PHÒNG GD&ĐT TP THANH HÓA TRƯỜNG THCS TRẦN MAI NINH KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG GIỮA HỌC KỲ I NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn: TOÁN - Lớp: 8 Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (1,5 điểm) Thực hiện phép tính: a) 2x2 (3x2 – 7x – 5) b) (16x4 - 20x2y 3 - 4x5y) : (-4x2 ) Câu II (2,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x2 – 3x + xy – 3y b) x3 + 10x2 + 25x – xy2 c) x3 + 2 + 3(x3 – 2) Câu III (2,0 điểm) Tìm x, biết: a) x(x – 1) – x2 + 2x = 5 b) 2x2 – 2x = (x – 1)2 c) (x + 3)(x2 – 3x + 9) – x(x – 2)2 = 19 Câu IV (3,5 điểm) Cho hình chữ nhật DEKH có O là giao điểm của hai đường chéo. Lấy một điểm I nằm giữa hai điểm O và E. Gọi N là điểm đối xứng với điểm D qua I và M là trung điểm của KN. a) Chứng minh tứ giác OINK là hình thang và tứ giác OIMK là hình bình hành. b) Gọi A và B lần lượt là hình chiếu của N trên các đường thẳng EK và KH. . Chứng minh tứ giác AKBN là hình chữ nhật. c) Chứng minh bốn điểm I, A, M, B thẳng hàng. Câu V (1,0 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 5x2 + 4xy – 6x + y2 + 2030 b) Chứng minh rằng a5 – 5a3 + 4a chia hết cho 120 với mọi số nguyên a. ======== HẾT ======== ĐỀ CHẴN PHÒNG GD&ĐT TP THANH HÓA TRƯỜNG THCS TRẦN MAI NINH KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG GIỮA HỌC KỲ I NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn: TOÁN - Lớp: 8 Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (1,5 điểm) Thực hiện phép tính: a) 3x2 (2x2 – 5x – 4) b) (25x4 – 40x2y 3 -5x5y) : (-5x2 ) Câu II (2,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) a2 – 2a + ab – 2b b) a3 + 6a2 + 9a – ab2 c) a3 + 10 - 3(2 - a3 ) Câu III (2,0 điểm) Tìm x, biết: a) x(x – 2) – x2 + 3x = 4 b) 3x2 – 3x = (x – 1)2 c) (x + 2)(x2 – 2x + 4) - x(x – 2)2 = -12 Câu IV (3,5 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Lấy một điểm E nằm giữa hai điểm O và B. Gọi F là điểm đối xứng với điểm A qua E và I là trung điểm của CF. a) Chứng minh tứ giác OEFC là hình thang và tứ giác OEIC là hình bình hành. b) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của F trên các đường thẳng BC và CD. . Chứng minh tứ giác CHFK là hình chữ nhật. c) Chứng minh bốn điểm E, H, I, K thẳng hàng. Câu V (1,0 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = 10x2 + 6xy – 4x + y2 + 2024 b) Chứng minh rằng n5 – 5n3 + 4n chia hết cho 120 với mọi số nguyên n. ======== HẾT ======== ĐỀ LẺ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ I – NĂM HỌC 2020 - 2021 MÔN TOÁN 8 - ĐỀ CHẴN Câu Lời giải tóm tắt Điểm 1 (1,5 điểm) a 2x2 (3x2 – 7x – 5) = 6x4 – 14x3 – 10x2 0,75 b (16x4 - 20x2y 3 - 4x5y) : (-4x2 ) = -4x2 + 5y3 + x3y 0,75 2 (2,0 điểm) a x2 – 3x + xy – 3y = x(x – 3) + y(x – 3) = (x – 3)(x + y) 0,75 b x 3 + 10x2 + 25x – xy2 = x(x2 + 10x + 25 – y2 ) = x[(x2 + 10x + 25) – y2 ] = x[(x + 5)2 – y2 ] = x(x + y + 5) (x - y + 5) 0,25 0, 5 c x3 + 2 + 3(x3 – 2) = x3 + 2 + 3x3 – 6 = 4x3 - 4 = 4(x3 - 1) = 4(x - 1)(x2 + x + 1) 0,25 0,25 3 (2,0 điểm) a x(x – 1) – x2 + 2x = 5 x 2 – x – x2 + 2x = 5 x = 5 Vậy x = 5. 0, 5 0,25 b  2 2 2 2 1 x x x                    2 2 2 1 1 2 1 1 0 1 2 1 0 1 1 0 x x x x x x x x x x x               1 0 1 1 0 1 x x x x                Vậy x 1;-1   0,25 0,25 0,25 c (x + 3)(x2 – 3x + 9) – x(x – 2)2 = 19 x 3 + 27 - x(x2 – 4x + 4) = 19 x 3 + 27 – x3 + 4x2 - 4x = 19 27 + 4x2 - 4x – 19 = 0 4x2 - 4x + 8 = 0 4(x2 - x + 2) = 0 x 2 - x + 2 = 0 (x - 1 2 ) 2 + 7 4 = 0 (vô lí vì (x - 1 2 ) 2 ≥ 0 với mọi x nên (x - 1 2 ) 2 + 7 4 > 0 với mọi x). Vậy không có giá trị nào của x thoả mãn đề bài. 0,25 0,25 4 (3,5 điểm) M N O E H K D I Vẽ hình đúng, ghi đầy đủ GT, KL 0,5 A -Lập luận được OI là đường trung bình của ΔDKN nên OI // KN Suy ra được tứ giác OINK là hình thang. - Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác chỉ ra được OI = KM. Kết hợp với OI // KM suy ra để tứ giác OIMK là hình bình hành. 0,75 0,75 b A B M N O E H K D I - Tứ giác DEHK là hình chữ nhật nên EKH = 90 EKB 90  0 0    - Lập luận tứ giác AKBN có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật 0,5 0,5 c - Áp dụng tính chất của hình chữ nhật chỉ ra được ΔOEK cân tại O nênOEK = OKE  . - Vì OI // KN  OEK = OKN   (hai góc so le trong) - Suy ra được OKN = 2EKN 2AKN 180 2ANK      0  (1) (vì ΔAKN vuông tại A) - Chỉ ra ΔAMN cân tại M (dùng tính chất của hình chữ nhật)    AMN 180 2ANM  0  (2) Từ (1) và (2). OKN AMN    OK // AM, kết hợp OK // IM ta có ba điểm I, A, M thẳng hàng (Theo tiên đề Euclid) (3) - Chỉ ra ba điểm A, M, B thẳng hàng (4) (theo tính chất 0,25 đường chéo của hình chữ nhật) - Từ (3) và (4) suy ra bốn điểm I, A, M, B thẳng hàng (đpcm). 0,25 5 (1,0 điểm) a P = 5x2 + 4xy – 6x + y2 + 2030 P = 4x2 + 4xy + y2 + x2 – 6x + 9 + 2021 P = (2x + y)2 + (x – 3)2 + 2021 ≥ 2021 với mọi x, y Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2x + y = 0 2x = -y x = 3 x - 3 = 0 x = 3 y = -6            Vậy GTNN của P là 2021 khi (x; y) = (3 ; - 6) 0,25 0,25 b a 5 – 5a3 + 4a = a5 – a3 – 4a3 + 4a = a3 (a2 – 1) – 4a(a2 - 1) = a[(a2 – 1)(a2 - 4)] = a(a – 1) (a + 1)(a - 2) (a + 2) - Do a là số nguyên nên a – 1; a; a + 1 là 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3. - Lập luận a – 1; a; a + 1; a + 2 là 4 số nguyên liên tiếp nên có hai số chẵn liên tiếp do đó tích chia hết cho 8. Kết hợp (3; 8) = 1 để suy ra a(a – 1) (a + 1)(a - 2) (a + 2) chia hết cho 24 (1) - Lại có a – 2; a – 1; a; a + 1; a + 2 là 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5 (2) - Kết hợp (24; 5) = 1 để suy ra a(a – 1) (a + 1)(a - 2) (a + 2) chia hết cho 120. 0,25 0,25 Ghi chú: - Bài 4: Nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm điểm. - Các cách giải khác mà đúng thì cho điểm tương đương. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ I – NĂM HỌC 2020- 2021 MÔN TOÁN 8 - ĐỀ LẺ Câu Lời giải tóm tắt Điểm 1 (1,5 điểm) a 3x2 (2x2 – 5x – 4) = 6x4 – 15x3 – 12x2 0,75 b (25x4 – 40x2y 3 -5x5y) : (-5x2 ) = -5x2 + 8y3 + x3y 0,75 2 (2,0 điểm) a a2 – 2a + ab – 2b = a(a – 2) + b(a – 2) = (a – 2)(a + b) 0,75 b a3 + 6a2 + 9a – ab2 = a(a2 + 6a2 + 9 – b2 ) = a[(a + 3)2 – b2 ] = a(a + b + 3)(a – b + 3) 0,25 0, 5 c a 3 + 10 - 3(2 - a3 ) = a3 + 10 - 6 + 3a3 = 4a3 + 4 = 4(a3 + 1) = 4(a + 1) (a2 - a + 1) 0,25 0,25 3 (2,0 điểm) a x(x – 2) – x2 + 3x = 4 x 2 – 2x – x2 + 3x = 4 x = 4 Vậy x = 4. 0, 5 0,25 b 3x2 – 3x = (x – 1)2 3x(x – 1) - (x – 1)2 = 0 (x – 1)(2x +1) = 0 1 1 0 1 2 1 0 2 x x x x                 Vậy -1 x 1; 2       0,25 0,25 0,25 c (x + 2)(x2 – 2x + 4) - x(x – 2)2 = -12 x 3 + 8 - x(x2 – 4x + 4) = -12 x 3 + 8 – x3 + 4x2 - 4x + 12 = 0 4x2 - 4x + 20 = 0 4(x2 - x + 5) = 0 x 2 - x + 5 = 0 (x - 1 2 ) 2 + 19 4 = 0 (vô lí vì (x - 1 2 ) 2 ≥ 0 với mọi x nên (x - 1 2 ) 2 + 20 4 > 0 với mọi x). Vậy không có giá trị nào của x thoả mãn đề bài 0,25 0,25 4 (3,5 điểm) I F O B D C A E Vẽ hình đúng, ghi đầy đủ GT, KL 0,5 A - Lập luận được OE là đường trung bình của ΔACF nên OE // CF Suy ra được tứ giác OEFC là hình thang. - Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác chỉ ra được OE = CI. Kết hợp với OE // CI suy ra được tứ giác OEIC là hình bình hành. 0,75 0,75 b H K I F O B D C A E - Tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên BCD = 90 BCK 90  0 0    - Lập luận được tứ giác CHFK có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật 0,5 0,5 c - Áp dụng tính chất của hình chữ nhật chỉ ra được ΔOBC cân tại O nên OBC = BCO  . - Vì OE // CF  OBC = BCF   (hai góc so le trong) - Suy ra đượcOCF = 2BCF 2HCF 180 2HFC       0 (1) (vì ΔHFC vuông tại H) - ΔHIF cân tại I (dùng tính chất của hình chữ nhật)    HIF 180 2HFI  0  (2) Từ (1) và (2). OCF HIF     OC // HI, kết hợp OC // EI ta 0,25 có ba điểm E, H, I thằng hàng (Theo tiên đề Euclid) (3) - Lập luận ba điểm H, I, K thẳng hàng (4) (theo tính chất đường chéo của hình chữ nhật) - Từ (3) và (4) suy ra bốn điểm E, H, I, K thẳng hàng (đpcm). 0,25 5 (1,0 điểm) a Q = 10x2 + 6xy – 4x + y2 + 2024 Q = 9x2 + 6xy + y2 + x2 – 4x + 4 + 2020 Q = (3x + y)2 + (x – 2)2 + 2020 ≥ 2020 với mọi x, y Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 3x + y = 0 3x = -y x = 2 x - 2 = 0 x = 2 y = -6            Vậy GTNN của Q là 2020 khi (x, y) = (2; - 6) 0,25 0,25 b n 5 – 5n3 + 4n = n5 – n3– 4n3 + 4n = n3 (n2 – 1) – 4n(n2 - 1) = n[(n2 – 1)(n2 - 4)] = n(n – 1) (n + 1)(n - 2) (n + 2) - Chỉ ra n là số nguyên nên n – 1; n; n + 1 là 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3. - Lập luận n – 1; n; n + 1; n + 2 là 4 số nguyên liên tiếp nên có hai số chẵn liên tiếp do đó tích chia hết cho 8. Kết hợp (3; 8) = 1 để suy ra n(n – 1) (n + 1)(n - 2) (n + 2) chia hết cho 24 (1) - Lại có n – 2; n – 1; n; n + 1; n + 2 là 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5 (2) Từ (1) và (2) kết hợp (24; 5) = 1 để suy ra n(n – 1) (n + 1)(n - 2) (n + 2) chia hết cho 120. 0,25 0,25 Ghi chú: - Bài 4: Nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm điểm. - Các cách giải khác mà đúng thì cho điểm tương đương.