PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI DUY XUYÊN NĂM HỌC 2017-2018 Môn : TOÁN - Lớp 8 Thời gian làm bài : 120 phút Bài 1(3,5đ) a) Chứng minh chia hết cho 6 với mọi b) Rút gọn biểu thức Bài 2(4,5đ) a) Một vật thể chuyển động từ A đến B theo cách sau: đi được 4 m thì dừng lại 1 giây, rồi đi tiếp 8m dừng lại 2 giây, rồi đi tiếp 12m dừng lại 3 giây, … Cứ như vậy đi từ A đến B kể cả dừng hết tất cả 155 giây. Biết rằng khi đi vật thể luôn có vận tốc 2 m/giây. Tính khoảng cách từ A đến B. b) Biết và Tính M = Bài 3(4đ) a) Giải phương trình b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P = Bài 4(4,5đ) Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác BD. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của BD, BC, DC. a) Chứng minh APQR là hình thang cân. b) Biết AB = 6cm, AC = 8cm Tính độ dài của AR. Bài 5(2,5đ) Cho hình bình hành ABCD. Một đường thẳng qua B cắt cạnh CD tại M, cắt đường chéo AC tại N và cắt đường thẳng AD tại K. Chứng minh Bài 6(1đ) Biết là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng : ------ Hết------ BN BM BK 1 1 1   n 17n 3  n  Z ( )(1 ) 1 ( )(1 ) 1 2 2 2 2 2 2         x a a a x x a a a x 3 5 3 2 a  ab  3 10 3 2 b  a b  2018 2 2 a  b ( 1)( 2) 12 2 2 x  x  x  x   4( ) 2010 2 2 x  y  x  y  a,b,c ( ) 4 0 2 2 2 2 2 2 a  b  c  a b  PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM DUY XUYÊN THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017-2018 Môn : TOÁN - Lớp 8 Bài 1: (3,5đ) a) = là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3, (2,3) =1 nên chia hết cho 6 chia hết cho 6 Suy ra Điều chứng minh b) ( 1)(1 ) ( 1)(1 ) 2 2 2 2 x a a x a a        = 2 2 1 1 a a a a     0,5 0,5 0,5 0 0,5 0,5 1.0 Bài 2: ( 4,5đ) a) Gọi x là số lần đi , số lần dừng là x-1 Thời gian đi = 2+4+6+…+2x = 2(1+2+3+…+x) = x(x+1) Thời gian dừng 1+2+3+….+(x-1) Lập được pt Biến đổi được Giải tìm đúng x= 10 (chọn), x= -31/3 (loại) Khoảng cách AB là 10(10+1).2 = 220 (m) b) 0,25 0,5 0.5 0,25 0.25 0.5 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 Bài 3 (4đ) a) Đặt có Vô nghiệm 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 1 1 ( )(1 ) 1 ( )(1 ) 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                    x x a a a a x x x a a a a x x a a a x x a a a x (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x a a a a x a a a a x x a a x a a x x a a x a a                       n 17n 3  n n 18n n(n 1)(n 1) 18n 3       n(n 1)(n 1) 18n (x N, x  0) 2 4 ....... 2 12 2 8 2 4 x     2 ( 1) 2 ( 1 1)( 1)       x x x x ( 1) 155 2 ( 1)     x x x x 3 310 0 2 x  x   3 5 3 2 a  ab  6 9 25 6 4 2 2 4  a  a b  a b  3 10 3 2 b  a b  6 9 100 6 2 4 4 2  b  a b  a b  3 3 125 6 4 2 2 4 6  a  a b  a b  b  2018 5 2018 ( ) 5 2 2 2 2 3 3       a b a b ( 1)( 2) 12 2 2 x  x  x  x   x  x 1  X 2 12 0 2 X  X   4 3 12 0 ( 4)( 3) 0 2 X  X  X    X  X    X  4; X  3 0 4 19 ) 2 1 4 5 0 ( 2 2 X    x  x    x    3 2 0 ( 2 ) ( 2) 0 2 2 X   x  x    x  x  x    (x 1)(x  2)  0  x  1; x  2 0,5 b)P = = = Pmin = -2018 khi x=y =2 0,5 0,5 0,5 Bài 4 (4,5đ) a) PQ là đường trung bình tam giác BDC, suy ra PQ// AR nên APQR là hình thang. AQ= ½ BC (trung tuyến tam giác vuông ABC) PR = ½ BC ( đường trung bình tam giác DBC) Suy ra AQ = PR Kết luận APQR là hình thang cân b)Tính được BC= 10 cm Tính chất đường phân giáctrong của Tg ABC Suy ra Thay số tính đúng AD= 3cm; DC=5cm; DR=2,5 cm Kết quả AR= 5,5 cm https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 Bài 5 (2,5đ) AB//AC (hai cạnh đối hình bình hành). Theo định lí Talét có : Từ (1) và (2) Mà MC+MD= CD=AB nên Suy ra điều cần chứng minh 0,5 0,5 0,75 0,25 0.5 Bài 6(1đ) Tổng 2 cạnh tam giác lớn hơn cạnh thứ ba nên cả 4 thừa số của tích đều dương, suy ra điều chứng minh https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 0,25 0,25 0,25 0,25 Học sinh giải cách khác , phân biểu điểm tương tự./. BC BA DC DA  . BC BC BA AC DA   . (1) . BN BM BN MN NB AB MC AB NB MN AN NC AB MC        (2) . AB AB MD BK BM AB AB MD BK BK KM AB MD KA KD BK KM          AB MC MD AB AB MD AB AB MC BK BM BN BM         1 .   BK BM BN BM 4 4 4 4 2018 2 2 x  x   y  y   ( 2) ( 2) 2018 2018 2 2 x   y     4( ) 2010 2 2 x  y  x  y  ( ) 4 ( 2 )( 2 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a  b  c  a b  a  b  c  ab a  b  c  ab    2 2 2 2  (a  b)  c (a  b)  c  (a  b  c)(a  b  c)(a  c  b)(b  c  a)