PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN NINH PHƯỚC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2018-2019 Môn: Toán 8 Thời gian làm bài: 150 phút Đề gồm 01 trang Bài 1 : (4 điểm) a/ Cho a+b+c = 0 . Chứng minh rằng : a3 + b3 +c3 = 3abc b/ Cho biểu thức A = (x - 1)(x + 2)(x +3)(x +6). Tìm giá trị của x để biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 2 : (4 điểm) Cho B = 21 + 22 +23+24 +....+229 + 230 . Chứng minh rằng B chia hết cho 21. Bài 3 : (4 điểm) Cho biểu thức : 3 2 2 1 : 1 2 3 5 6 x x x x A x x x x x                         Với : x x x    0, 4, 9 a/ Rút gọn A b/ Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. Bài 4 : (4 điểm) Cho hình bình hành ABCD có DC = 2AD, từ trung điểm I của cạnh CD vẽ HI vuông góc với AB (H thuộc AB). Gọi E là giao điểm của AI và DH. Chứng minh rằng : a/ DE DA HE HA  (2 điểm) b/ 2 2 2 1 1 1 IH IA IB   (2 điểm) Bài 5 : (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có AD là phân giác,biết BD = 14 3 17 cm, CD = 3 9 17 cm. Tính độ dài các cạnh góc vuông của tam giác. …………………HẾT.………………….. (Đề thi gồm có 01 trang) Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:……………………………..;Số báo danh:………………… PHÒNG GD-ĐT NINH PHƯỚC ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG NĂM HỌC : 2018 – 2019 Môn : TOÁN – Thời gian : 120 phút Câu Lời giải Điểm 1 a/ Cho a+b+c = 0 . Chứng minh rằng : a3 + b3 +c3 = 3abc Giải: Ta có a3 + b3 +c3 = (a+b)3 – 3ab(a+b) + c3 = (a+b+c)3 – 3c(a+b)(a+b+c) – 3ab(a+b) Do a+b+c = 0 nên a+b = -c Suy ra : a3 + b3 +c3 = (-c+c)3 – 3c(-c)(-c+c) – 3ab(-c) = 3abc Vậy : a3 + b3 +c3 = abc b/ Cho biểu thức A = (x - 1)(x + 2)(x +3)(x +6). Tìm giá trị của x để biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất. Ta có A = (x-1)(x+6)(x+3)(x+2) = (x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2 -36 Vậy : A  36 với mọi x Suy ra : MinA = 36 Khi (x2 +5x) = 0 0 5 x x        0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 2 Cho B = 21 + 22 +23+24 +....+229 + 230 . Chứng minh rằng B chia hết cho 21. Ta có : B= (2+22 )+(23+24 )+ ….+(229+230) = 2(1+2)+23 (1+2)+ …..+229(1+2) = 3(2+23+ ……+229) Suy ra B chia hết cho 3 Ta lại có : B = (2+22+23 )+(24+25+26 )+ …..+(228+229+230) = 2(1+2+22 )+24 (1+2+22 )+…..228(1+2+22 ) = 7(2+24 +…….228) Suy ra B chia hết cho 7 Mà UO7LN(3;7) = 1 Suy ra B chia hết cho 21 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 3 a/ Rút gọn A 3 2 2 1 : 1 2 3 5 6 x x x x A x x x x x                         3 2 2 1 : 1 2 3 5 6 1 3 2 2 : 1 2 3 ( 2)( 3) 1 9 4 2 1 ( 2)( 3) 2 : 1 ( 2)( 3) 1 3 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                                                                    b/ Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. Ta có : 2 3 1 1 1 x A x x       A nhận giá trị nguyên khi x 1 nhận các giá trị là ước của 3 .Vậy : x x     1 1 0 x x       1 1 2 Vô nghiệm x x     1 3 4 (Loại vì không thỏa điều kiện) x x       1 3 4 Vô nghiệm Vây khi x = 0 thì A nhận giá trị nguyên là -2 1,0đ 1,0đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ K E D I C A H B 4 Hình vẽ 0,5đ a/ Chứng minh : DE DA HE HA  Gọi K là trung điểm AB Ta có : AK = DI và KH  DI ( vì ABCD là hình bình hành ) Nên IDAK là hình bình hành, mà ID = AD = ½ DC Do đó IDAK là hình thoi , nên AI là phân giác góc HAD Hay trong tam giác HAD có AE là phân giác nên : DE DA HE HA  b/ Chứng minh : 2 2 2 1 1 1 IH IA IB   Chứng minh tương tự câu a ta có tứ giác KBCI là hình thoi Nên : IB và IA là hai tia phân giác của hai góc kề bù DIK  và KIB  Do đó IB IA  Vậy trong tam giác AIB vuông tại I có IH là đường cao Nên : 2 2 2 1 1 1 IH IA IB   0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 5 Ta có : BC = BD + CD = 13 AD ĐL Pytago vào  0   ABC A: 90 ta có: AB2 + AC2 = BC2 AD t/c đường p/g vào ABC với p/g AD ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 BD CD BD CD AB AC AB AC BD CD BD CD AB AC BC         Do đó: 2 2 2 2 . 65 5 13 BD BC AB BD CD     2 2 2 2 . 156 12 13 CD BC AC BD CD     0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 1,0đ 0,5đ 0,5đ D B A C