PHÒNG GD&ĐT KON TUM ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC: 2017 – 2018 (Đề thi gồm 01 trang) Ngày thi: 03/04/2017 Thời gian: 90 phút không tính thời gian ghi đề Câu 1: (4,5 điểm). 1. Tính giá trị các biểu thức sau: a) A = 3 4 7 4 7 7 : : 7 11 11 7 11 11                  b) B = 12 5 6 2 2 6 4 5 2 .3 4 .9 (2 .3) 8 .3   2. Cho x y 3 5  . Tính giá trị biểu thức: C = 2 2 2 2 5x 3y 10x 3y   Câu 2: (4,5 điểm) 1. Tìm các số x, y, z, biết: a) x y y z ; 2 3 5 7   và x + y + z = 92 b) (x – 1)2016 + (2y – 1)2016 + |x + 2y – z|2017 = 0 2. Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x – y = 6 Câu 3: (3,0 điểm) 1. Tìm đa thức A biết: A – (3xy – 4y2 ) = x2 – 7xy + 8y2 2. Cho hàm số y = f(x) = ax + 2 có đồ thị đi qua điểm A(a – 1; a2 + a). a) Tìm a b) Với a vừa tìm được, tìm giá trị của x thỏa mãn: f(2x – 1) = f(1 – 2x) Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi I là giao điểm BE và CD. Chứng minh rằng: a) BE = CD b) BDE là tam giác cân c)  0 EIC 60  và IA là tia phân giác của DIE  Câu 5: (2,0 điểm) 1. Tìm số hữu tỉ x, sao cho tổng của số đó với nghịch đảo của nó có giá trị là một số nguyên. 2. Cho các số a, b, c không âm thỏa mãn: a + 3c = 2016; a + 2b = 2017. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a + b + c. -------------------- HẾT -------------------- ĐÁP ÁN Câu 1: 1. a) A = 3 4 7 4 7 7 : : 7 11 11 7 11 11                  = 3 4 11 4 7 11 . . 7 11 7 7 11 7                  A = 11 3 4 4 7 7 7 11 7 11                        = 11 3 4 4 7 7 7 7 11 11                        =   11 11 ( 1) 1 .0 0 7 7     b) B = 12 5 6 2 2 6 4 5 2 .3 4 .9 (2 .3) 8 .3   = 12 5 2 6 2 2 12 5 12 4 12 6 3 4 5 12 6 12 5 2 .3 (2 ) .(3 ) 2 .3 2 .3 2 .3 (2 ) .3 2 .3 2 .3      = 12 4 12 5 2 .3 (3 1) 2 .3 (3 1)   B = 12 4 12 5 2 .3 .2 1 2 .3 .4 6  2. Đặt x y 3 5  = k x 3k y 5k       . Khi đó: C = 2 2 2 2 5x 3y 10x 3y   = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5(3k) 3(5k) 45k 75k 120k 10(3k) 3(5k) 90k 75k 15k       = 8 Câu 2: 1. a) Ta có: x y x y 2 3 10 15 x y z y z y z 10 15 21 5 7 15 21                     Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau và x + y + z = 92, ta được: x y z 10 15 21   = x y z 92 2 10 15 21 46       x 2 10 x 20 y 2 y 30 15 z 42 z 2 21                      b ) Ta có: (x – 1)2016  0  x (2y – 1)2016  0  y |x + 2y – z|2017  0  x, y, z  (x – 1)2016 + (2y – 1)2016 + |x + 2y – z|2017  0  x, y, z Mà (x – 1)2016 + (2y – 1)2016 + |x + 2y – z|2017 = 0 nên dấu "=" xảy ra      2016 2016 2017 x – 1 2y – 1 x 0 2y – z 0 0            2 2 1 1 2 1 2 1 3 2 1 I E D A C B  1 1 2. – z 0 2 x 1 x 1 1 1 y y 2 2 z 2                       2. Ta có: xy + 3x – y = 6  x(y + 3) – (y + 3) = 6 – 3  (x – 1)(y + 3) = 3 = 1.3 = 3.1 = (– 1)(– 3) = (– 3)(– 1) Ta có bảng sau: x – 1 1 3 – 1 – 3 y + 3 3 1 – 3 – 1 x 2 4 0 – 2 y 0 – 2 – 6 – 4 Vậy: (x; y) = (2; 0) = (4; – 2) = (0; 6) = (– 2; – 4) Câu 3: 1. Ta có: A – (3xy – 4y2 ) = x2 – 7xy + 8y2 A = x2 – 7xy + 8y2 + (3xy – 4y2 ) A = x2 – 4xy + 4y2 2. a) Vì đồ thị hàm số y = f(x) = ax + 2 đi qua điểm A(a – 1; a2 + a) nên: a2 + a = a(a – 1) + 2  a2 + a = a2 – a + 2 2a = 2  a = 1 b) Với a = 1 thì y = f(x) = x + 2 Ta có: f(2x – 1) = f(1 – 2x)  (2x – 1) + 2 = (1 – 2x) + 2  4x = 2  x = 1 2 Câu 4: GT  ABC, A = 900 ,  ABD và  ACE đều I = BE  CD KL a) BE = CD b) BDE là tam giác cân c)  0 EIC 60  và IA là tia phân giác của DIE  a) Ta có:     1 0 0 0 0   0 0 0 0 2 DAC A 90 60 90 150 DAC BAE BAE A 90 60 90 150                Xét DAC và BAE có: DA = BA (GT) DAC BAE   (CM trên) AC = AE (GT)  DAC = BAE (c – g – c)  BE = CD (Hai cạnh tương ứng) b) Ta có:     0 A A BAC A 360 3 1 2       0 0 0 0 A 60 90 60 360 3       0 A 150 3   A3= DAC  = 1500 Xét DAE và BAE có: DA = BA (GT) A3= DAC  (CM trên) AE: Cạnh chung  DAE = BAE (c – g – c)  DE = BE (Hai cạnh tương ứng)  BDE là tam giác cân tại E c) Ta có: DAC = BAE (CM câu a)  E1 = C1 (Hai góc tương ứng) Lại có:   0 I E ICE 180 1 2     (Tổng 3 góc trong ICE)      0 I (AEC E ) (C C ) 180 1 1      1 2   0 0 0   I 60 E C 60 180 1 1      1   0 0 I 120 180 1    (Vì E1 = C1 )  0 I 60 1   Vì DAE = BAE (Cm câu b)  E1 = E2 (Hai góc tương ứng)  EA là tia phân giác của DEI  (1) Vì DAC BAE DAE BAE           DAC = DAE  D1 = D2 (Hai góc tương ứng)  DA là tia phân giác của EDC  (2) Từ (1) và (2)  A là giao điểm của 2 tia phân giác trong DIE  IA là đường phân giác thứ ba trong DIE hay IA là tia phân giác của DIE  Câu 5: 1. Gọi x = m n (m, n  Z, n  0, (m, n) = 1). Khi đó: x + 2 2 1 m n m n x n m mn     (1) Để 1 x x  nguyên thì m2 + n2  mn  m2 + n2  m  n2  m (Vì m2  m)  n  m Mà (m, n) = 1 nên m = 1 hoặc m = – 1 *) Với m = 1: Từ (1), ta có: 1 x x  = 2 2 2 1 n 1 n 1.n n    . Để 1 x x  nguyên thì 1 + n2  n 1 n hay n =  1 *) Với m = – 1: Từ (1), ta có: 1 x x  = 2 2 2 ( 1) n 1 n ( 1).n n       . Để 1 x x  nguyên thì 1 + n2 (– n) 1 (– n) hay n =  1 Khi đó x = m 1 1 1 1 n 1 1 1 1         hay x =  1 2. Ta có: a + 3c = 2016 (1) và a + 2b = 2017 (2) Từ (1)  a = 2016 – 3c Lấy (2) – (1) ta được: 2b – 3c = 1  b = 1 3c 2  . Khi đó: P = a + b + c = (2016 – 3c) + 1 3c 2  + c = 1 6c 3c 2c 1 c 2016 2016 2 2 2 2              . Vì a, b, c không âm nên P = 1 c 2016 2 2   1 2016 2 , MaxP = 1 2016 2  c = 0 -------------------- HẾT --------------------