 1 2 1 : 1 1 1 x x A x x x x x = + − + − + − − a) Rút gọn A. b) Tính giá trị của A tại 1 . 2 x = − c) Tìm x để A< 1 d) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. Dạng 2: Phương trình và bất phương trình Bài 1. Giải các phương trình sau: a) 5 6 4 3 2 − − = − ( ) ( ) x x d) 3 2 3 1 5 2 2 6 3 x x x + + − = + b) ( ) 2 3 4 25 2 8 300 − − = + − x x x x e) 2 2 8 1 7 5 6 3 x x x x − + − − + = + c) 5 2 8 1 4 2 5 6 3 5 x x x + − + − = − f) 2 3 ( ) 13 4 2 7 21 x x x − + − + = Bài 2. Giải các phương trình sau: a) 2 3 5 3 0 x x x ( ) ( ) − + − = d) 2 x x − + = 5 6 0 b) ( ) ( ) ( ) 2 x x x − − − − = 4 2 3 2 0 e) 3 2 2 2 6 3 x x x x + = + c) ( ) ( ) 2 2 2 5 2 x x + = + f) 2 1 1 x x 2 8 0. x x + + + − = Bài 3. Giải các phương trình sau: a) ( ) ( ) 1 5 15 x x x x 1 2 1 2 − = + − + − d) 2 3 2 1 3 2 1 1 1 x x x x x x − = − − + + b) 2 1 5 2 2 2 4 x x x x x x − − − = + − − e) ( ) 2 7 5 1 1 8 4 8 2 2 8 16 x x x x x x x x − − + = + − − − c) 2 2 2 5 5 25 5 2 10 2 50 x x x x x x x x + − + − = − + − f) 2 2 2 2 1 1 x x x x x x 3 2 5 6 4 3 + = + + + + + + Bài 4. Giải các phương trình sau: a) x − = 5 3 c) 2 1 1 x x + = − b) − = − 5 3 16 x x d) 2 1 5 2 3 x x + − − = 3/ 43 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ Bài 5. Giải các bất phương trình sau rồi biểu diễn tập nghiệm trên trục số: a) ( )2 2 x x x − − + 3 5 4 f) 2 x x − + 4 3 0 b) ( ) ( ) ( )2 x x x − + + + 3 3 2 3 g) 3 2 x x x − + − 2 3 6 0 c) 4 5 7 3 5 x x − − h) 2 0 5 x + d) 2 1 3 5 4 1 3 2 3 4 x + − + x x + − i) 2 0 3 x x + − e) 5 3 2 1 2 3 5 5 4 2 x x x − + − + − k) 1 1 3 x x − − Dạng 3: Giải bài toán bằng cách lập phương trình Bài 1. Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 40km/h. Khi quay trở về A người đó tăng vận tốc thêm 5km/h nên thời gian về hết ít hơn thời gian đi 40 phút. Tính quãng đường AB? Bài 2. Lúc 6 giờ, một ô tô xuất phát từ A đến B với vận tốc trung bình 40km/h. Khi đến B, người lái xe làm nhiệm vụ giao nhận hàng trong 30 phút rồi cho xe quay trở về A với vận tốc trung bình 30km/h. Tính quãng đường AB, biết rằng ô tô về đến A lúc 10 giờ cùng ngày. Bài 3. Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24km. Một giờ sau, một người đi xe máy từ A và đến B trước người đi xe đạp 20 phút. Tính vận tốc của mỗi xe, biết vận tốc của xe máy gấp 3 lần vận tốc xe đạp. Bài 4. Một ô tô đi từ A đến B cách nhau 90 km trong một thời gian nhất định. Khi đi được 1 giờ người đó dừng lại nghỉ 15 phút. Trên quãng đường còn lại người đó phải tăng vận tốc them 10 km/h để đến B đúng dự định. Tính vận tốc ban đầu của ô tô? Bài 5. Một người đi từ A đến B với vận tốc 9km/h. Khi đi từ B trở về A người đó chọn đường khác dài hơn đường cũ 6km, và đi với vận tốc lớn hơn lúc đi là 3km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 20 phút. Tính chiều dài quãng đường AB. Bài 6. Lúc 8h30’ một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40km/h, đến 10h cùng ngày một người khác đi xe máy từ B đến A với vận tốc 60km/h. Hỏi hai người gặp nhau lúc mấy giờ, biết rằng họ gặp nhau tại chính giữa quãng đường. Bài 7. Hai ca nô khởi hành cùng một lúc chạy từ A đến B. Ca nô thứ nhất chạy với vận tốc 20km/h, ca nô thứ hai chạy với vận tốc 24km/h. Trên đường đi, ca nô thứ hai dừng lại 40 phút để sửa xong vẫn đến B cùng một lúc với ca nô thứ nhất. Tính chiều dài quãng song AB. Bài 8. Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B hết 1 giờ 10 phút và đi ngược dòng từ B về A hết 1 giờ 30 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B, biết vận tốc của dòng nước là 2km/h. 4/ 43 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ Bài 9. Một tổ may áo theo kế hoạch mỗi ngày phải may 30 áo. Tổ đã may mỗi ngày 40 áo nên đã hoàn thành trước thời hạn 3 ngày, ngoài ra còn may them được 20 chiếc áo nữa. Tính số áo mà tổ đó phải may theo kế hoạch. Bài 10. Một đội đánh cá dự định mỗi tuần đánh bắt 20 tấn cá, nhưng mỗi tuần đã vượt mức 6 tấn nên chẳng những hoàn thành kế hoạch sớm một tuần mà còn vượt mức đánh bắt 10 tấn. Tính mức cá đánh bắt theo kế hoạch? Bài 11. Hai tổ sản xuất phải dệt 140 áo len. Trong thực tế tổ 1 đã vượt mức 10% kế hoạc của mình, tổ 2 vượt mức 5 % kế hoạch của mình nên cả hai tổ đã dệt được 150 áo len. Hỏi theo kế hoạch mỗi tổ phải dệt được bao nhiêu áo len? Bài 12. Hai công nhân cùng làm chung một công việc dự định trong 12 giờ sẽ hoàn thành xong công việc. Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì người thứ nhất chuyển đi làm việc khác, người thứ hai phải làm nốt công việc trong 10 giờ. Hỏi nếu người thứ hai làm một mình thì bao lâu sẽ hoàn thành xong công việc. Bài 13. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì đầy trong 3 giờ 20 phút. Người ta cho vòi thứ nhất chảy 3 giờ và vòi thứ hai chảy 2 giờ thì được 4 5 bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì trong bao lâu mới đầy bể? Bài 14. Hai giá sách có 450 cuốn. Nếu chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách ở giá thứ nhất bằng 5 4 số sách ở giá thứ hai. Tính số sách ban đầu của mỗi giá. Dạng 4: Bài tập hình học. Bài 1. Cho góc xAy. Trên tia Ax lấy 2 điểm B và C sao cho AB = 8cm, AC = 15cm. Trên tia Ay lấy 2 điểm D và E sao cho AD = 10cm, AE = 12cm. a) CMR: ABE và ADC đồng dạng; b) CMR: AB.DC = AD.BE; c) Tính DC, biết BE = 10cm; d) Gọi I là giao điểm của BE và CD. CMR: IB.IE =ID.IC. Bài 2. Cho ABC nhọn có hai đường cao BF, CE cắt nhau tại H. Tia AH cắt BC tại D. a) Chứng minh: AEC và AFB đồng dạng; b) Chứng minh AE.AB = AF.AC rồi từ đó suy ra AEF đồng dạng với ACB. c) Chứng minh: BDH đồng dạng BFC và BH.BF + CH.CE = BC. d) Vẽ DM AB ⊥ tại M, DN AC ⊥ tại N. Chứng minh MN //EF. Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại B, đường cao BH. Cho AB = 15cm, BC = 20cm. a) Chứng minh: CHB CBA b) Chứng minh: 2 AB AH AC = . c) Tính độ dài AC, BH. d) Kẻ HK AB ⊥ tại K, HI BC ⊥ tại I. Chứng minh BKI BCA e) Kẻ trung tuyến BM của ABC cắt KI tại N. Tính diện tích BKN. 5/ 43 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ Bài 4. Cho hình bình hành ABCD, AC là đường chéo lớn. kẻ CE vuông góc với AB taị E, CF vuông góc với AD tại F, BI vuông góc với AC tại I. a) Chứng minh tam giác AIB đồng dạng với tam giác AEC. b) Chứng minh tam giác AIE đồng dạng với tam giác ABC. c) Chứng minh AB.AE + AF.CB = 2 AC . d) Tia BI cắt đường thẳng CD tại Q và cắt cạnh AD tại K. Chứng minh 2 BI IK IQ = . Bài 5. Cho hình chữ nhật ABCD có các cạnh AB = 4cm, BC = 3cm. Qua B vẽ đường thẳng vuông góc với BD cắt DC tại E. a) Chứng minh tam giác BDC đồng dạng với tam giác EDB, từ đó suy ra 2 DB DC DE = . ; b) Tính DB, CE; c) Vẽ CF vuông góc với BE tại F. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Nối OE cắt CF tại I và cắt BC tại K. Chứng minh I là trung điểm của đoạn CF. d) Chứng minh rằng: ba điểm D,K,F thẳng hàng. Bài 6: Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Đường vuông góc AB tại B và đường vuông góc với AC tại C cắt nhau tại K. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: a) Chứng minh ADB AEC và AED ACB ; b) Chứng minh: HE.HC = HD.HB; c) Chứng minh H, M, K thẳng hàng và góc AED bằng góc ACB. d) AH cắt BC tại O. Chứng minh: BE.BA + CD.CA = 2 BC . e) Chứng minh 1; HO HD HE AO BD CE + + = f) Chứng minh H là giao điểm các đường phân giác của tam giác ODE. g) Cho góc 0 ACB = 45 , gọi P là trung điểm của DC. Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với BP tại I và cắt CK tại N. Tìm tỉ số diện tích của tứ giác CPIN và diện tích tam giác DCN. h) Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác BHCK là hình thoi? Hình chữ nhật? Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH và trung tuyến AM. Kẻ MF vuông góc với AC tại F, FD vuông góc MC tại D. Phân giác góc C cắt FD, MF lần lượt tại I và K. Kẻ ME vuông góc với AB tại E. a) Chứng minh CD CI DI CF CK FI = = và IF ; = KF b) Tứ giác AEMF là hình gì? c) Chứng minh AHC MFC và AH.EB = HB.ME; d) Chứng minh MF.AB = MF.AC; e) Chứng minh BH.BC = 2 4 . AE 6/ 43 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại C (CA < CB). Lấy điểm I bất kì trên cạnh AB. Trên nửa mặt phẳng AB chứa C, kẻ tia Ax, By cùng vuông góc với AB. Đường vuông góc với IC cắt Ax, By lần lượt tại M và N. a) Chứng minh tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBN. b) Chứng minh AB.NC = IN.CB. c) Chứng minh góc MIN là góc vuông. d) Tìm vị trí của điểm I để diện tích tam giác IMN gấp hai lần diện tích tam giác ABC. Bài 9. Cho hình thang cân MNPQ (MN//PQ, MN < PQ), NP = 15cm, đường cao NI = 12cm, QI =16cm. a) Tính IP; b) Chứng minh QN NP ⊥ ; c) Tính diện tích hình thang MNPQ; d) Gọi E là trung điểm của PQ. Đường thẳng vuông góc EN tại N cắt đường thẳng PQ tại K. Chứng minh rằng: 2 KN KP KQ = . Bài 10. Cho tam giác nhọn ABC, H là trực tâm, G là trọng tâm, O là giao điểm các đường trung trực của tam giác. Chứng minh rằng: H, G, O thẳng hàng và HG = 2GO. Bài 11. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH với AB = 12cm, BC = 9cm, AE = 10cm. a) Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH. b) Gọi I và O lần lượt là tâm đối xứng của hình chữ nhật EFGH và ABCD. Đường thẳng OI song song với những mặt phẳng nào? c) Chứng tỏ rằng hình chóp I.ABCD có các cạnh bên bằng nhau nhưng không phải hình chóp d) Tính diện tích xung quanh của hình chóp I.ABCD. Dạng 5: Một số bài tập nâng cao. Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1) 2 2 2 a b c ab bc ca + + + + 2) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 3 a b c a b c ab bc ca + + + + + + \\ 3) ( ) ( ) 2 a b c a b c + + − 4 4) a) ( )2 2 2 x y x y a b a b + + + ( ) a b 0; 0 b) ( )2 2 2 2 x y z x y z a b c a b c + + + + + + (abc 0; 0; 0) c) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 ax+by + + a b x y 5) Với a, b, c là các số thực thỏa mãn a b c ab bc ca + + + + + = 6. Chứng minh rằng 2 2 2 abc + + 3. 7/ 43 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ Bài 2. Cho 2 5 . 3 3 a b b a A a b a b − − = + − + Tính giá trị của biểu thức A, biết b > a >0 và 2 2 10 3 0. a b ab − + = Bài 3. Cho x, y thỏa mãn ( ) ( ) ( ) 2 x y x y + = − + 2 2 . Tính giá trị biểu thức 2 2 A x y = + . Bài 4. Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của các biểu thức sau: 1) 2 6 4 4 3 A x x = + + 2) 2 4 6 4 B x x − = + + 3) 2 2 3 3 2 1 x x C x x − + = − + (cho x 1 ) 4) ( ) 1 D x x 4 x = + 5) 2 12 34 2 x Q x + = + 6) E x x x = − + − + − + 1 2 2 3 4 Bài 5. 1) Cho a > 0; b > 0; c > 0 và a + b + c = 6. Tìm GTNN của 3 3 3 3 3 3 a b b c c a Q ab bc ca + + + = + + 2) Tìm GTNN của 2 2 A x y xy x y = + − − + + 4 600 Bài 6. Tìm m để hai bất phương trình sau tương đương: 5 1 2 12 2 mx x + − + ( ) 1; ( )( ) 2 x x + + 1 22 0 (2) 8/ 43 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ Hướng dẫn giải: Dạng 1: Bài 1. 2 2 5 1 3 6 2 x A x x x x + = − + + + − − Ta có: 2 2 x x x x x x x x x x + − = + − − = + − + = − + 6 3 2 6 ( 3) 2( 3) ( 2)( 3) Điều kiện xác định: x x − 2; 3 a) Rút gọn biểu thức A Có 2 5 1 3 ( 2)( 3) 2 x A x x x x + = − − + − + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 5 ( 3) 4 5 3 12 ( 3)( 2) 3 2 3 2 4 3 12 3 4 4 3 2 3 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + − − − + − − − − − − = = = + − + − + − − + − + − − = = = + − + − − Vậy với x x − 2; 3 thì 4 2 x A x − = − . b) Tìm x để A 0 Với x x − 2; 3 để A 0 => 4 0 2 x x − − .. Kết hợp điều kiện x x − 2; 3 4 2 3 x x x − Vậy với 4 2 3 x x x − thì A 0 . c) Tìm x để A + . Với x x − 2; 3. Ta có 4 2 2 2 1 2 2 2 x x A x x x − − − = = = − − − − . Để A + => ( ) 2 ( 2) (2) 2 1; 2 2 2 1 2 2 2 2 1 4 4 2 x U x x x x x x x x + − − − − = − − Ta có bảng: Vậy với x 0;1 Thì A + . x −2 −2 −1 1 2 x 0(chọn) 1(chọn) 3(loại) 4(loại) 9/ 43 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ Bài 2. 2 2 2 2 1 x x A x + = − 2 1 2 1 3 2 2 x x B x x x − + = + − + − Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 3 2 1 2 x x x x x x x − = − + − + = − − nên điều kiện xác định của AB; là x x 1; 2. a) Rút gọn biểu thức AB; . Với x x 1; 2 , ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 x x x x x A x x x x x + + === − + − + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 x x x x x x x B x x x x x x x x − + − + − − = + = = = − − − − − − − − b) Tính giá trị A khi x − = 2 3 . Với x x 1; 2 , ta có: 2 3 5( ) 2 3 2 3 1( ) x x tm x x x loai − = = − = − = − = − Thay x = 5 vào biểu thức A ta được 2.5 5 1 5 2 A − = = − . c) Tính C A B = − . Với x x 1; 2, ta có 2 2 3 1 1 1 1 x x x x x C A B x x x x + = − = − = = − − − − d) Tìm x để C . Với x x 1; 2 Nếu 3.0 0 0 1 0 x C = = = − Vậy x tm = 0( ) . Nếu x 0 3 3 3 1 3 ( ) 3 3 1 1 1 1 x x x C x x x x − − − − = = = = − − − − − − Để ( ) ( ) 3 3 3 1 (3) 1 1; 3 1 1 C x U x x x = − − = = − = − − − Ta có bảng: Vậy x − 2;0;4 thì C Bài 3. a) Với 0 9 x 2 2 1 3 11 3 3 9 x x x A x x x + − = + + + − − 2 2 1 3 11 3 3 9 x x x x x x + − = + − + − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 1 3 3 11 3 3 x x x x x x x − + + + − − = + − ( ) ( ) 2 2 2 6 3 3 11 3 3 x x x x x x x x − + + + − + = + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 9 3 3 3 3 3 3 3 3 x x x x x x x x x x + + === + − + − − . x −1 −3 −1 1 3 x −2 (chọn) 0 (chọn) 2 (loại) 4 (chọn) 10/ 43 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ b) Với 0 9 x , ta có: 3 3 3 . . 3 1 1 x x x P A B x x x − = = = − + + . Ta có ( ) 9 3 9 6 9. 1 3 9 0 3 2 1 2 x P x x x x x = = = + + = = − + (thỏa mãn) c) Với 0 9 x thì 3 1 1 3 1 3 1 1 x B x x x − − + − + (vô số nghiệm) d) 3 3 3 1 3 ( ) 3 1 1 1 x x P x x x + − = = = − + + + . Để P nguyên thì ( ) x + 1 Ư ( ) 3 + − − ( ) x x 1 1; 3 0; 2;2; 4 Bài 4. a) Với x 1 ( )( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 3 2 2 1 3 1 3 1 3 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x A x x x x x x x x x − + − + + + − − + = − = − = − − − − + + − + + ( )( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x − − === − + + − + + + + . b) Với x 1 thì ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 : 1 : 1 : 1 1 1 1 x x x x P A B x x x x x x x x + + + − + = − = − = + + + + + + + + 2 2 2 2 2 1 2 1 2 : . 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x − + + = = = + + + + + + − − . Để 2 1 1 1 2 3 1 P x x x − − (thỏa mãn). Bài 5. 2 2 x 1 x 3x 1 2x 1 P : x 1 x 1 1 x x 1 − + + = − − + − − − a) Điều kiện xác định: 1 x 1, x 2 − . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 3 1 2 1 : 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 . 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 1 1 . 1 1 2 1 2 2 1 1 . 1 1 2 1 2 1 x x x x P x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x − + + = − − + − − − − + + + − = − + + − + − + − + − + − − + + + − = + − + + − = = + − + + b) 3 2 3 P x 1 2x 1 x 1 = = − + − ( ) ( ) ( ) 5 2 x 1 3 2x 1 2x 2 6x 3 x TM 4 − − = + − = + = 11/ 43 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ c) 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 < 2 1 2 P x x x x x + − − − − + Kết hợp với điều kiện 1 x 2 < và 1 1, 2 x x − − . Bài 6. ( ) 2 2 5 50 5 2 10 2 5 x x x x P x x x x + − − = + + + + a) ĐKXĐ: x x − 0, 5 . b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 5 50 5 2 2 5 5 50 5 2 10 2 5 2 5 2 5 2 5 x x x x x x x x x x P x x x x x x x x x x + − − + + − − = + + = + + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 2 2 2 50 50 5 4 5 1 5 1 2 5 2 5 2 5 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x + + − + − + − − + − = = = = + + + c) ( ) 1 0 0 1 0 1 2 x P x x TM − = = − = = ( ) ( ) 1 1 1 3 4 1 2 4 4 2 4 6 4 2 4 2 x P x x x x TM − = = − = − = = = d) 1 0 0 1 0 1 2 x P x x − − , kết hợp với ĐK x 1. 1 0 0 1 0 1 2 x P x x − − , kết hợp với ĐK x 1 và x x − 0, 5 . Bài 7. a) Rút gon P Với 3 1; 2 x x , ta có: 2 2 5 2 : 3 2 5 3 2 3 1 x P x x x x = − + − + − − 2 5( 1) 3(1 ) 2 : (2 3).( 1) (2 3)(x 1) 1 1 2 (5 5) 3 3 2 : (2 3)( 1) 1 3 5 1 1 (2 3)( 1) 3 5 2 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x − − = − + − − − − − − − − − + = − − − − + − − = = − − − − b) Tính giá trị của P khi x thỏa mãn 2 1 3 x − = 2 1 3 x − = − = 2 1 3 x hoặc 2 1 3 x − = − = 2 4 x hoặc 2 2 x = − =x 2 hoặc x =−1 Với x = 2 thì 1 1 2.2 3 P − = = − − Với x =−1 thì 1 1 1 2.( 1) 3 5 5 P − − = = = − − − 12/ 43 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ c) Tìm x để P 1. 1 1 2 2 1 1 1 0 0 2 3 2 3 2 3 x P x x x − − − − − − − TH1: 2 2 0 1 3 2 3 0 2 x x x x x − − TH2: 2 2 0 1 3 3 1 2 3 0 2 2 x x x x x − − Vậy để P >1 thì 3 1 2 x d) Tìm x nguyên để P nguyên Để 1 2 3 x − − thì: 2 3 1 x − = hoặc 2 3 1 x − = − = 2 4 x hoặc 2 2 x = =x 2 (TMĐK) hoặc x =1 (KTMĐK) Vậy để P nguyên thì x = 2 Bài 8. a) Rút gọn A 2 2 3 2 1 2 1 : 1 1 1 x x A x x x x x = + − + − + − − 2 2 2 2 1 1 2 : 1 1 ( 1)( 1) x x x x x x + = − + − + − 2 2 2 2 2 2 1 1 2 : 1 ( 1)( 1) ( 1)( 1) x x x x x x x x + + = − + + − + − 2 2 2 2 2 1 ( 1) : 1 ( 1)( 1) x x x x x + − = + + − 2 2 2 2 2 1 ( 1)( 1) 1 ( 1) x x x x x + + − = + − 2 2 1 1 x x + = − b) Tìm giá trị của A tại 1 2 x − = Khi 1 2 x − = thì 2 1 2 1 2 1 1 1 2 A − + = = − − − c) Tìm x để A 1. 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 0 0 1 0 1. 1 1 1 x x x x x x x x x + + − + − − − − − 13/ 43 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ Dạng 2: Phương trình và bất phương trình Bài 1. a) 5 ( 6) 4(3 2 ) − − = − x x − + = − 5 6 12 8 x x 8 12 5 6 1 7 1 7 x x x x − + = − − = = Vậy phương trình có tập nghiệm 1 7 S = b) 2 3 4 (25 2 ) 8 300 − − = + − x x x x 2 2 − + = + − 3 100 8 8 300 x x x x − = − 101 303 x =x 3 Vậy phương trình có tập nghiệm S = {3} c) 5 2 8 1 4 2 5 6 3 5 x x x + − + − = − + − − = + − 5(5 2) 10(8 1) 6(4 2) 50 x x x + − + = + − 25 10 80 10 24 12 50 x x x 58 79 58 79 x x − − = = Vậy phương trình có tập nghiệm 58 79 S − = d) 3 2 3 1 5 2 2 6 3 x x x + + − = + 9 6 3 1 12 10 5 6 5 6 x x x x x + − − = + − − = = Vậy phương trình có tập nghiệm 5 6 S − = e) 2 5 8 1 7 5 6 3 x x x x − + − − + = + − − + + = + − 30 6(2 5) 5( 8) 210 10( 1) x x x x − + + + = + − 30 12 30 5 40 210 10 10 x x x x = 13 130 x =x 10 Vậy phương trình có tập nghiệm S= {10} f) 2( 3) 13 4 2 7 21 x x x − + − + = − − + = + 6 18 21 42 13 4 x x x − = − 28 20 x 5 7 = x Vậy phương trình có tập nghiệm 5 7 S = 14/ 43 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ Bài 2. a) 2 ( 3) 5( 3) 0 x x x − + − = − + = ( 3)(2 5) 0 x x 3 3 0 5 2 5 0 2 x x x x = − = − + = = Vậy phương trình có tập nghiệm 5 3; 2 S − = b) 2 ( 4) ( 2)(3 2 ) 0 x x x − − − − = − + − − − = ( 2)( 2) ( 2)(3 2 ) 0 x x x x 2 ( 2)(3 1) 0 1 3 x x x x = − − = = Vậy phương trình có tập nghiệm 1 2; 3 S = c) 2 2 (2 5) ( 2) x x + = + 2 2 (2 5) ( 2) 0 ( 3)(3 7) 0 3 3 0 7 3 7 0 3 x x x x x x x x + − + = + + = = − + = − + = = Vậy phương trình có tập nghiệm 7 3; 3 S − = − d) 2 x x − + = 5 6 0 2 − − + = x x x 2 3 6 0 − − − = x x x ( 2) 3( 2) 0 2 ( 2)( 3) 0 3 x x x x = − − = = Vậy phương trình có tập nghiệm S = 2;3 . e) 3 2 2 2 6 3 x x x x + = + 2 + − + = 2 ( 3) ( 3) 0 x x x x + − = x x x ( 3)(2 1) 0 0 3 1 2 x x x = = − = Vậy phương trình có tập nghiệm 1 0; 3; 2 S = − 15/ 43 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ f) 2 1 1 x x 2 8 0( 0) x x x + + + − = Đặt 1 x a x + = Khi đó phương trình trở thành: 2 a a + − = 2 8 0 2 4 2 8 0 ( 4) 2( 4) 0 ( 4)( 2) 0 4 2 a a a a a a a a a a + − − = + − + = + − = = − = +Với a = -4 1 x 4 x + = − 2 + + = x x4 1 0 2 + = ( 2) 3 x 3 2( ) 3 2( ) x tm x tm = + = − + +Với a =2 1 x 2 x + = 2 − + = x x2 1 0 2 − = ( 1) 0 x =x tm 1( ) Vậy phương trình có tập nghiệm S = − + + { 3 1; 3 1;1} Bài 3. Giải PT a) 1 5 15 x x x x 1 2 ( 1)(2 ) − = + − + − ĐK; x -1; x 2 => x x − − + = − 2 5( 1) 15 <=> x - 2 - 5x - 5 = -15 <=> -4x = -15 + 5 + 2 <=> -4x = -8 <=> x = 2 (không thoả mãn ĐK) Vậy PT đã cho vô nghiệm. b) 2 1 5 2 2 2 4 x x x x x x − − − = + − − ĐK: x 2 ; x −2. => (x - 1). (x - 2) - x(x + 2) = 2 - 5x <=> x 2 - 3x + 2 - x 2 - 2x = 2 - 5x <=> 0.x = 0 Vậy PT đã cho vô số nghiệm khác 2; -2 c) 2 2 2 5 5 25 5 2 10 2 50 x x x x x x x x + − + − = − + − ĐK: x 0; x -5; x 5 16/ 43 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ => 5 5 25 ( 5) 2 ( 5) 2( 5)( 5) x x x x x x x x x + − + − = − + − + <=> 2(x + 5)2 -(x - 5)2 = x.(x + 25) <=> 2x 2 + 20x + 50 - x 2 + 10x - 25 = x 2 + 25x <=> 5x = -25 <=> x = - 5 (không thoả mãn ĐK) Vậy PT đã cho vô nghiệm. d) 2 3 2 1 3 2 1 1 1 x x x x x x − = − − + + ĐK: x 1 => x 2 +x + 1 - 3x 2 = 2x(x - 1) <=> -2x 2 + x + 1 - 2x 2 + 2x = 0 <=> 4x 2 - 3x - 1 = 0 <=> (4x + 1)(x - 1) = 0 <=>[ 𝑥 = −1 4 (𝑇𝑀Đ𝐾) 𝑥 = 1(𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑇𝑀Đ𝐾) Vậy PT đã cho có tập nghiệm S = {−1 4 } e) 2 7 5 1 1 8 2 ( 2) 8 16 4 8 x x x x x x x x − − + = + − − − ĐK: x 0; x 2 =>7(x - 2) + 2(5 - x) = 4(x - 1) + x <=> 7x - 14+ 10 - 2x = 4x - 4 + x <=> 0.x = 0 Vậy PT đã cho vô số nghiệm khác 0; 2 f) 2 2 2 7 1 1 x x x x x x 3 2 5 6 4 3 + = + + + + + + <=> 7 1 1 ( 1)( 2) ( 2)( 3) ( 1)( 3) x x x x x x + = + + + + + + ĐK: x -1; x -2; x -3 => 7(x +3) + x + 1 = x + 2 <=> 7x + 21 + x + 1 - x = 2 <=> 7x = 20 <=> x = 20 7 (TMĐK) Vậy PT đã cho có tập nghiệm S = {20 7 } Bài 4. a)|𝑥 − 5| = 3 <=> [ 𝑥 − 5 = 1 𝑥 − 5 = −1 <=> [ 𝑥 = 6 𝑥 = 4 Vậy PT đã cho có tập nghiệm S = {4; 6} 17/ 43 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ b) |−5𝑥| = 3𝑥 − 16 ĐK: x ≥ 16 3 <=> [ −5𝑥 = 3𝑥 − 16 5𝑥 = 3𝑥 − 16 <=> [ −8𝑥 = −16 2𝑥 = −16 <=> [ 𝑥 = 2 𝑥 = −8 (𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑇𝑀Đ𝐾) Vậy PT đã cho vô nghiệm c) |2𝑥 + 1| = |𝑥 − 1| <=>[ 2𝑥 + 1 = 𝑥 − 1 2𝑥 + 1 = 1 − 𝑥 <=> [ 𝑥 = −2 𝑥 = 0 Vậy PT đã cho có tập nghiệm S = {-2;0} d) |2𝑥 + 1| − |5𝑥 − 2| = 3 Khi x ≤ −1 2 ta có: -2x - 1+ 5x - 2 = 3 <=> 3x = 6 <=> x = 2 (𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑇𝑀Đ𝐾) Khi −1 2 < x < 2 5 ta có: 2x + 1 + 5x - 2 = 3 <=> 7x = 4 <=> x = 4 7 (𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑇𝑀Đ𝐾) Khi x ≥ 2 5 ta có: 2x + 1 - 5x + 2 = 3 <=> -3x = 0 <=> x = 0 (𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑇𝑀Đ𝐾) Vậy PT đã cho vô nghiệm Bài 5. a) ( )2 2 x x x − − + 3 5 4 2 2 6 9 5 4 6 5 4 9 5 5 x x x x x x x x − + − + − + − − − KL: Vậy nghiệm của bất phương trình là x 5 b) ( ) ( ) ( )2 x x x − + + + 3 3 2 3 2 2 − + + + x x x 9 4 4 3 + 4 7 9 4 x x KL: Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x 4 c) 4 5 7 3 5 x x − − 5. 4 5 3. 7 ( ) ( ) 20 25 21 3 23 46 2 x x x x x x − − − − KL: Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x 2 18/ 43 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ d) 2 1 3 5 4 1 3 2 3 4 x + − + x x + − 6. 2 1 3.12 4. 3 5 3. 4 1 ( ) ( ) ( ) 12 6 36 12 20 12 3 12 20 12 12 3 6 36 44 33 3 4 x x x x x x x x x x x + + − − + + + − − − + + − − − − − KL: Vậy nghiệm của bất phương trình là 3 4 x − e) 5 3 2 1 2 3 5 5 4 2 x x x − + − + − 4. 5 3 5. 2 1 10. 2 3 100 ( ) ( ) ( ) 20 12 10 5 20 30 100 20 10 30 20 100 12 5 60 73 73 60 x x x x x x x x x x x − + + − − − + + − − + + − + − − − KL: Vậy nghiệm của bất phương trình là 73 60 x − f) 2 x x − + 4 3 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 0 . 1 3. 1 0 1 3 0 1 0 1 3 0 3 3 1 0 1 1 3 0 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x − − + − − − − − − − − − KL: Vậy nghiệm của bất phương trình là x 3 hoặc x 1 g) 3 2 x x x − + − 2 3 6 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 3 2 2 2 2 3 6 0 . 2 3. 2 0 2 3 0 x x x x x x x x − + − − + − − + ( ) x − 2 và ( ) 2 x + 3 phải cùng dấu, mà ( ) 2 x x + 3 0 − x x 2 0 2 KL: Vậy nghiệm của bất phương trình là x 2 19/ 43 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ h) 2 0 2 0 2 5 x x x + + − KL: Vây nghiệm của bất phương trình là x −2 i) 2 0 3 x x + − 2 0 2 2 3 3 0 3 2 0 2 (KTM) 3 0 3 x x x x x x x x x + − − − + − − KL: Vậy nghiệm của bất phương trình là − 2 3 x 1 ) 1 3 1 1 3 1 3 2 1 0 0 0 0 3 3 3 3 3 x k x x x x x x x x x x x − − − − − − − + − − − − − − − 2 và x −3 phải cùng dấu Mà 2>0 nên x x − 3 0 3 KL: Vậy nghiệm của bất phương trình là x 3 Dạng 3: Giải bài toán bằng cách lập phương trình Bài 1. Gọi thời gian người đó đi xe máy từ A đến B là x (giờ) ( 0) x . +) Thời gian về ít hơn thời gian đi 40 phút ( 40 phút 2 3 = giờ) nên thời gian về là: 2 x 3 − (giờ) +) Lúc đi từ A đến B xe đi với vận tốc trung bình 40 / km h nên quãng đường AB dài là: 40x (km) +) Lúc đi từ B về A , xe tăng vận tốc thêm 5km / h nên quãng đường AB dài là: 2 45 (km) x 3 − Ta có phương trình: 2 40 45 6 3 x x x = = − (TMĐK) Vậy quãng đường AB dài là 40.6 240(km) = Bài 2. Đổi 30 phút 1 2 = giờ. Gọi thời gian ô tô đi từ A đến B là x (giờ) ( 0) x . +) Thời gian ô tô đi từ A đến B rồi trở về A (không kể thời gian giao hàng) là: 10 giờ −6 giờ 1 2 − giờ 7 2 = giờ. => Thời gian ô tô đi từ B về A là: 7 2 − x (giờ) +) Ô tô đi từ A đến B với vận tốc 40km / h nên quãng đường AB dài là: 40 ( ) x km 20/ 43 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ +) Ô tô đi từ B về A với vận tốc 30km / h nên quãng đường AB dài là: 7 30( )( ) 2 − x km Ta có phương trình: 7 3 40x 30( x) 70x 105 x 2 2 = − = = (TMĐK) Vậy quãng đường AB dài là: 3 40. 60( ) 2 = km . Bài 3. Gọi vận tốc của xe đạp là x (km/h), x > 0 Vận tốc của xe máy gấp 3 lần vận tốc của xe đạp Vận tốc của xe máy là 3x (km/h) Quãng đường AB dài 24 km Thời gian xe máy đi từ A đến B là 24 8 3x x = (km/h) Thời gian xe đạp đi từ A đến B là 24 x (km/h) Xe máy đi sau xe đạp 1 giờ và đến B trước xe đạp 20 phút = 1 3 giờ, ta có phương trình 24 8 1 16 4 1 12( ) 3 3 x tm x x x − = + = = Vận tốc của xe máy là 12.3 = 36 (km/h) Vậy vận tôc của xe đạp là 12 km/h, vận tốc của xe máy là 36 km/h Bài 4. Gọi vận tốc ban đầu của ô tô là x (km/h), x > 0 Quãng đường AB dài 90km Thời gian dự định ô tô đi từ A đến B là 90 x (km/h) Sau 1 giờ, ô tô đi được 1x = x (km/h) Quãng đường còn lại của ô tô sau khi đi được 1 giờ là 90 – x (km) Vận tốc của ô tô tăng thêm 10 km/h Vận tốc của ô tô đi trên quãng đường còn lại là x + 10 (km/h) Thời gian ô tô đi trên quãng đường còn lại là 90 10 x x − + (giờ) Ô tô nghỉ 15 phút = 1 4 giờ và đến B đúng dự định Ta có phương trình: 2 90 1 90 90 5 90 90 410 90( ) 1 50 3600 0 4 10 4 10 4( 10) 40( ) x x x x ktm x x x x x x x x x tm − − + = − = + + = + = + − = + + + = Vậy vận tốc dự định của ô tô là 40 km/h 21/ 43 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ Bài 5. Gọi chiều dài quãng đường AB là: x ( 0, ) x km . Thời gian đi từ A đến B là: 9 x (giờ). Quãng đường người đó đi từ B về A dài là: x +6 (km). Vận tốc người đó đi từ B về A là: 9 3 12 + = (km/h). Thời gian đi từ B về A là: 6 12 x + (giờ). Vì thời gian về ít hơn thời gian đi 20 phút 1 3 h = nên ta có phương trình: 6 1 4x 3x 18 12 30( d ) 9 12 3 x x x tm k + − = − − = = Vậy quãng đường AB dài 30km. Bài 6. Từ 8h30’ đến 10h là 1h30’ 3 2 = h. Quãng đường người đi từ A – B đã đi được trong 1h30’ là: 3 40. 60 2 = (km) Gọi thời gian xe đi từ B về A đến chỗ gặp là: x ( 0) x (giờ) Quãng đường xe đi từ B về A đến chỗ gặp là: 60x (km) Quãng đưỡng xe đi từ A đến B đến chỗ gặp là: 60 40 + x (km) Vì hai xe gặp nhau ở chính giữa quãng đường AB nên ta có phương trình: 60x 40x 60 20x 60 3( d ) = + = =x tm k Vậy hai xe gặp nhau lúc: 10 3 13 h h h + = . Bài 7. Gọi chiều dài quãng đường AB là x (km, x 0 ). Thời gian ca nô thứ nhất đi từ A đến B là: 20 x (giờ). Thời gian ca nô thứ hai đi từ A đến B là: 24 x (giờ). Do ca nô thứ hai nghỉ 40 phút = 2 3 giờ nên ta có phương trình: 2 24 3 20 x x + = x = 40 (thỏa) Vậy quãng đường AB dài 40 km. Bài 8. Gọi vận tốc riêng của ca nô là: x (km/giờ, x 0 ). Vận tốc của ca nô khi đi xuôi dòng là: x + 2 (km/giờ). Vận tốc của ca nô khi đi ngược dòng là: x −2 (km/giờ). Ta có: 7 1 10' 6 3 1 30' 2 h h h h = = 22/ 43 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ Theo đề bài ta có phương trình: 7 3 (x 2). ( 2). 6 2 + = −x x =16 (thỏa mãn ĐK) Do đó quãng đường AB bằng: 7 7 ( 2). (16 2). 21 6 6 x + = + = (km) Vậy quãng đường AB dài 21 km. Bài 9. Gọi số áo mà tổ đó phải may theo kế hoạc là x (áo) * (x ) N Số áo mà tổ đó đã may trên thực tế là: x + 20 (áo) Thời gian tổ đó phải may theo kế hoạch là: 30 x (ngày) Thời gian thực tế tổ đó đã may là: 2 40 x + (ngày) Theo bài ra, ta có phương trình: 20 3 30 40 x x + − = 4 3( 20) 360 120 120 120 x x + − = − + = 4 3( 20) 360 x x − − = 4 3 60 360 x x =x 420 (thỏa mãn) Vậy số áo mà tổ đó phải may theo kế hoạch là 420 áo. Bài 10. Gọi số cá đội đánh cá phải đánh bắt theo kế hoạch là x (tấn) ( 0) x Số cá đội đánh cá đã đánh bắt trên thực tế là x +10 (tấn) Thời gian đội đánh cá phải đánh bắt theo kế hoạch là: 20 x (tuần) Thời gian thực tế đội đánh cá đã đánh bắt là: 10 10 20 6 26 x x + + = + (tuần) Theo bài ra, ta có phương trình: 10 1 20 26 x x + − = 13 10( 10) 260 260 260 260 x x + − = − + = 13 10( 10) 260 x x − − = 13 10 100 260 x x = 3 360 x =x 120 (thỏa mãn) Vậy số cá đội đánh cá phải đánh bắt theo kế hoạch là 120 (tấn) 23/ 43 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ Bài 11. Gọi số áo len tổ 1 phải dệt theo kế hoạch là x (áo) * (x ) N Số áo len tổ 2 phải dệt theo kế hoạch là 140− x (áo) Thực tế, tổ 1 đã dệt được 10 110 10% 100 100 x x x x x + = + = (áo) Thực tế, tổ 2 đã dệt được 5 105 (140 ) (140 ) (140 ) 100 100 − + − = − x x x (áo) Theo bài ra, ta có phương trình: 110 105 (140 ) 150 100 100 x x + − = + − = 110 105(140 ) 15000 x x + − = 110 14700 105 15000 x x = 5 300 x =x 60 (thỏa mãn) Vậy theo kế hoạch số áo len tổ 1 phải dệt là 60 (áo) Theo kế hoạch số áo len tổ 2 phải dệt là 140 60 80 − = (áo) Bài 12. Gọi thời gian người thứ hai làm một mình hoàn thành xong công việc là x (giờ) (x>12) 1giờ, người thứ hai làm được 1 x (công việc) Vì hai công nhân cùng làm chung một công việc dự định trong 12 giờ sẽ hoàn thành xong công việc nên 1giờ hai người làm chung được 1 12 (công việc) 4 giờ đầu hai người làm chung được 1 1 4 12 3 = (công việc) 10 giờ sau người thứ hai làm được 1 10 10 x x = (công việc) Theo bài ra, ta có phương trình: 1 10 1 3 x + = 10 2 x 3 = 10.3 15 2 = = x (thỏa mãn) Vậy nếu người thứ hai làm một mình thì 15 giờ sẽ hoàn thành xong công việc. Bài 13. Ta có: 3 giờ 20 phút = 10 3 giờ Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là x ( giờ) ( x 0 ). Trong một giờ vòi thứ nhất chảy được 1 x (bể). Trong một giờ cả hai vòi chảy được 10 3 1: 3 10 = (bể), vậy trong một giờ vòi hai chảy một mình được: 3 1 10 x − (bể). 24/ 43 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ Khi vòi thứ nhất chảy 3 giờ và vòi thứ hai chảy 2 giờ thì được 4 5 bể, ta có phương trình sau: 1 3 1 4 1 3 4 3. 2. x x x 10 5 5 5 + − = + = =x 5 (TMĐK) Vậy vòi một chảy một mình trong 5(giờ) thì đầy bể. Trong một giờ vòi hai chảy một mình được: 3 1 1 10 5 10 − = (bể). Vậy vòi hai chảy một mình trong 10 giờ thì đầy bể. Bài 14. Gọi số cuốn sách ban đầu ở giá thứ nhất là x (cuốn) ( x N * ) thì số cuốn sách ở giá thứ hai ban đầu là 450− x (cuốn). Số cuốn sách lúc sau ở giá thứ nhất là x −50 (cuốn). Số cuốn sách lúc sau ở giá thứ hai là 450 50 500 − + = − x x (cuốn). Vì nếu chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách ở giá thứ nhất bằng 5 4 số sách ở giá thứ hai nên ta có phương trình: ( ) 5 50 500 4 x x − = − 5 50 625 4 − = − x x 9 675 300 4 = = x x (TMĐK). Vậy số sách ở giá thứ nhất ban đầu là 300 cuốn. Số sách ở giá thứ hai ban đầu là 150 cuốn. Dạng 4: Các bài tập hình học. Bài 1. a) CMR ABE ADC Xét ABE và ADC ADC có: A chung 8 2 12 3 10 2 15 3 AB AE AD AC = = = = 2 3 AB AD AE AC = = Vậy ABE ADC (c-g-c) b) CMR AB DC AD BE . . = Vì ABE ADC (theo câu a) . . AB BE AB DC AD BE AD DC = = (đpcm). c) Tính DC biết BE cm =10 . Ta có AB BE AD DC = ( ) 8 10 12,5 10 DC cm DC = = y x 12 10 15 8 I A C E B D 25/ 43 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ d) CMR IB IE ID IC . . = Xét IBC và IDE Ta có BIC DIE = (đối đỉnh) BCI IED = (vì ABE ADC ) Suy ra IBC IDE (g-g) . . IB IC IB IE ID IC ID IE = = Vậy IB IE ID IC . . = (đpcm). Bài 2. a) Chứng minh: AEC AFB - Xét AEC và AFB : + A chung + ( ) 90 90 ( ) 90 CE AB gt CEA CEA BFA BF AC gt BFA ⊥ = = = ⊥ = AEC AFB (gg) b) Chứng minh: AE AB AF AC . . = rồi từ đó suy ra AEF ACB - Ta có AEC AFB AE AC AF AB = (cạnh tương ứng tỉ lệ) = AE AB AF AC . . - Xét AEF và ACB : + A chung + AE AB AF AC . . = (cmt) AE AF AC AB = AEF ACB (c.g.c) c) Chứng minh: BDH BFC và 2 BH BF CH CE BC . . + = - Xét ABC + BF và CE là đường cao (gt) + BF và CE cắt nhau tại H H là trực tâm của ABC (đ/l 3 đường cao trong tam giác) AH là đương cao AD là đường cao AD BC ⊥ - Xét BDH và BFC + BDH BFC = = 90 (BF AC AD BC ⊥ ⊥ ; ) + B chung BDH BFC (gg) BH BD BC BF = (cạnh tương ứng tỉ lệ) = BH BF BD BC . . (1) N M D E F H B A C 26/ 43 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ - Xét CHD và CBE + CEB DHC = = 90 (CE AB AD BC ⊥ ⊥ ; ) + B chung CHD CBE (gg) CH CD CB CE = (cạnh tương ứng) = CH CE CDCB . . (2) - Từ (1) và (2) ta có: ( ) 2 BH BF CH CE BD BC CD BC BC BD CD BC BC BC . . . . + = + = + = = . Vậy 2 BH BF CH CE BC . . + = . d) Vẽ DM AB ⊥ tại M , DN AC ⊥ tại N . Chứng minh MN EF / / - Ta có: ( ) ( ) ) / / / / CE AB gt CE MD HE MD MD AB gt + ⊥ ⊥ (định lí từ vuông góc đến song song) ( ) ( ) ) / / / / BF AC gt BF DN HF DN ND AC gt + ⊥ ⊥ - Xét AEH và AMD : HE MD / / (cmt) AEH AMD (định lí Talet) AE AH AM AD = (cạnh tương ứng tỉ lệ) - Xét AFH và AND : HF DN / / (cmt) AFH AND (định lí Talet) AF AH AN AD = (cạnh tương ứng tỉ lệ) - Vậy ; AF AH AE AH AN AD AM AD = = thì AF AE AN AM = EF MN / / ( định lí Talet đảo) Bài 3. a) Chứng minh CHB CBA. + Ta có BH AC ⊥ (gt) nên BHC vuông tại H . + Xét CHB và CBA ta có: 0 CHB CBA 90 = = Chung C − CHB CBA(g g). b) Chứng minh 2 AB AH.AC = . Xét BHA và CBA ta có: 0 AHB ABC 90 = = A chung − BHA CBA(g g) AB AH AC AB = (cặp cạnh tương ứng) 2 = AB AH.AC (đpcm). O N M I K H A B C 27/ 43 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ c) Tính độ dài AC,BH. - Áp dụng định lý Py-ta-go vào ABC vuông tại B ta có: 2 2 2 2 2 AC AB BC 15 20 625 = + = + = = AC 25cm - Ta có: 2 AB AH.AC = (chứng minh trên) 2 2 AB 15 AH 9cm AC 25 = = = - Theo ý a) và ý b), ta có: CHB CBA và BHA CBA nên: CHB BHA BH BC AH AB = BC.AH 20.9 BH 12cm AB 15 = = = . d) Chứng minh BKI BCA. - Ta có: CHB BHA (chứng minh trên) = BCH ABH (1) - Tứ giác BKHI có: 0 B K I 90 = = = nên là hình chữ nhật. = KI BH (tính chất hình chữ nhật) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo BH và IK = OB OK BOK cân tại O = BKI KBH (2) Từ (1),(2) BKI BCH = - Xét BKI và BCA có: BKI BCH = Chung B BKI BCA(g.g) . e) Tính diện tích BKN . – Ta có: BM là trung tuyến của ABC vuông tại B nên: BM AM = AMB cân tại M = BAC ABM Mà: BKI BCH = (cmt) và: 0 BAC BCH 90 + = 0 + = BKI ABM 90 (cmt) Suy ra: BKN vuông tại N . - Ta có: + KI BH 12cm = = + BK KI BKI BCA BC CA = BC.KI 20.12 BK 9,6cm CA 25 = = = 28/ 43 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ - Xét BKN và BCA có: 0 BNK ABC 90 = = BKN BCA = (cmt) BKN ACB (g.g) 2 2 BKN ACB S BK 9,6 92,16 S AC 25 625 = = = Mà: 2 ACB 1 1 S BA.BC .15.20 150cm 2 2 = = = 2 BKN ACB 92,16 92,16 S .S .150 22,1184cm 625 625 = = = . Bài 4. a) Chứng minh AIB ∽ AEC Xét AIB và AEC có: A là góc chung. 0 AIB AEC = = 90 Do đó: AIB AEC (g.g) b) Chứng minh AIE ABC Do AIB ∽ AEC AI AB AE AC = AI AE AB AC = Xét AIE và ABC có: A là góc chung. AI AE AB AC = Do đó: AIE ∽ ABC (c.g.c) c) Chứng minh: 2 AB.AE AF.CB AC + = Ta có: AI AE AB.AE AC.AI (1) AB AC = = Xét AFC và CIB có: FAC ICB = (so le trong). 0 AFC CIB 90 = = Do đó: AFC ∽ CIB (g.g) AF AC CI CB = AF AF. . (2) CI CB AC CI AC CB = = Từ (1) và (2) 2 + = + = + = AB AE CB AC AI AC CI AC AI CI AC . AF. . . .( ) F Q I E C A K D B 29/ 43 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ d) Chứng minh: 2 BI IK IQ = . Xét tam giác ABI có: / / (3) IQ IC AB QC IB IA = (Theo hệ quả định lí Ta-let) Xét tam giác BIC có: / / (4) IC IB BC AK IA IK = (Theo hệ quả định lí Ta-let) Từ (3) và (4) IQ IB IB.IB IK.IQ IB IK = = Vậy 2 BI IK.IQ = (đpcm) Bài 5. a) Chứng minh rằng: BDC đồng dạng với EDB từ đó suy ra 2 BD DC.DE = . Xét BDC và EDB có: BDC chung BCD DBE 90 = = => BDC đồng dạng với EDB (g.g) => BD DC DE BD = => 2 BD DC.DE = b) Tính DB,CE . Ta có: DCB vuông tại C => 222 BD BC DC = + => BD 5 cm = ( ) Ta có 2 BD DC.DE = => ( ) 2 BD 25 DE cm DC 4 = = Mà DE DC CE = + => ( ) 25 9 CE DE DC 4 cm 4 4 = − = − = c) Chứng minh được CE BD Xét EBO có: IF BO => IF EI BO EO = (hệ quả định lý Talet) Xét EDO có: IC DO => IC EI DO EO = (hệ quả định lý Talet) => IF IC BO DO = Mà BO DO = ( ABCD là hình chữ nhật) => IF IC = => I là trung điểm của đoạn CF . d) Chứng minh rằng ba điểm D,K ,F thẳng hàng. Xét BOK có CI BO => IK CI OK OB = (hệ quả đl Talet) K I O F D C E A B 30/ 43 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ Mà IC IF;OD OB = = => OK OD IK IF = Xét KOD và KIF có: ( ) OK OD DOK FIK BD CF ; IK IF = = => KOD đồng dạng KIF (c.g.c) => OKD IKF = => OKD DKE IKF DKE + = + => DKF 180 = => D,K ,F thẳng hàng. Bài 6. a) Chứng minh ADB AEC và AED ACB - Xét ADB và AEC , có: BAD chung 0 BDA CEA = = 90 ADB AEC (g-g) -Vì ADB AEC (chứng minh trên) AD AB AD AE AE AC AB AC = = - Xét AED và ACB , có BAD chung AD AE AB AC = (chứng minh trên) AED ACB (c-g-c) b) Chứng minh: HE HC HD HB . . = - Xét BHE và CHD , có BHE CHD = (đối đỉnh) 0 BEH CDH = = 90 − BHE CHD g g ( ) HB HE HC HD = (tính chất) = HE HC HD HB . . c) Chứng minh: H M K , , thẳng hàng và AED ACB = - Ta có ( ) ( ) / / BD AC gt BD CK CK AC gt ⊥ ⊥ hay BH CK / / 1( ) (từ ⊥ đến //) - Ta có ( ) ( ) / / B CE AB gt CE K BK AB gt ⊥ ⊥ hay CH K / / B 2( ) (từ đến //) 31/ 43 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ - Từ ( ) 1 và ( ) 2 BHCK là hình bình hanh BC và HK cắt nhau tại trung điểm mỗi đường Mà M là trung điểm của BC M cũng là trung điểm của HK Hay H, M, K thẳng hàng d) AH cắt BC tại O. Chứng minh 2 BE BA CD CA BC . . + = - Xét BAO và BCE , có ABC chung 0 BEC AOB = = 90 ( ) . ( ) / . . 3( ) BA BO BAO BCE g g t c BA BE BO BC BC BE = = Chứng minh tương tự ta có: ( ) . . 4( ) CD CB CDB COA g g CD CA BC CO CO CA − = = Từ ( ) 3 và ( ) 4 + = + = + = BE BA CD CA BC BO BC CO BC BO CO BC BC . . . . .( ) . 2 + = BE BA CD CA BC . . (đpcm). e) Chứng minh: 1 HO HD HE AO BD CE + + = - Ta có: 1 1 . . 2 2 1 1 . . 2 2 BHC BHC ABC ABC S HO BC HO BC S HO S AO S AO BC AO BC = = = = - CMTT: 1 .AC 2 1 BD.AC 2 AHC ABC HD S HD S BD = = Suy ra 1 .AB 2 1 CE.AB 2 AHB ABC HE S HE S CE = = 1( ) BHC AHC AHB BHC AHC AHB ABC ABC ABC ABC ABC ABC HO HD HE S S S S S S S AO BD CE S S S S S HO HD HE dpcm AO BD CE + + + + = + + = = + + = f) Chứng minh H là giao điểm của đường phân giác của tam giác ODE - Ta có = AED ACB cmt AED ACB ( ) (2 góc tương ứng).. - Do . . ( ) BE BO BA BE BO BC cmt BC BA = = 32/ 43 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ -Xét BEO và BCA , có: ABC chung ( ) BE BO cmt BC BA = = BEO BCA g g BEO ACB ( ) . 6( ) Từ ( ) 5 và ( ) 6 = AED BEO Ta có: 0 0 90 90 AED DEC DEC OEC BEO OEC + = = + = EH là phân giác của DOE CMTT: OH là phân giác của EOD Vậy H là giao điểm của đường phân giác của tam giác ODE g) Cho góc 0 ACB = 45 , Gọi P là trung điểm của DC. Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với BP tại I và cắt CK tại N. Tìm tỉ số diện tích của tứ giác CPIN và diện tích tam giác DCN - Xét vDIP và vDCN , có: Có PDI chung − vDIP vDCN g g ( ) 2 2 1 1 . 2 4 DIP DCN S DP S DC = = = Ta có: 1 3 1 1 . 4 4 CPIN DCN DIP DIP DCN DCN DCN S S S S S S S − = = − = − = Vậy tỉ số diện tích của tứ giác CPIN và diện tích tam giác DCN bằng 3 4 . h) Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác BHCK là hình thoi? Hình chữ nhật? - Giả sử BHCK là hình thoi = HBC HCB mà = ADB AEC ABD ACE + = + HBC ABD HCB ACE = ABC ACB ABC cân tại A Vậy ABC cân tại A thì BHCK là hình thoi - Giả sử BHCK là hình chữ nhật 0 0 = = BHC EHD 90 90 Xét tứ giác: AEHD , có 0 0 0 EHD AEH ADH = = = 90 , 90 , 90 AEHD là hình chữ nhật 0 = BAC 90 ABC vuông tại A Vậy ABC vuông tại A thì BHCK là hình thoi. 33/ 43 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ Bài 7. a) Xét ∆𝐶𝐷𝐼 và ∆𝐶𝐹𝐾 có: 𝐶𝐷𝐼 ̂ = 𝐶𝐹𝐾 ̂ = 900 𝐶𝐷𝐼 ̂ = 𝐾𝐶𝐹 ̂ (vì CK là tia phân giác góc FCM) Do đó ∆𝐶𝐷𝐼 ~ ∆𝐶𝐹𝐾 (g.g) ⇒ 𝐶𝐷 𝐶𝐹 = 𝐶𝐼 𝐶𝐾 (1) Xét ∆𝐶𝐷𝐹 có CI là đường phân giác của góc ACB nên theo tính chất đường phân giác trong tam giác ta có: 𝐶𝐷 𝐶𝐹 = 𝐷𝐼 𝐹𝐼 (2) Từ (1) và (2) suy ra 𝐶𝐷 𝐶𝐹 = 𝐶𝐼 𝐶𝐾 = 𝐷𝐼 𝐹𝐼 Vì ∆𝐶𝐷𝐼 ~ ∆𝐶𝐹𝐾 nên 𝐶𝐼𝐷̂ = 𝐶𝐾𝐹 ̂ , mà 𝐶𝐼𝐷̂ = 𝐾𝐼𝐹̂ . Do đó 𝐶𝐾𝐹 ̂ = 𝐾𝐼𝐹̂ ⇒∆𝐹𝐾𝐼 cân tại F ⇒ FI = FK. b) Tứ giác AEMF có 𝐴𝐸𝑀̂ = 900 (Vì 𝑀𝐸˔𝐴𝐵) 𝐸𝐴𝐹 ̂ = 900 (Vì ∆𝐴𝐵𝐶 vuông tại A); 𝐴𝐹𝑀̂ = 900 (Vì 𝑀𝐹˔𝐴𝐶) Do đó tứ giác AEMF là hình chữ nhật. c) Xét ∆𝐴𝐻𝐶 và ∆𝑀𝐹𝐶 có: 𝑀𝐹𝐶 ̂ chung; 𝐴𝐻𝐶 ̂ = 𝑀𝐹𝐶 ̂ = 900 Do đó ∆𝐴𝐻𝐶 ~ ∆𝑀𝐹𝐶 (g.g) Xét ∆𝐴𝐵𝐻 và ∆𝑀𝐵𝐸 có: 𝐵̂ chung; 𝐴𝐻𝐵 ̂ = 𝑀𝐸𝐵 ̂ = 900 Do đó ∆𝐴𝐵𝐻 ~ ∆𝑀𝐵𝐸 (g.g) ⇒ 𝐴𝐻 𝑀𝐸 = 𝐵𝐻 𝐵𝐸 ⇒ 𝐴𝐻. 𝐵𝐸 = 𝐵𝐻. 𝑀𝐸 d) Vì ∆𝐴𝐻𝐶 ~ ∆𝑀𝐹𝐶 nên 𝐴𝐻 𝑀𝐹 = 𝐴𝐶 𝑀𝐶 ⇒ 𝑀𝐹. 𝐴𝐶 = 𝐴𝐻. 𝑀𝐶 (3) Vì ∆𝐴𝐵𝐻 ~ ∆𝑀𝐵𝐸 nên 𝐴𝐵 𝑀𝐵 = 𝐴𝐻 𝑀𝐸 ⇒ 𝑀𝐸. 𝐴𝐵 = 𝐴𝐻. 𝑀𝐵 (4) Vì AM là đường trung tuyến của ∆𝐴𝐵𝐶 nên M là trung điểm của BC ⇒ 𝐵𝑀 = 𝑀𝐶 (5) Từ (3), (4), (5) ⇒ 𝑀𝐸. 𝐴𝐵 = 𝐴𝐻. 𝑀𝐵 e) Xét ∆𝐴𝐵𝐶 có M là trung điểm của BC; 𝑀𝐸 ∕∕ 𝐴𝐶 (Vì cùng vuông góc với AB). ⇒M là trung điểm của AB. ⇒ 𝐴𝐵 = 2𝐴𝐸 (6). Xét ∆𝐴𝐵𝐻 𝑣à ∆𝐶𝐵𝐴 có: 𝐵̂ chung; 𝐴𝐻𝐵 ̂ = 𝐵𝐴𝐶 ̂ = 900 Do đó ∆𝐴𝐵𝐻 ~ ∆𝐶𝐵𝐴 (𝑔. 𝑔) ⇒ 𝐴𝐵 𝐵𝐶 = 𝐵𝐻 𝐴𝐵 ⇒ 𝐴𝐵2 = 𝐵𝐻. 𝐵𝐶 (7) Từ (6), (7) ⇒ 𝐵𝐻. 𝐵𝐶 = (2𝐴𝐸) 2 hay 𝐵𝐻. 𝐵𝐶 = 4𝐴𝐸2 34/ 43 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ Bài 8. a) Chứng minh CBNCAI Ta có 0 ACI ICB 90 (do ABC + = vuông tại C ) 0 ICB BCN + = ⊥ 90 (doCI MN) Nên ACI BCN = (1) Ta lại có 0 CAB CBA ABC + = 90 (do vuông tại C ) 0 CBA CBN By AB + = ⊥ 90 (do ) Nên CAB CBN = (2) Từ (1) và (2) suy ra CAI CBN (g.g) b) Chứng minh AB NC NI CB . . = . Xét CAB và CIN , ta có: 0 90 (do N) ACB ICN CA CI CAI CB CN CB = = = Suy ra CAB CIN (c.g.c) AB CB IN CN = Vậy AB NC NI CB . . = c) Chứng minh góc MIN là góc vuông. Ta có CAB CIN (cmt) CAB CIN CIM MAC Mà 0 + MACCAB =900 +CIMCIN =90 Hay góc MIN là góc vuông d) Tìm vị trí của điểm I để diện tích IMN gấp hai lần diện tích tam giác ABC . 1 . 2 ABC S CACB = 1 1 . . 2 2 IMN S IM IN IC MN = = . . . . IMN ABC S IM IN IC MN S CACB CACB = = 2. IMN ABC S S = = IM IN CACB . 2 . Suy ra I là trung điểm AB. y x N M C B A I 35/ 43 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ Bài 9. a) Tính IP . Xét NIP có 0 NIP = 90 (NI là đường cao): 2 2 2 NP NI IP = + (Định lý Py – ta – go) 222 2 15 12 225 144 81 9( ) IP IP IP cm = + = − = = b) Chứng minh QN NP ⊥ Có QP QI IP = + = + = 16 9 25( ) cm Xét QNI có 0 QIN = 90 (NI là đường cao): 2 2 2 NQ NI IQ = + (Định lý Py – ta – go) 2 2 2 2 12 16 144 256 400 20( ) QN QN QN cm = + = + = = Xét QNP có: 2 2 2 2 2 2 QP QN NP = + = + (25 20 15 ) QNP vuông tại N ⊥ QN NP c) Tính diện tích hình thang MNPQ Kẻ MH QP ⊥ Có IH QP QH IP = − − = − − = 25 9 9 7( ) cm Xét QMH và PNI có: MQ NP = ( MNPQ là hình thang cân) 0 MHQ NIP = =( 90 ) MQH NPI = ( MNPQ là hình thang cân) = − QMH PNI (ch gn) = = QH IP cm 9 (2 cạnh tương ứng) Xét tứ giác MNIH có MN IH MH NI QP / / ; / / ( ) ⊥ tứ giác MNIH là hình bình hành = = MN IH cm 7( ) 2 ( ). (7 25).12 192( ) 2 2 MNPQ MN QP NI S cm + + = = = d) Gọi E là trung điểm của PQ . Đường thẳng vuông góc với EN tại N cắt PQ tại K . Chứng minh rằng 2 KN KP KQ = . . Xét QNP vuông tại N (cmt) có E là trung điểm của QP 1 2 H E I M Q N P K 36/ 43 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 1 2 = = = NE QE PE QP (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) QNE cân tại E = EQN N1 (tính chất tam giác cân) ( ) 1 Mặt khác, 0 1 1 2 0 2 90 90 N ENP N N N ENP + = = + = ( ) 2 Từ ( ) 1 và ( ) 2 = EQN N2 Xét KNQ và KPN có: K chung EQN N= 2 KNQ KPN g g ( . ) KN KQ KP KN = 2 = KN KP KQ . (đpcm). Bài 10: * Ta có AH // OM (cùng vuông góc với BC) MN // AB (chứng minh được MN là đường trung bình của ABC ) = BAH OMN (góc có cạnh tương ứng song song) * Chứng minh tương tự ta được ABH ONM = * Xét ABH và MNO có BAH OMN = ; ABH ONM = nên ABH đồng dạng với MNO AH AB OM MN = , mà 2 AB MN = ( tc đường trung bình MN) 2 AH OM = * Gọi giao điểm của HO với AM là G’, ta sẽ chứng minh G’ trùng với G. - Thật vậy ta có HAG G MO ' ' = (AH //OM); AG MG O 'H ' = ( đối đỉnh) nên AHG' đồng dạng với MOG' => ' ' 2 ' ' AG AH HG G M OM G O = = = => G’ là trọng tâm ABC , hay G G ' G’. Khi đó có H, G, O thẳng hàng và HG = 2 GO Bài 11. a) Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình hộp chữ nhật. Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là: ( ) ( ) 2 2. 12 9 .2.10 2.12.9 636 . tp xq d S S S = + = + + = cm Thể tích hình hộp chữ nhật là: ( ) 3 V AB AD AE = = = . . 12.9.10 1080 . cm G' O H N M B' A' A B C 12 9 10 AB cm BC cm AE cm = = = 37/ 43 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ b) Gọi I và O lần lượt là tâm đối xứng của hình chữ nhật EFGH và ABCD. Đường thẳng OI song song với những mặt phẳng nào? Ta có: - ABFE là hình chữ nhật suy ra AE BF / / và AE BF = (1) - BCFG là hình chữ nhật suy ra BF CG / / và BF CG = (2) Từ (1) và (2) suy ra: AE CG / / và AE CG = . Do đó ABGC là hình bình hành. Ta có: OA OC = và EI IG = OI là đường trung bình của hình bình hành AEGC . Nên OI AE CG / / / / . Mà AE mp AEHD ( ) Do đó IO mp AEHD / / ( ) Tương tự: IO mp BCGF / / ( ) , IO mp AEFB / / ( ), IO mp DCGH / / ( ) c) Chứng tỏ hình chóp I.ABCD có các cạnh bên bằng nhau nhưng không phải hình chóp đều. Ta có: IO AE AE AC IO AC / / ; ⊥ ⊥ . Tương tự ta có: IO OB ⊥ . Xét IOC và IOB có: IO chung 90o IOC IOB = = OC OB = (Do ABCD là hình chữ nhật) Suy ra = IOC IOB = IC IB. Tương tự: IA IB IC ID = = = Suy ra hình chóp I ABCD . có các mặt bên là tam giác cân. Mà ABCD là hình chữ nhật có AB BC Nên hình chóp I ABCD . không là hình chóp đều. d) Tính diện tích xung quanh của hình chóp I.ABCD. Xét ABC vuông tại B : 2 2 2 AC AB BC = + Suy ra ( ) 2 2 2 2 AC AB BC = + = + = 12 9 15 cm 7,5( ) 2 AC = = = OC OA cm . Xét OIC vuông tại O : 2 2 2 IC OC OI = + Suy ra ( ) 2 2 2 2 IC OC OI = + = + = 7,5 10 12,5 cm . Kẻ IK CB ⊥ . Xét ICB cân tại I có IK là đường cao suy ra IK là đường trung tuyến. 38/ 43 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ Nên ( ) 9 4,5 2 2 CB CH HB = = = = cm . Xét ICK vuông tại I : 2 2 2 IK CI CH = − ( ) 2 2 = − IK 12,5 4,5 11,66 . cm Diện tích xung quanh của hình chóp I ABCD . là: ( ) 1 2 4. 4. . 2.11,66.9 209,88 . 2 xq IBC S S IH BC = = = = cm Dạng 5. Một số bài tập nâng cao. Bài 1. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 a b c ab bc ca a b c ab bc ca a ab b b bc c c ca a + + + + + + + + − + + − + + − + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 − + − + − a b b c c a 0 (luôn đúng) Dấu “=” xảy ra = = abc ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2) 3 a b c a b c ab bc ca + + + + + + 3 Ta chứng minh: ( ) ( )2 2 2 2 3 a b c a b c + + + + 2 2 2 2 2 2 + + + + + + + 3 3 3 a b c a b c ab bc ca 2 2 2 2 2 2 + + + + 2 2 2 2 2 2 a b c ab bc ca ( ) ( ) ( ) 2 2 2 − + − + − a b b c c a 0 (luôn đúng) Ta chứng minh: ( ) ( ) 2 a b c ab bc ca + + + + 3 Theo trên ta có 2 2 2 a b c ab bc ca + + + + 2 2 2 + + + + + + + a b c ab bc ca ab bc ca 2 2 2 3 3 3 ( ) ( ) 2 + + + + a b c ab bc ca 3 Dấu “=” xảy ra = = abc ( ) ( ) 2 3) a b c a b c + − − 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 2 0 a a b c b c a b c a a b c b c + − + − − − − + − ( )2 − + a b c 0 (luôn đúng) 4a) ( ) ( ) 2 2 2 , 0 x y x y a b a b a b + + + Dùng phép biến đổi tương đương và a b, 0 ta có: 39/ 43 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 x y x y x b a b y a a b x y ab a b a b x ab x b y a y ab x ab xyab y ab x b xyab y a + + + + + + + + + + + + − + ( )2 − bx ay 0 (luôn đúng) Dấu “=” xảy ra x y bx ay a b = = 4b) ( ) ( ) 2 2 2 2 , , 0 x y z x y z abc a b c a b c + + + + + + Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 , , 0 x y z x y x y z z abc a b c a b c a b c + + + + + + + + + Dấu “=” xảy ra x y z a b c = = 4c) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ax by a b x y + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 a x abxy b y a x a y b x b y abxy a y b x a y b x abxy + + + + + + + − ( )2 − ay bx 0 (luôn đúng) 5) Với a,b,c là các số thực thỏa mãn a b c ab bc ca + + + + + = 6. Chứng minh 2 2 2 abc + + 3 Từ ( ) ( ) ( )2 2 3 3 abc a b c ab bc ca ab bc ca + + + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 6 3 3 18 0 6 3 0 3 6 abc ab bc ca a b c a b c a b c a b c a b c abc abc + + + + = − + + + + + + + − + + + + + − + + + + − ( )2 2 2 2 2 3 3 3 3 abc abc + + + + = Dấu “=” xảy ra = = = abc 1 Bài 2. Ta có: 2 2 2 2 10 3 0 10 6 5 3 0 a b ab a ab ab b − + = + − − = + − + = 2 5 3 5 3 0 a a b b a b ( ) ( ) − + = ( ) ( ) 2 5 3 0 a b a b − = 2 0 a b hoặc 5 3 0 a b + = 40/ 43 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ = 2a b hoặc 5 3 a b = − (không thỏa mãn do b > a > 0) Thay b a = 2 vào biểu thức A, ta được: 2 2 5.2 0 9 9 9 0 3 2 3 2 5 5 5 a a a a a A a a a a a a − − = + = + = + = − + Vậy 9 5 A = Bài 3. Từ đề bài: (x + y)2 = (x - 2).(y + 2) x 2 + 2xy + y2 = xy + 2x – 2y – 4 x 2 + xy + y2 – 2x + 2y + 4 = 0 2x2 + 2xy + 2y2 – 4x + 4y + 8 = 0 (x2 + 2xy + y2 ) + (x2 – 4x + 4) + (y2 + 4y + 4) = 0 (x + y)2 + (x - 2)2 + (y + 2)2 = 0 (*) Vì ( )2 2 2 0 ( 2) 0 ( 2) 0 x y xy x x y y + − + nên (*) 0 2 0 2 0 x y x y + = − = + = 2 2 x y = = − Do dó: A = 22 + (-2)2 = 8 Bài 4. Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của các biểu thức 1) 2 2 2 2 6 6 3 3 4 4 3 3 1 1 1 1 4 2 2. 2 1 4 2 4 2 2 A x x x x x x x = = = = + + + + + + + + + Ta có: 2 2 2 1 1 3 2 0, 2 1 1, 3, 3 2 2 1 2 1 2 x x x x x A x + + + + + Dấu “=” xảy ra 1 1 0 2 2 + = = − x x Vậy GTNN của A là 3 tại 1 2 x = − 2) ( ) 2 2 2 4 4 4 6 4 4 4 2 2 2 B x x x x x − − − = = = + + + + + + + Ta có: ( )2 x x + 2 0, ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 2 2 2 , 2 2 2, 2, 2 2 2 x x x x x B x − + + + + − − + + Dấu “=” xảy ra + = = − x x 2 0 2 Vậy GTNN của B là -2 tại x =−2 41/ 43 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 3) ( ) 2 2 3 3 1 2 1 x x C x x x − + = − + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x − + − + + − − − + = = = − + − − − + Đặt 1 1 y x = − 2 2 2 1 1 3 1 3 1 2. 2 4 4 2 4 C y y y y y = − + = − + + = − + Ta có: 2 2 1 1 3 3 0 2 2 4 4 y y y y − − + Dấu “=” xảy ra ( ) 1 1 1 1 0 1 2 3 2 2 1 2 y y x x TM x − = = = − = = − Vậy GTNN của C là 3 4 tại x = 3 4) 1 1 15 16 16 x x D x x x = + = + + Áp dụng bất đẳng thức cô – si cho hai số dương 16 x và 1 x ta có: 1 1 15 1 15 1 15 1 15 2 . 2 16 16 16 16 16 16 2 16 x x x x x x D x x x x = + = + + + = + = + Do x 4 nên 15 15.4 15 16 16 4 x = Suy ra 1 15 17 2 4 4 D + = Dấu “=” xảy ra ( ) ( ) 2 1 4 16 16 4 x x TM x x x KTM = = = = − Vậy GTNN của D là 17 4 tại x = 4 5) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 12 34 12 36 2 6 6 2 1 2 2 2 2 2 x x x x x x x Q x x x x x + + + − − + + + = = = − = − + + + + + Ta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 6 6 0 1 1 2 2 x x x x x x + + − − + + Dấu “=” xảy ra + = = − x x 6 0 6 Vậy GTNN của Q là −1 tại x =−6 6) E x x x = − + − + − + 1 2 2 3 4 E x x x x − + − + − + = − + 1 3 2 2 4 2 2 6 6 Dấu “=” xảy ra ( ) ( ) 1 3 0 1 3 2 2 0 2 x x x x x x − − = − = = Vậy GTNN của E là 6 tại x = 2 42/ 43 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ Bài 5. 1) Cho a > 0; b > 0; c > 0 và a + b + c = 6. Tìm GTNN của 3 3 3 3 3 3 a b b c c a Q ab bc ca + + + = + + 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 a b b c c a a b b c c a Q ab bc ca b a c b a c + + + = + + = + + + + + ( ) 2 2 2 2 2 2 2 a b b c c a b a c b a c a b c b a c b a c = + + + + + + + + + + + − + + Vì 2 2 2 2 2 2 0, 0, 0 0, 0, 0, 0, 0, 0. a b b c c a abc b a c b a c Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương 2 a b và b có: 2 2 2 2 . 2 2 . a a b b a a b b + = = Hoàn toàn tương tự ta có: 2 2 2 2 2 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 . b b c c a a b c b b c a c c a a c b a c + + + + + Suy ra Q a b c a b c a b c + + − + + = + + = = 4 2 ( ) ( ) ( ) 2 2.6 12. Dấu " " = xảy ra 2 2 ... 2. 6 a b a b b abc a c a c c abc = = = = = = = + + = Khi đó Q đạt GTNN bằng 12. 2) 2 2 A x y xy x y = + − − + + 4 600 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 16 2400 4 4 4 4 2 3 14 2400 7 49 49 4 2 2 2 1 3 2. 2400 1 3 9 3 7 7148 7148 4 2 1 3 3 3 3 A x y xy x y A x xy y x y y y A x y x y y y A x y y = + − − + + = − + − − + + + = − − − + + + + + − − = − − + + + Khi đó 7148 1787 : 4 3 3 A A Dấu bằng xảy ra 2 2 1 0 3 7 0 7 3 3 x y x y y − − − = = + = − = Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 1787 3 khi và chỉ khi 2 7 ; 3 3 x y − − = = 43/ 43 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ Bài 6. 5 1 2 12 2 mx x + − + (1) và 2 (x 1)(x 22) 0 + + (2) Ta có: 2 x 1 1, + x 2 + x 1 0, x (2) x 22 0 + − x 22 5 6(x 1) 24 (1) 12 12 12 mx + − + + + − mx x 5 6 6 24 + − + mx x6 24 5 6 + (m 6) x 25 - Trường hợp 1: 25 6 0 6 6 m m x m + − + - Trường hợp 2: 25 6 0 6 6 m m x m + − + (1) (2) 6 6 6 157 25 157 22 22(m 6) 25 22 6 22 m m m m m m − − − − = − = − − + = = + Vậy với 157 22 m − = thì hai bất phương trình đã cho tương đương.
0 Nhận xét