Đề cương toán 8- THCS Nguyễn Trường Tộ- Hà Nội 1 Sản phẩm được thực hiện vởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN - THCS ĐỀ CƯƠNG NGUYỄN TRƯỜNG TỘ- HỌC KÌ II NĂM HỌC 2018-2019 NỘI DUNG CHÍNH 1. Bài toán phân thức tổng hợp 2. Giải phương trình 3. Giải bài toán bằng cách lập phương trình 4. Giải bất phương trình 5. Tam giác đồng dạng 6. Bất đẳng thức Dạng 1: Bài tập tổng hợp về phân thức đại số Bài 1: Cho biểu thức: 3 2 3 2 8 2 4 4 A= . : 2 8 4 2 x x x x x x x x               a. Tìm ĐKXĐ của biểu thức A. Rút gọn A. b. Tìm x để A = 3 c. Tìm x để A < 1 d. Tính giá trị của A khi 1 2 x  Bài 2: Cho biểu thức: 2 2 2 2 3 2 4 1 B= : 2 1 1 4 2 1 4 1 x x x x x              a. Rút gọn B. b. Tính giá trị của B khi 2 3 x   . c. Chứng minh B<0 x thỏa mãn ĐKXĐ của B. d. Tìm giá trị nhỏ nhất của B. Bài 3. Cho biểu thức: 2 2 2 2 1 1 2 : 2 1 1 x x x x C x x x x x x                 a. Rút gọn biểu thức b. Tìm x để C 1 c. Tìm giá trị nhỏ nhất của C khi x 1 Bài 4. Giải các phương trình sau Đề cương toán 8- THCS Nguyễn Trường Tộ- Hà Nội 2 Sản phẩm được thực hiện vởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN - THCS a.        2 x x x x       2 3 3 4 2 4 b. 2 3 4x 5 x    c. 2 2 2x 1 7x 2 1 3 8 12 4 6     x x    d. 2 3 15 7 0 4 20 50 2 6 30 x x x       e. 2 x x    20 0 f.     2 x x x x x        1 5 3 2 4 g.     2 1 4 3 1 3 1 x x x x x x         h. 2 76 2 1 3 1 5 16 4 4 x x x x x         Bài 5. Giải các bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số: a) (x + 3)2 – 3(2x – 1)  x(x – 4) b) x2 – 3x + 4  0 c) 2 3 1 3 1 4 4 3 x x x x        d) 5 3 3 1 5 4 x x    Dạng 2 : Giải bài toán bằng cách lập phương trình. Bài 6. Một tổ sản xuất dụ định may 40 chiếc áo trong 1 ngày. Khi thực hiện tổ đã vượt mức dự định 12 chiếc sáo mỗi ngày. Vì vậy không những tổ hoàn thành sớm 2 ngày mà còn may thêm được 4 chiếc áo nữa. Tính số áo mà tổ phải may Bài 7. Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 50km/h. Sauk hi đi 2/3 quãng đường với vận tốc đó, người lái xe giảm tốc độ mỗi giờ 10km/h trên quãng đường còn lại, do đó đến B chậm hơn 30 phút so với dự định. Tính quãng đường AB. Bài 8. Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài gấp hai lần chiều rộng. Nếu tăng chiều rộng 3m và giảm chiều dài 5m thì diện tích của khu vườn không thay đổi. Tính chu vi của khu vườn lúc đầu. Bài 9. Hai người được giao làm một công việc. Nếu cùng làm chung thì hoàn thành trong 15 giờ. Nếu người A làm trong 5 giờ và người B làm trong 3 giờ thì làm được 30% công việc. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người cần bao nhiêu lâu để hoàn thành công việc. Bài 10: Trong tháng Giêng hai tổ công nhân may đươc 800 cái áo. Tháng Hai, tổ một vượt mức 15%, tổ hai vượt mức 20%, do đó cả hai tổ sản xuất được 945 cái áo. Tính xem trong tháng đầu mỗi tổ may được bao nhiêu cái áo? Dạng 3: Hình học Bài 11. Chu vi ABC cân tại A là 80cm . Đường phân giác của góc A và B cắt nhai tại I. AI cắt BC tại I. Cho 4 D 3 AI I  . Tính các cạnh của ABC . Đề cương toán 8- THCS Nguyễn Trường Tộ- Hà Nội 3 Sản phẩm được thực hiện vởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN - THCS Bài 12: ChoABC , lấy điểm D trên cạnh BC sao cho 1 2 BD DC  . Qua D vẽ đường thẳng song song với AB cắt AC tại E, vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB tại F. Cho M là trung điểm của AC. a) So sánh BF AB và AE AC . b) Chứng minh EF / / BM. c) Giả sử BD k DC  , tìm k để EF / / DC. Bài 13: Cho ABC vuông ở A, đường cao AH AB cm AC cm , 5 ; 12 .   Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB AC ; . a. Tính độ dài BC và DE b. Chứng minh   ADE ACB ~ c. Đường thẳng vuông góc với DE tại D và E cắt BC tại M và N. Chứng minh rằng M là trung điểm BH, N là trung điểm của CH. d. Chứng minh rằng: 2 2 2 BN CN AB   . Bài 14.Cho tam giác ABC có góc A tù. Ba đường cao của tam giác AM BP CN , , cắt nhau tại H ( M BC  , N thuộc tia BA , P thuộc tia CA ). a, Chứng minh BM BC BP BH . .  . b, Chứng minh     PAB NAC PAN BAC ~ ~ , . c, Chứng minh NA là tia phân giác của PNM  d, Gọi S là diện tích của tam giác BHC . Tính BC AH AB CH AC BH . . .   theo S . Bài 15: Cho tam giác ABC. Các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh: a/ BD. AE = AD . CE b/ Tam giác ADE đồng dạng với tam giác ABC. c/ Các đường thẳng vuông góc với AB tại B và AC tại C cắt nhau ở D’. Chứng minh: BHCD’ là hình bình hành. d/ Tìm điều kiện của tam giác ABC để ba điểm A, H, D’ thẳng hàng. Bài 16. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm; BC = 6cm. Vẽ đường cao AH của tam giác ADB. a) Chứng minh:  AHB đồng dạng với  BCD. b) Tính độ dài cạnh BD; AH; DH. c) Tính diện tích  AHB. Đề cương toán 8- THCS Nguyễn Trường Tộ- Hà Nội 4 Sản phẩm được thực hiện vởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN - THCS Bài 17. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB cm AC cm   36 , 48 . Gọi M là trung điểm của BC . Đường thẳng vuông góc với BC tại M cắt đường thẳng AC AB , theo thứ tự tại D và E . a) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác MDC b) Tính các cạnh của tam giác MDC c) Tính độ dài cạnh EC d) Tính tỉ số diện tích của hai tam giác MDC và ABC . Bài 18: Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O, ABC ACD  . Gọi E là giao điểm của hai đường AD và BC. Chứng minh: a)   AOB DOC  b)   AOD BOC  c) EA ED EB EC . .  Bài 19: Cho hình thang ABCD ( AB //CD ) có O là giao điểm của AC và BD . a) Chứng minh OAOD OB OC . .  b) Đường thẳng qua O vuông góc với AB và CD theo thứ tự tại H và K . Chứng minh OH AB OK CD  Bài 20. Cho hình bình hành ABCD có AB = 12cm, BC = 7cm. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho AE = 8cm. Đường thẳng DE cắt CB kéo dài tại F . a) Chứng minh   AED BEF ~ ,   BEF CDF ~ ,   AED CDF ~ . b) Tính độ dài các đoạn thẳng EF BF , . Biết DE = 10cm. c) Tính tỉ số hai đường cao, diện tích của hai tam giác   AED BEF ; . Bài 21. Cho ABC . D trên cạnh AB.Đường thẳng qua D song song với BC cắt AC tại E, cắt đường thẳng qua C song song với AB tại G. a) Chứng minh AD GE DE CG . .  . b) Nối BG cắt AC tại H. Chứng minh 2 HC HE HA  . c) Qua H kẻ đường thẳng song song với AB, cắt BC tại I. Chứng minh 1 1 1 IH AB CG   . Đề cương toán 8- THCS Nguyễn Trường Tộ- Hà Nội 5 Sản phẩm được thực hiện vởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN - THCS HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ CƯƠNG NGUYỄN TRƯỜNG TỘ Bài 1: a. ĐKXĐ: x  2                     3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 2 4 4 A= . : 2 8 4 2 2 2 4 2 4 4 A= . : 2 4 2 2 2 4 2 2 4 4 A= : 2 2 2 4 2 2 4 4 A= : 2 2 2 4 2 4 4 A= : 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                                                                                     2 2 2 2 2 2 2 4 2 A= . 2 4 2 2 4 2 A= . 2 4 1 A= 2 x x x x x x x x x x x x x                           b. Tìm x để A = 3. Khi đó ta có: 1 3 x 2    ; ĐKXĐ: x  2 1 3 2   3 7 7 (t/m) 3 x x x           c. Tìm x để A < 1. Khi đó ta có: 1 1 x 2    ; ĐKXĐ: x  2 Đề cương toán 8- THCS Nguyễn Trường Tộ- Hà Nội 6 Sản phẩm được thực hiện vởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN - THCS 1 2 2 2 1 2 3 (t/m) x x x x x              Vậy x>-3 và x  2 d. Tính giá trị của A khi 1 2 x  . ĐK: x  2 TH1: 1 2 x  (TM). Khi đó A có dạng: 1 2 A= 1 5 2 2     TH2: 1 2 x   (TM). Khi đó A có dạng: 1 2 A= 1 3 2 2      Bài 2: a. Rút gọn B         2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 4 1 B= . 2 1 4 1 2 1 4 1 2 2 1 3 2 2 1 4 1 B= . 4 1 4 1 1 B= 4 1 x x x x x x x x x x x                             b. Thay 2 3 x   (TM). Khi đó B có dạng: 2 1 9 B= 2 25 4. 1 3            c. Chứng minh B<0 x thỏa mãn ĐKXĐ của B: Vì 2 x x  0 ; suy ra: 2 4 1 1 x x    và  1 0 nên B < 0 1 2    x d. Tìm giá trị nhỏ nhất của B: Ta có: 2 x x  0 nên: 2 4 1 1 x x    Vậy B đạt giá trị nhỏ nhất B = -1 khi 2 x  0 hay x  0 . Bài 3. Đề cương toán 8- THCS Nguyễn Trường Tộ- Hà Nội 7 Sản phẩm được thực hiện vởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN - THCS a. 2 2 2 2 1 1 2 : 2 1 1 x x x x C x x x x x x                 , x x    0, 1   2 2 2 ( 1) 1 2 = : 1 ( 1) x x x x x x x x        2 = 1 x x  b. Để C 1 khi và chỉ khi 2 1 1 x x   2 1 0 1 x x x      , x x    0, 1 Vì 2 2 1 3 1 0 2 4 x x x             mọi x        C x x 1 1 0 1 c. 2 1 1 2 4 1 1 x C x x x         ( áp dụng bđt Côsi) Dấu bằng xảy ra 1 1 2 1 x x x       ( vì x 1) Bài 4. Giải các phương trình sau a.        2 x x x x       2 3 3 4 2 4 2 2         x x x x x 6 12 6 8 16 16 3 16 3 x x       b. 2 3 4x 5 x    - Nếu 3 2 3 0 2 x x     thì Pt        2 3 4x 5 4 x x ( loại) - Nếu 3 2 3 0 2 x x     thì Pt 1 2 3 4x 5 3 x x         c. 2 2 2x 1 7x 2 1 3 8 12 4 6     x x    2 2         6 3 14 4 6 4 4 12 x x x x 1 10 5 2 x x       d. 2 3 15 7 0 4 20 50 2 6 30 x x x       ĐK x  5 Đề cương toán 8- THCS Nguyễn Trường Tộ- Hà Nội 8 Sản phẩm được thực hiện vởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN - THCS Pt         3 15 7 0 4 5 2 5 5 6 5 x x x x                 9 45 90 14 70 0 5 x x x (loại) e. 2 x x    20 0 2      x x x 4 5 20 0      x x x  4 5 4 0         x x 5 4 0    x  5 hoặc x  4 f.     2 x x x x x        1 5 3 2 4 - Nếu 5 5 3 0 3     x x thì Pt 2 2          x x x x x x 2 1 5 3 2 4     2 8 4 x x (loại) - Nếu 5 5 3 0 3     x x thì Pt 2 2          x x x x x x 2 1 5 3 2 4 1 4 2 2       x x (loại) g.     2 1 4 3 1 3 1 x x x x x x         Đk x  3 và x  1 Pt         x x x x 2 1 1 3 4            3x 9 3 x (loại) h. 2 76 2 1 3 1 5 16 4 4 x x x x x         ĐK x  4 Pt 2 2 2          5 80 76 2 9x 4 3 11 4 x x x x       2 4 2 x x (thỏa mãn) Bài 5. Giải các bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số: a) (x + 3)2 – 3(2x – 1)  x(x – 4)  x2 + 6x + 9 – 6x + 3  x2 – 4x  4x + 12  0  x  -3 Đề cương toán 8- THCS Nguyễn Trường Tộ- Hà Nội 9 Sản phẩm được thực hiện vởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN - THCS Biểu diễn tập nghiệm trên trục số: -3 0 Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm S = x x/ 3    b) x2 – 3x + 4  0  2 3 7 0 2 4 x          Vậy bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x. c) 2 3 1 3 1 4 4 3 x x x x         3x – 6 - 12 + 12x > 9x – 3 + 12 – 4x  10x > 27  27 10 x  Biểu diễn tập nghiệm trên trục số: 27 10 Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm S = 27 / 10 x x        d) 5 3 3 1 5 4 x x    ĐKXĐ: x ≠ 1 3 ; x ≠ 5 4 Với mọi x  ĐKXĐ ta có: 5 3 3 1 5 4 x x     5 3 0 3 1 5 4 x x     0 Đề cương toán 8- THCS Nguyễn Trường Tộ- Hà Nội 10 Sản phẩm được thực hiện vởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN - THCS  28 29 0 (3 1)(5 4 ) x x x     (1) Ta lập bảng xét dấu vế trái: x 1 3 28 29 5 4 28 – 29x + + 0 - - 3x – 1 - 0 + + + 5 – 4x + + + 0 - VT - + 0 - + Biểu diễn tập nghiệm trên trục số: 0 1 3 28 29 5 4 Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm S = 1 28 5 / ; 3 29 4 x x x          Dạng : Giải bài toán bằng cách lập phương trình. Bài 6. Giải Gọi số áo tổ sản xuất phải may theo dự định là x (áo); x  N*  Số áo tổ sản xuất may thực tế là x + 4 (áo) Số ngày tổ sản xuất phải may theo dự định là: 40 x (ngày) Số ngày tổ sản xuất may thực tế là: 4 52 x  (ngày) Theo đề bài ta có phương trình: 40 x - 4 52 x  = 2 Đề cương toán 8- THCS Nguyễn Trường Tộ- Hà Nội 11 Sản phẩm được thực hiện vởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN - THCS  13x -10x – 40 = 1040  3x = 1080  x = 360 (TMĐK) Vậy số áo tổ sản xuất phải may theo dự định là 360 áo Bài 7. Giải Vận tốc của ô tô sau khi giảm là: 50 – 10 = 40 (km/h) Gọi quãng đường AB dài là x (km); x > 0 Thời gian dự định ô tô đi hết quãng đường AB là: 50 x (giờ) Thời gian ô tô đi 2 3 quãng đường AB là: 2 3 x : 50 = 75 x (giờ) Thời gian ô tô đi 1 3 quãng đường còn lại là: 1 3 x : 40 = 120 x (giờ) Theo đề bài ta có phương trình: 75 x + 120 x - 50 x = 1 2  8x + 5x – 12x = 300  x = 300 (TMĐK) Vậy quãng đường AB dài 300km Bài 8. Gọi chiều rộng của khu vườn hình chữ nhật lúc đầu là x (m, x > 5 2 ) Chiều dài của khu vườn lúc đầu là 2 x (m) Diện tích của khu vườn lúc đầu là 2 x.x = 2x 2 (m2 ) Vì chiều rộng của khu vườn sau khi tăng thêm 3m là x + 3 (m), Chiều dài của khu vườn sau khi giảm đi 5m là 2 x – 5 (m), Diện tích mới của khu vườn là (x + 3)(2x – 5) (m2 ) Vì thay đổi chiều dài và chiều rộng nhưng diện tích khu vườn không thay đổi nên ta có phương trình là: Đề cương toán 8- THCS Nguyễn Trường Tộ- Hà Nội 12 Sản phẩm được thực hiện vởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN - THCS 2x 2 = (x + 3)(2x – 5)  2x 2 = 2x 2 – 5x + 6x – 15  x = 15 (tmđk) Vậy chu vi khu vườn lúc đầu là 2(x + 2x) = 2(15 + 2.15)= 90 (m) Bài 9. Gọi thời gian người A hoàn thành công việc một mình là x (h, x >15 ) Trong 1h người A làm được số phần công việc là 1 x (công việc), trong 5h người A làm được 5 x (công việc) Trong 1h cả hai người làm chung thì làm được số phần công việc là 1: 15 = 1 15 (công việc) Trong 1h người B một mình làm được số phần công việc là 1 1 15 x  (công việc), trong 3h người B làm được 1 1 3 15 x       (công việc) Nếu người A làm trong 5 giờ và người B làm trong 3 giờ thì làm được 30% công việc nên ta có phương trình: 5 1 1 3 30% 15 5 1 3 3 5 10 2 1 3 5 10 2 3 1 1 10 5 10 1 2 : 20( ) 10 x x x x x x x tm                        Thời gian để người A hoàn thành công việc một mình là 20h. Trong 1h người B một mình làm được số phần công việc là 1 1 1 15 20 60   (công việc), nên thời gian để người B hoàn thành công việc một mình là 1 1: 60 60  (h). Bài 10: Gọi số áo tổ một may được trong tháng Giêng là x (cái, x N x   *, 800 ) Số áo tổ hai may được trong tháng Giêng là 800 – x (cái) Đề cương toán 8- THCS Nguyễn Trường Tộ- Hà Nội 13 Sản phẩm được thực hiện vởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN - THCS Trong tháng Hai, tổ một vượt mức 15% nên số áo tổ một may được là x + 15% x =1,15x (cái) Trong tháng Hai, tổ hai vượt mức 20% nên số áo tổ hai may được là (800 – x) + 20%(800 – x) = 1,2(800 – x) (cái) Vì tháng Hai cả hai tổ sản xuất được 945 cái áo nên ta có phương trình: 1,15x + 1,2(800 – x) = 945  1,15x + 960 – 1,2x = 945  0,05x = 15  x = 300(tmđk) Vậy tháng Giêng tổ một may được 300 cái áo, tổ hai may được 800 – 300 = 500 (cái áo). Dạng 3: Hình học Bài 11. BI là đường phân giác của BAD nên ta có D D AI BA I B  CI là đường phân giác của CAD nên ta có D D AI CA I C  Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 4 D D D D D 3 AI BA CA BA CA BA CA I B C B C BC         Lại có chu vi ABC bằng 80 cm nên AB +AC+BC = 80     BA CA BC 80 80 4 240 240 3 4 3 7 BC BC BC BC cm BC         ABC cân tại A nên   1 1 240 160 80 80 2 2 7 7 AB AC BC cm             I D A B C Đề cương toán 8- THCS Nguyễn Trường Tộ- Hà Nội 14 Sản phẩm được thực hiện vởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN - THCS Vậy 240 7 BC cm  ; 160 7 AB AC cm   Bài 12: a) So sánh BF AB và AE AC . *Vì DF / / AC (theo giả thiết) nên BF BD AB BC  (theo định lý Talet) Mà 1 3 BD BC  (vì 1 2 BD DC  ) Suy ra 1 3 BF BD AB BC   (1) *Chứng minh tương tự ta có: 1 3 AE BD AC BC   (2) Từ (1) và (2) suy ra BF AE AB AC  b) Chứng minh EF / / BM. *Ta có AF 2 AB 3  ( 1 3 BF AB  ) (3) Mặt khác 1 2 3 AE AE AC AM   (chứng minh trên) suy ra 2 3 AE AM  (4) Từ (3) và (4) suy ra AF 2 3 AE AB AM   hay EF / / BM (định lý Talet đảo) E M F B A C D Đề cương toán 8- THCS Nguyễn Trường Tộ- Hà Nội 15 Sản phẩm được thực hiện vởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN - THCS c) Giả sử BD k DC  , tìm k để EF / / DC. Để EF / / DC thì AF AE AB AC  Mà AF AE AB AM  (chứng minh trên) Nên AE AE AM AC  hay M trùng C *Dễ thấy 2 AF 3 AE BD AM AB BC    suy ra 2 BD DC  Vậy k = 2 Bài 13: a.+ Áp dụng định lí Pitago trong ABC vuông tại A có. 2 2 2 2 2 2 AB AC BC BC BC          5 12 169 169 13 + Xét tứ giác ADHE có    90o A D E ADHE     là hình chữ nhât.   AH DE + Ta có: . . 2 2 ABC AB AC AH BC S     . . . 5.12 60 4,62 13 13 AH BC AB AC AB AC AH cm BC        b. + Xét AHE và ACH có: A chung   90o E H      2 . . ~ 1 AHE ACH g g AH AE AH AE AC AC AH        + Xét ADH và AHB có:    90 ; o D H A   chung     2 . . ~ 2 ADH AHB g g AH AD AH AD AB AB AH        Đề cương toán 8- THCS Nguyễn Trường Tộ- Hà Nội 16 Sản phẩm được thực hiện vởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN - THCS Từ (1) và (2) suy ra: AE AC AD AB . . AE AD AB AC    + Xét ADE và ACB có: A chung;   AE AD cmt AB AC     ADE ACB c g c ~  . .  c. + Gọi AH DE O     Vì ADHE là hình chữ nhật   OE OH  OEH cân tại   O E H  1 1 Mà     1 2 1 2 90o E E H H           E H HEN 2 2 cân tại N NE NH   3 + Xét EHC vuông tại E có:   2 90o H C          2 3 2 2 90o E E HE AC H E cmt           C E NCE 3 cân tại N NE NC   4 + Từ (3) và (4)     NC NH NE N   là trung điểm HC + Chứng minh tương tự ta có M là trung điểm BH. d. + Ta có N là trung điểm CH cmt HN NC HC      2 2 + Xét ABH và CBA có: B chung;   90o H A   ~   . AB BH ABH CBA g g CB BA              2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 .CB BH. . 2 2 . AB BH BH HC BH BH HN AB BH BH HN HN NC HN NC AB BH HN NC BN CN                   Đề cương toán 8- THCS Nguyễn Trường Tộ- Hà Nội 17 Sản phẩm được thực hiện vởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN - THCS Vậy 2 2 2 BN CN AB   Bài 14. a, Chứng minh: BM.BC = BP.BH Có   BPC BMH ∽ vì   0 90 ( ) B chung BPC BMH gt      => . . BP BM BM BC BP BH BC BH    (đpcm) b, * Chứng minh:   PAB NAC ∽ Có   PAB NAC ∽ vì     0 90 ( ) BAP NAC BPA ANC gt       * Chứng minh:   PAN BAC ∽ Có: PA AB PAB NAC AN AC      (1) PAN BAC   (đối đỉnh) (2) Từ (1) và (2) có   PAN BAC ∽ (c.g.c) c, Ta có   , HP HC HPC HNB g g HN HB     ∽ nên     1     HPN HCB N B ∽ c.g.c . Chứng minh tương tự ta có   N B 2  nên   N N 1 2  , suy ra PNA MNA    hay NA là tia phân giác của PNM  Đề cương toán 8- THCS Nguyễn Trường Tộ- Hà Nội 18 Sản phẩm được thực hiện vởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN - THCS d, Ta có     . . . . 2 ABH AHC HA BC HA BM MC HA BM HA MC S S       . Tương tự ta cũng có AC.BH 2   S S ABC AHC  , AB.HC 2   S S ABH ABC  . Do đó BC AH AB CH AC BH S S S S . . . 4 4        AHC ABC ABH  . Bài 15: Giải: a/ Xét ADB và AEC có: A chung   0 90 ( , ) ( . ) . . ADB AEC CE AB BD AC ADB AEC g g AD DB AE EC AD EC AE DB             b/ Xét AED và ACB có: AD DB AE EC  ( cmt) Đề cương toán 8- THCS Nguyễn Trường Tộ- Hà Nội 19 Sản phẩm được thực hiện vởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN - THCS A chung    AED ACB g g  ( . ) c/ Có : / / ' ' CH AB CH D B D B AB       (Từ vuông góc đến song song) Có / / ' ' BH AC BH D C D C AC       (Từ vuông góc đến song song) Xét tứ giác BHCD ' có: / / ' ' / / ' CH D B BHCD BH D C     là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết) d/ Gọi BC HD I    '   I là trung điểm BC H, A, D’ thẳng hàng A, I, H, D’ thẳng hàng  AI vừa là đường cao vừa là trung tuyến ABC cân tại A Vậy để D’H đi qua A thì ABC cân tại A. Bài 16. a) Xét  AHB vuông tại H có: HAB ABH     90 Mà ABH DBC     90   HAB DBC   Xét  AHB và  BCD có: HAB DBC AHB BCD     ; 90   =>  AHB ~  BCD (g.g) b) Vì ABCD là hình chữ nhật => AD = BC = 6cm Xét  ABD vuông tại A có: 2 2 2 AD AB BD   (định lý Pytago) 2 2 2 6 8 100 10 BD BD cm       Vì  AHB~  BCD nên AH AB HB BC BD CD   8 6 10 8 AH HB    H A D B C Đề cương toán 8- THCS Nguyễn Trường Tộ- Hà Nội 20 Sản phẩm được thực hiện vởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN - THCS    AH cm HB cm 4,8 ; 6,4       DH BD BH cm 10 6,4 3,6 c) 1 1 2 . .4,8.6,4 15,36 2 2 AHB S AH HB cm    Bài 17. a) Xét tam giác ABC và tam giác MDC có: C chung;   0 BAC DMC   90 , suy ra   ABC MDC g g ~  .  b) Tam giác ABC vuông tại A nên:   2 2 2 2 2 BC AB AC BC cm        36 48 3600 60 . Do M là trung điểm của BC nên 30  2 BC MC cm   Do       30 45 75 , . 48 36 60 2 2 MC MD DC MD DC ABC MDC cmt MD cm DC cm AC AB BC            ∽ c) Ta có   21 2 DA AC DC cm    Mặt khác do     . 35 . 2 DE DA DA DC DAE DMC g g DE cm DC DM DM        ∽ Suy ra ME MD DE cm    40  Xét tam giác MCE vuông tại M có   2 2 2 2 2 EC ME MC CE cm        40 30 2500 50 . d) Do   2 25 . 64 MDC ABC S DC ABC MDC cmt S BC            ∽ Bài 18: D E M A B C Đề cương toán 8- THCS Nguyễn Trường Tộ- Hà Nội 21 Sản phẩm được thực hiện vởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN - THCS a) Xét ∆AOB và ∆DOC có: AOB DOC (đối đỉnh) ABO DCO (giả thiết)    AOB DOC g g  ( . ) (đpcm ) b) Vì   AOB DOC  (theo câu a) AO OB DO OC   hay AO DO OB OC  Xét ∆AOD và ∆BOC có: AOD BOC   (đối đỉnh) AO DO OB OC  (cmt)    AOD BOC c g c  ( . . )(đpcm ) c) Vì   AOD BOC  (theo câu b) nên ADO BCO  hay EDB ECA   Xét ∆EBD và ∆EAC có: E chung EDB ECA      EBD EAC g g  ( . ) . . EB ED EA ED EB EC EA EC     (đpcm) Bài 19: O E D A B C Đề cương toán 8- THCS Nguyễn Trường Tộ- Hà Nội 22 Sản phẩm được thực hiện vởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN - THCS a) Xét ODC có AB //CD nên theo định lý Ta-Lét ta có: . . OA OB AB OA OD OC OD OC OD CD     b) Xét OKC có AH // KC nên theo định lý Ta-Lét ta có: OH OA OH AB OK OC OK CD    (đpcm) Bài 20. a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB DC AD BC / / ; / / (tính chất hình bình hành)   A ABF  (2 góc so le trong) và C ABF    (2 góc đồng vị) Xét AED và BEF có: + A ABF   (cmt) + AED BEF   (2 góc đối đỉnh)     AED BEF g g ~   (1) Xét BEF và CDF có: K H O D C A B 8cm 7cm 12cm F C A B D E Đề cương toán 8- THCS Nguyễn Trường Tộ- Hà Nội 23 Sản phẩm được thực hiện vởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN - THCS + C ABF    (cmt) + F chung     BEF CDF g g ~   (2) Từ (1) và (2) suy ra    AED CDF BEF ~ ~  b) Có AE EB AB         EB AB AE cm 12 8 4  Vì   AED BEF ~ (cmt) 8 7 10 4 AE AD ED BE BF EF BF EF       4.7 7 4.10 ( ); 5( ) 8 2 8      BF cm EF cm c)   AED BEF ~ theo tỉ số đồng dạng 8 2 4 AE k BE    nên tỉ số giữa 2 đường cao của hai tam giác   AED BEF ; cũng bằng 2; tỉ số diện tích giữa 2 tam giác   AED BEF ; là 4. Bài 21. a) Do CG AB CG AD // //  nên theo hệ quả định lí Ta-lét ta có: . . AD DE AD GE DE CG CG GE    . b) Do CG AB // nên theo hệ quả định lí Ta-lét ta có: HC HG HA HB  (1). Do EG BC // nên theo hệ quả định lí Ta-lét ta có: HG HE HB HC  (2). Từ (1) và (2) ta có: 2 . HC HE HC HE HA HA HC    . c) Do IH AB / / nên theo hệ quả định lí Ta-lét ta có: IH IC AB BC  (3). I H E G A B C D Đề cương toán 8- THCS Nguyễn Trường Tộ- Hà Nội 24 Sản phẩm được thực hiện vởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN - THCS Do IH CG / / nên theo hệ quả định lí Ta-lét ta có: IH BI CG BC  (4). Từ (3) và (4) ta có 1 1 1 1 IH IH IC BI BC AB CG BC BC BC IH AB CG         .