Giải đề thi học kì 1 toán lớp 10 năm 2019 - 2020 trường THPT Gò Vấp

 

Câu 1:  (1,0 điểm) Tìm tập xác định của các hàm số :

a)  $y=\frac{\sqrt{3-x}+\sqrt{3+x}}{\left|x\right|-2}$                     

b) $y=\frac{\left|2x+1\right|-\sqrt{2}}{2x^2-3x+1}$                 

Câu 2: (2,0 điểm) Cho hàm số bậc hai $y=a{x}^2+bx+3\left(a\ne 0\right)$ có đồ thị $\left(P\right),$ biết rằng đồ thị $\left(P\right)$ có đỉnh $S\left(-2;-1\right).$ Tính $2a-b?$

Câu 3: (1,0 điểm) Cho phương trình $m^{2}x+1=x+3m^2-2m.$ Xác định $m$ để phương trình đã cho nghiệm đúng $\forall x\in R.$

Câu 4: (2,0 điểm)

a) Cho phương trình $m{x}^2-2\left(m+1\right)x-4+m=0.$ Xác định $m$ để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.

b) Cho phương trình $\left(m-1\right)x^2-2mx+m-4=0.$ Xác định $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa $x_1^2+x_2^2=20.$

Câu 5: (1,0 điểm) Giải các phương trình :

a) $\left|\frac{x^2-3x+2}{2}\right|=x-1$                                 

b) $6-\sqrt{3x^2-x+6}=x$

Câu 6: (1,0 điểm) Giải hệ phương trình : $\{\begin{array}{c}3\sqrt{x-1}-2\sqrt{1-2y}=-1\\ \sqrt{1-2y}+2\sqrt{x-1}=4\end{array}$ 

Câu 7: (1,0 điểm) Cho $\overrightarrow{a}=\left(2;1\right),\overrightarrow{b}=\left(3;4\right),\overrightarrow{c}=\left(-7;2\right).$ Tìm vectơ $\overrightarrow{p}$ sao cho : $4\overrightarrow{p}-2\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{c}$

Câu 8: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng hệ tọa độ $Oxy,$ cho hai điểm $A\left(3;-1\right),B\left(1;1\right)$. Tìm tọa độ diểm $E$ biết điểm $E$ thuộc trục tung và ba điểm $A,B,E$ thẳng hàng.

Câu 9 : (1,0 điểm) Cho tam giác $ABC$ có $AB=5;AC=6;BC=7.$ Tính : $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$.

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Thực hiện: Ban chuyên môn Loigiaihay.com

Câu 1 (VD): Tìm tập xác định của các hàm số :

a)  $y=\frac{\sqrt{3-x}+\sqrt{3+x}}{\left|x\right|-2}$                     

b) $y=\frac{\left|2x+1\right|-\sqrt{2}}{2x^2-3x+1}$ 

Phương pháp:

Biểu thức $\sqrt{f\left(x\right)}$ xác định nếu $f\left(x\right)\ge 0$.

Biểu thức $\frac{1}{f\left(x\right)}$ xác định nếu $f\left(x\right)\ne 0$.

Cách giải:

a) $y=\frac{\sqrt{3-x}+\sqrt{3+x}}{\left|x\right|-2}$

ĐK:$\{\begin{array}{c}3-x\ge 0\\ 3+x\ge 0\\ \left|x\right|-2\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x\le 3\\ x\ge -3\\ x\ne \pm 2\end{array}$

TXĐ: $D=\left[-3;3\right]\setminus \left\{-2;2\right\}$

b) $y=\frac{\left|2x+1\right|-\sqrt{2}}{2x^2-3x+1}$

ĐK: $2x^2-3x+1\ne 0\iff \{\begin{array}{c}x\ne 1\\ x\ne \frac{1}{2}\end{array}$

TXĐ : $D=R\setminus \left\{\frac{1}{2};1\right\}$  

Câu 2 (VD): Cho hàm số bậc hai $y=a{x}^2+bx+3\left(a\ne 0\right)$ có đồ thị $\left(P\right),$ biết rằng đồ thị $\left(P\right)$ có đỉnh $S\left(-2;-1\right).$ Tính $2a-b?$

Phương pháp:

Đỉnh parabol $\left(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta }{4a}\right)$, lập hệ phương trình ẩn $a,b$.

Cách giải:

Ta có: $-2=\frac{-b}{2a}\iff -4a+b=0$ (1)

Điểm $S\left(-2;-1\right)\in P$ $\Rightarrow 4a-2b+3=-1\Rightarrow 2a-b=-2$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\{\begin{array}{c}-4a+b=0\\ 2a-b=-2\end{array}\iff \{\begin{array}{c}a=1\\ b=4\end{array}$

Vậy $2a-b=2-4=-2$.

Câu 3 (VD ): Cho phương trình $m^{2}x+1=x+3m^2-2m.$ Xác định $m$ để phương trình đã cho nghiệm đúng $\forall x\in R.$

Phương pháp:

Phương trình $ax+b=0$ nghiệm đúng với mọi $x$ $\iff a=b=0$.

Cách giải:

$m^{2}x+1=x+3m^2-2m$ $\iff \left(m^2-1\right)x=3m^2-2m-1$

Phương trình đã cho nghiệm đúng $\forall x\in R$

 $\iff \{\begin{array}{c}{m}^2-1=0\\ 3m^2-2m-1=0\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{c}[\begin{array}{c}m=1\\ m=-1\end{array}\\ [\begin{array}{c}m=1\\ m=\frac{-1}{3}\end{array}\end{array}\iff m=1$

Vậy $m=1$.

Câu 4 (VD ):

a) Cho phương trình $m{x}^2-2\left(m+1\right)x-4+m=0.$ Xác định $m$ để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.

b) Cho phương trình $\left(m-1\right)x^2-2mx+m-4=0.$ Xác định $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa $x_1^2+x_2^2=20.$

Phương pháp:

a) Phương trình $a{x}^2+bx+c=0$ có nghiệm kép $\iff \{\begin{array}{c}a\ne 0\\ \Delta =0\end{array}$.

b) Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm.

Sử dụng Vi – et thay vào đẳng thức bài cho, giải phương trình ẩn $m$ và kết luận.

Cách giải:

a) Cho phương trình $m{x}^2-2\left(m+1\right)x-4+m=0.$ Xác định $m$ để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.

Phương trình có nghiệm kép $\iff \{\begin{array}{c}a\ne 0\\ \Delta =0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}m\ne 0\\ 6m+1=0\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{c}m\ne 0\\ m=-\frac{1}{6}\left(TM\right)\end{array}$

b) Cho phương trình $\left(m-1\right)x^2-2mx+m-4=0.$ Xác định $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa $x_1^2+x_2^2=20.$

Để phương trình có $2$ nghiệm $x_1;x_2$ thì $\{\begin{array}{c}m-1\ne 0\\ \Delta =20m-16\ge 0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}m\ne 1\\ m\ge \frac{4}{5}\end{array}$

Theo định lý Vi-et ta có : $\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=\frac{2m}{m-1}\\ x_1.x_2=\frac{m-4}{m-1}\end{array}$

Ta có : $x_1^2+x_2^2=20$ $\iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2=20$

$\iff \frac{2m^2+10m-8}{{\left(m-1\right)}^2}=20$ $\iff [\begin{array}{c}m=2\left(N\right)\\ m=\frac{7}{9}\left(L\right)\end{array}$

Câu 5 (VD ): Giải các phương trình :

a) $\left|\frac{x^2-3x+2}{2}\right|=x-1$                                 

b) $6-\sqrt{3x^2-x+6}=x$

Phương pháp:

a) $\left|f\left(x\right)\right|=g\left(x\right)\iff \{\begin{array}{c}g\left(x\right)\ge 0\\ f\left(x\right)=\pm g\left(x\right)\end{array}$

b) $\sqrt{f\left(x\right)}=g\left(x\right)\iff \{\begin{array}{c}g\left(x\right)\ge 0\\ f\left(x\right)=g^2\left(x\right)\end{array}$

Cách giải:

a) $\left|\frac{x^2-3x+2}{2}\right|=x-1$ $\iff \{\begin{array}{c}x-1\ge 0\\ [\begin{array}{c}\frac{x^2-3x+2}{2}=x-1\\ \frac{x^2-3x+2}{2}=-x+1\end{array}\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}x\ge 1\\ [\begin{array}{c}{x}^2-5x+4=0\\ x^2-x=0\end{array}\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{c}x\ge 1\\ [\begin{array}{c}[\begin{array}{c}x=1\\ x=4\end{array}\\ [\begin{array}{c}x=1\\ x=0\end{array}\end{array}\end{array}$ $\iff [\begin{array}{c}x=1\\ x=4\end{array}$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S=\left\{1;4\right\}$.

b) $6-\sqrt{3x^2-x+6}=x$ $\iff \sqrt{3x^2-x+6}=6-x$

$\iff \{\begin{array}{c}6-x\ge 0\\ 3x^2-x+6={\left(6-x\right)}^2\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{c}x\le 6\\ 3x^2-x+6=x^2-12x+36\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{c}x\le 6\\ 2x^2+11x-30=0\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{c}x\le 6\\ [\begin{array}{c}x=2\left(TM\right)\\ x=-\frac{15}{2}\left(TM\right)\end{array}\end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình $S=\left\{2;-\frac{15}{2}\right\}$.

Câu 6 (VD): Giải hệ phương trình : $\{\begin{array}{c}3\sqrt{x-1}-2\sqrt{1-2y}=-1\\ \sqrt{1-2y}+2\sqrt{x-1}=4\end{array}$ 

Phương pháp:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ: $\{\begin{array}{c}u=\sqrt{x-1}\\ v=\sqrt{1-2y}\end{array}\left(u,v\ge 0\right)$

Cách giải:

 

Điều kiện: $x\ge 1;y\le \frac{1}{2}$

Đặt : $\{\begin{array}{c}u=\sqrt{x-1}\\ v=\sqrt{1-2y}\end{array}\left(u,v\ge 0\right)$

Hệ phương trình trở thành: $\{\begin{array}{c}3u-2v=-1\\ 2u+v=4\end{array}\iff \{\begin{array}{c}u=1\\ v=2\end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{array}{c}\sqrt{x-1}=1\\ \sqrt{1-2y}=2\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=2\\ y=\frac{-3}{2}\end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $\left(x;y\right)=\left(2;-\frac{3}{2}\right)$.

Câu 7 (TH): Cho $\overrightarrow{a}=\left(2;1\right),\overrightarrow{b}=\left(3;4\right),\overrightarrow{c}=\left(-7;2\right).$ Tìm vectơ $\overrightarrow{p}$ sao cho : $4\overrightarrow{p}-2\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{c}$

Phương pháp:

Sử dụng công thức $k\overrightarrow{a}\pm l\overrightarrow{b}=\left(k{x}_1\pm l{x}_2;k{y}_1\pm l{y}_2\right)$.

Cách giải:

$4\overrightarrow{p}-2\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{c}$

$\iff \overrightarrow{p}=\frac{1}{4}\left(2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{c}\right)$ $=\frac{1}{4}\left(2.2+3-3.\left(-7\right);2.1+4-3.2\right)$ $=\frac{1}{4}\left(28;0\right)=\left(7;0\right)$

Vậy $\overrightarrow{p}=\left(7;0\right)$.

Câu 8 (VD ): Trong mặt phẳng hệ tọa độ $Oxy,$ cho hai điểm $A\left(3;-1\right),B\left(1;1\right)$. Tìm tọa độ diểm $E$ biết điểm $E$ thuộc trục tung và ba điểm $A,B,E$ thẳng hàng.

Phương pháp:

Gọi $E\left(0;y\right)\in Oy$.

$A,B,E$ thẳng hàng $\iff \overrightarrow{AB}$ cùng phương $\overrightarrow{AE}.$

Cách giải:

Ta có: $E\in Oy\Rightarrow E\left(0;y\right)$ 

$\overrightarrow{AB}=\left(-2;2\right)$ ; $\overrightarrow{AE}=\left(-3;y+1\right)$

Ba điểm $A,B,E$ thẳng hàng $\iff \overrightarrow{AB}$ cùng phương $\overrightarrow{AE}.$

$\iff \frac{-3}{-2}=\frac{y+1}{2}$ $\iff -2\left(y+1\right)+6=0\iff y=2$

Vậy $E\left(0;2\right).$

Câu 9 (VD ): Cho tam giác $ABC$ có $AB=5;AC=6;BC=7.$ Tính : $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$.

Phương pháp:

Nhận xét $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$ và bình phương hai vế.

Cách giải:

Ta có $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$

$\iff {\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)}^2={\left(\overrightarrow{CB}\right)}^2$

$\iff A{B}^2-2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}+A{C}^2=C{B}^2$

$\iff \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\frac{A{B}^2+A{C}^2-C{B}^2}{2}$ $=\frac{5^2+6^2-7^2}{2}=6$

Vậy $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=6$.