Đề thi học kì 1 môn toán lớp 10 năm 2019

Câu 1: Trong các phương trình dưới đây, phương trình nào tương đương với phương trình $x^{2} = 4 ?$

A. $| x | = 2$

B. $x^{2} - 2 x + 4 = 0$

C. $x^{2} + \sqrt{x} = \sqrt{x} + 4$

D. $x^{2} - 2 x - 4 = 0$

Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD với A(2;– 2), B(3; 4), C(– 1; 5). Khi đó điểm D có tọa độ là:

A. (0; 11) B. (0;–1)

C. (–2; –1) D. (5; 6)

Câu 3: Tìm tập nghiệm của phương trình $x^{4} - 5 x^{2} - 6 = 0.$

A. ${- 1; 6}$ B. ${- \sqrt{6}; \sqrt{6}}$

C. ${- 1; - \sqrt{6}; 1; \sqrt{6}}$ D. ${1; \sqrt{6}}$

Câu 4: Cho hàm số $f (x) = {\begin{cases} \frac{\sqrt{x + 4} - 1}{x - 1} k h i x > 4 \\ 3 - x k h i x \leq 4 \end{cases} .$ Tính f (5) + f (–5).

A. $- \frac{3}{2}$ B. $\frac{15}{2}$

C. $\frac{17}{2}$ D. $- \frac{5}{2}$

Câu 5: Có tất cả bao nhiêu số nguyên m để phương trình $4 \sqrt{x - 2} + m^{2} \sqrt{x + 2} = 5 \sqrt[4]{x^{2} - 4}$ có nghiệm.

A. 2 B. 3

C. 1 D. 4

Câu 6: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Tích $\vec{A B} . \vec{A C}$ bằng:

A. $2 a^{2}$ B. $a^{2}$

C. $a^{2} \sqrt{2}$ D. 0

Câu 7: Cho $\vec{u}$ = (1;-2) và $\vec{v}$ = (-2;2). Khi đó $2 \vec{u} + \vec{v}$ bằng:

A. (-2;1) B. (-1;3)

C. (0;-2) D. (2;4)

Câu 8: Trong măt phẳng với hệ trục tọa độ $(O; \vec{i}; \vec{j})$ cho các vectơ $\vec{u} = 2 \vec{i} - 3 \vec{j}$ và $\vec{v} = k \vec{i} + \frac{1}{3} \vec{j}$ . Biết $\vec{u} ⊥ \vec{v}$ , khi đó k bằng:

A. -4 B. 4

C. $\frac{1}{2}$ D. $- \frac{1}{2}$

Câu 9: Cho tam giác ABC, lấy điểm M trên cạnh BC sao cho BM = 3MC. Biểu diễn $\vec{A M}$ theo 2 vectơ $\vec{A B}, \vec{A C}$ ta được:

A. $\vec{A M} = \frac{3}{4} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A C}$

B. $\vec{A M} = \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A C}$

C. $\vec{A M} = \frac{4}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$

D. $\vec{A M} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{4}{3} \vec{A C}$

Câu 10: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình $(5 m^{2} - 4) x = 2 m + x$ có nghiệm.

A. $m = \pm 1$

B. $m = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$

C. $m \neq \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$

D. $m \neq \pm 1$

Câu 11: Cho parabol $(P) : y = a x^{2} + b x + c$ có a < 0 và tọa độ đỉnh là (2;5). Tìm điều kiện của tham số m để phương trình $a x^{2} + b x + c = m$ vô nghiệm.

A. m > 5

B. 2 < m < 5

C. m < 2

D. $m \in {2; 5}$

Câu 12: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Khi đó $| \vec{A B} + \vec{C A} |$ bằng:

A. a

B. $a \sqrt{3}$

C. 2a

D. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

Câu 13: Gọi A, B là các giao điểm của đồ thị hàm số $f (x) = 3 x^{2} - 2$ và $g (x) = 2 x^{2} - x + 4$ . Phương trình đường thẳng AB là:

A. y = –4x + 9

B. y = 3x – 12

C. y = –3x + 16

D. y = 4x – 11

Câu 14: Tìm số phần tử của tập hợp $A = {x \in Z; - 3 < x \leq 4}$ .

A. 6 B. 7

C. 8 D. 5

Câu 15: Tìm giao điểm của parabol $(P) : y = - x^{2} - 2 x + 5$ với trục Oy.

A. (0;5) B. (5;0)

C. (1;4) D. (0;-5)

Câu 16: Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến. Gọi I là trung điểm của AM. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng.

A. $\vec{I A} + \vec{I B} + \vec{I C} = \vec{0}$

B. $\vec{I A} + 2 \vec{I B} + 2 \vec{I C} = \vec{0}$

C. $2 \vec{I A} + \vec{I B} + \vec{I C} = \vec{0}$

D. $2 \vec{I A} - \vec{I B} - \vec{I C} = \vec{0}$

Câu 17: Cho tập hợp A gồm 3 phần tử. Hỏi tập hợp A có bao nhiêu tập con.

A. 4 B. 8

C. 6 D. 3

Câu 18: Cho hàm số $y = (m - 5) x^{2} - 5 x + 1$ . Hàm số đã cho là hàm số bậc nhất khi:

A. m = 5 B. m > 5

C. m < 5 D. $m \neq 5$

Câu 19: Hàm số nào dưới đây là hàm số chẵn trên tập xác định của nó?

A. $y = \frac{4}{x}$ B. $y = 4 x^{3} - 2 x$

C. $y = \sqrt{x + 1}$

D. $y = - x^{4} + 3 x^{2} + 1$

Câu 20: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $y = x^{2} + 5 x + 2 m$ cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn OA = 4OB. Tổng các phần tử của S bằng:

A. $\frac{43}{9}$ B. $\frac{68}{9}$

C. $- \frac{41}{9}$ D. $- \frac{32}{9}$

Câu 21: Xác định hàm số bậc hai $y = a x^{2} - x + c$ biết đồ thị hàm số đi qua A(1;-2) và B(2;3).

A. $y = 3 x^{2} - x - 4$

B. $y = x^{2} - 3 x + 5$

C. $y = 2 x^{2} - x - 3$

D. $y = - x^{2} - 4 x + 3$

Câu 22: Hàm số $y = - x^{2} + 5 x - 6$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (3;4) B. (2;3)

C. (1;4) D. (1;2)

Câu 23: Cho đồ thị $(P) : y = x^{2} + 4 x - 2$ . Điểm nào dưới đây thuộc (P)?

A. (1;-3) B. (3;18)

C. (-2;-6) D. (-1;-4)

Câu 24: Gọi $m_{0}$ là giá trị của m để hệ phương trình ${\begin{cases} x + 3 y = m \\ m x + y = m - \frac{2}{9} \end{cases}$ có vô số nghiệm. Khi đó

A. $m_{0} \in (0; \frac{1}{2})$ B. $m_{0} \in (\frac{1}{2}; 2)$

C. $m_{0} \in (- \frac{1}{2}; 0)$

D. $m_{0} \in (- 1; - \frac{1}{2})$

Câu 25: Gọi $x_{1}; x_{2}$ là các nghiệm của phương trình $x^{2} + 4 x - 15 = 0$ . Tính $| x_{1} - x_{2} |$ .

A. 8 B. $\sqrt{76}$

C. 4 D. $\sqrt{56}$

Câu 26: Đồ thị hàm số $y = 3 x^{2} + 4 x - 1$ nhận đường thẳng nào dưới đây làm trục đối xứng?

A. $x = \frac{4}{3}$ B. $y = \frac{2}{3}$

C. $x = - \frac{2}{3}$ D. $x = - \frac{1}{3}$

Câu 27: Tìm tập nghiệm của phương trình $\sqrt{3 x^{2} - 4 x + 4} = 3 x + 2$ .

A. ${0}$ B. ${- \frac{8}{3}}$

C. ${- \frac{8}{3}; 0}$ D. $\emptyset$

Câu 28: Tọa độ đỉnh của parabol $(P) : y = - x^{2} + 2 x - 3$ là:

A. (1;-2) B. (-2;3)

C. (-1;2) D. (2;-3)

Câu 29: Phát biểu nào dưới đây là mệnh đề sai?

A. 5 là ước của 125.

B. 2020 chia hết cho 101.

C. 9 là số chính phương.

D. 91 là số nguyên tố.

Câu 30: Cho tập hợp A = {0;1;2;3;4} và B = {0;2;4;6;8}. Hỏi tập hợp $(A ∖ B) \cup (B ∖ A)$ có bao nhiêu phần tử?

A. 7 B. 4

C. 10 D. 3

Câu 31: Đường thẳng đi qua hai điểm A(-1;4) và B(2;-7) có phương trình là:

A. 3x + 11y – 1 = 0

B. 11x + 3y + 1 = 0

C. 11x + 3y – 1 = 0

D. 3x + 11y + 1 = 0

Câu 32: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y = \sqrt{x^{2} + m^{2}} + \sqrt{x^{2} - m}$ có tập xác định là R.

A. R \ {0} B. $(0; + \infty)$

C. $[0; + \infty)$ D. $(- \infty; 0]$

Câu 33: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(-6;0), B(0;2) và C(-6;2). Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

A. (-2;0) B. (-3;1)

C. (3;-1) D. (-2;1)

Câu 34: Tìm tập xác định của hàm số $y = \sqrt{x + 2} - \frac{2}{x - 3}$ .

A. R\{3} B. $(3; + \infty)$

C. $(- 2; + \infty)$ D. $(- 2; + \infty] ∖ {3}$

Câu 35: Cho hình thoi ABCD có $∠ B A D = 60^{0}$ và BA = a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, DC. Tính $\vec{B M} . \vec{B N}$ bằng:

A. $\frac{3 \sqrt{3} a^{2}}{8}$ B. $\frac{3 a^{2}}{8}$

C. $\frac{3 a^{2}}{4}$ D. $\frac{\sqrt{3} a^{2}}{4}$

Câu 36: Cho phương trình $x^{3} + 3 x^{2} + (4 m^{2} - 12 m + 11) x + {(2 m - 3)}^{2} = 0.$ Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

A. (1; 2) B. (–1; 1)

C. (–2; –1) D. $(- \infty; 2)$

Câu 37: Cho tam giác ABC, lấy các điểm M, N trên cạnh BC sao cho BM = MN = NC. Gọi $G_{1}, G_{2}$ lần lượt là trọng tâm tam giác ABN, ACM. Biết rằng $\vec{G_{1} G_{2}}$ được biểu diễn theo hai vecto $\vec{A B}, \vec{A C}$ dưới dạng $\vec{G_{1} G_{2}} = x \vec{A B} + y \vec{A C} .$ Khi đó x + y bằng:

A. $\frac{4}{3}$ B. 1

C. $\frac{2}{3}$ D. 0

Câu 38: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các vecto $\vec{a} = (3; - 1), \vec{b} = (5; - 4), \vec{c} = (1; - 5) .$ Biết $\vec{c} = x \vec{a} + y \vec{b} .$ Tính x + y.

A. 2 B. –5

C. 4 D. –1

Câu 39: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a, AC = 2a. Tính góc giữa hai vecto $\vec{C A}$ và $\vec{D C} .$

A. $120^{0}$ B. $60^{0}$

C. $150^{0}$ D. $45^{0}$

Câu 40: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập $R ?$

A. $y = - 2 + 3 x$ B. $y = \frac{2}{x}$

C. $y = \sqrt{x + 3}$ D. $y = - x + 2$

Câu 41: Cho hệ phương trình ${\begin{cases} x - (m + 1) y = m - 2 \\ 2 m x + (m - 2) y = 4 \end{cases}$ . Biết rằng có hai giá trị của tham số m là m₁và m₂ để hệ phương trình có nghiệm $(x_{0}; 2)$ . Tính m₁ + m₂.

A. $\frac{2}{3}$ B. $\frac{7}{3}$

C. $- \frac{4}{3}$ D. $- \frac{1}{3}$

Câu 42: Phương trình $| 3 - x | = | 2 x - 5 |$ có hai nghiệm $x_{1}, x_{2} .$ Tính $x_{1} + x_{2} .$

A. $- \frac{28}{3}$ B. $\frac{7}{3}$

C. $- \frac{14}{3}$ D. $\frac{14}{3}$

Câu 43: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình ${(x^{2} + 6 x + 10)}^{2} + m = 10 {(x + 3)}^{2}$ có 4 nghiệm phân biệt?

A. 13 B. 14

C. 15 D. 16

Câu 44: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(4; 3), B(0; –1), C(1;–2). Tìm tọa độ điểm M biết rằng vetco $- 2 \vec{M A} + 3 \vec{M B} - 3 \vec{M C}$ có tọa độ là (1; 7).

A. (6; 5) B. (–2; –3)

C. (3; –1) D. (1; –2)

Câu 45: Cho phương trình $x^{2} + 2 x - m^{2} = 0.$ Biết rằng có hai giá trị $m_{1}, m_{2}$ của tham số m để phương trình có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + 10 = 0.$ Tính $m_{1} . m_{2} .$

A. $\frac{3}{4}$ B. $- \frac{1}{3}$

C. $- \frac{3}{4}$ D. $\frac{1}{3}$

Câu 46: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm $A (m; - 1), B (2; 1 - 2 m), C (3 m + 1; - \frac{7}{3}) .$ Biết rằng có hai giá trị $m_{1}, m_{2}$ của tham số m để A, B, C thẳng hàng. Tính $m_{1} + m_{2} .$

A. $- \frac{1}{6}$ B. $- \frac{4}{3}$

C. $\frac{13}{6}$ D. $\frac{1}{6}$

Câu 47: Gọi (a; b; c) là nghiệm của hệ phương trình ${\begin{cases} 5 x + y + z = 5 \\ x - 3 y + 2 z = 11 \\ - x + 2 y + z = - 3 \end{cases} .$ Tính $a^{2} + b^{2} + c^{2} .$

A. 9 B. 16

C. 8 D. 14

Câu 48: Tìm tập nghiệm của phương trình $\sqrt{4 x + 1} + 5 = 0.$

A. ${2}$ B. $\emptyset$

C. ${- \frac{1}{4}}$ D. ${6}$

Câu 49: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $(O; \vec{i}; \vec{j})$ cho điểm M thỏa mãn $\vec{O M} = - 2 \vec{i} + 3 \vec{j} .$ Tọa độ của M là:

A. (2; –3) B. (–3; 2)

C. (–2; 3) D. (3; –2)

Câu 50: Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh CD, AB của hình bình hành ABCD. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. $\vec{A M} . \vec{D N} = \frac{1}{4} A B^{2} - A D^{2}$

B. $\vec{A M} . \vec{D N} = \frac{1}{4} A B^{2} + A D^{2}$

C. $\vec{A M} . \vec{D N} = A B^{2} - \frac{1}{4} A D^{2}$

D. $\vec{A M} . \vec{D N} = A B^{2} + \frac{1}{4} A D^{2}$

ĐÁP ÁN

1A	2C	3B	4C	5B	6B	7C	8C	9B	10D
11A	12A	13C	14B	15A	16C	17A	18A	19D	20D
21C	22D	23C	24A	25B	26C	27A	28A	29D	30B
31C	32D	33B	34D	35B	36A	37D	38D	39A	40A
41D	42D	43C	44A	45B	46D	47A	48B	49C	50A

Câu 1 (NB)

Phương pháp

Hai phương trình tương đương là hai phương trình có cùng tập nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $x^{2} = 4 \Leftrightarrow | x | = 2$

$\Rightarrow$ Đáp án A đúng.

Đáp án A.

Câu 2 (TH)

Phương pháp

Tứ giác ABCD là hình bình hành $\Leftrightarrow \vec{A B} = \vec{D C} \Leftrightarrow {\begin{cases} x_{B} - x_{A} = x_{C} - x_{D} \\ y_{B} - y_{A} = y_{C} - y_{D} \end{cases} .$

Hướng dẫn giải:

Gọi D(a; b). Khi đó ta có: ABCD là hình bình hành $\Leftrightarrow \vec{A B} = \vec{D C}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow (1; 6) = (- 1 - a; 5 - b) \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} - 1 - a = 1 \\ 5 - b = 6 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} a = - 2 \\ b = - 1 \end{cases} \Rightarrow D (- 2; - 1) . \end{array}$

Đáp án C.

Câu 3 (TH)

Phương pháp

Giải phương trình $a x^{4} + b x^{2} + c = 0 (a \neq 0)$ bằng cách đặt ẩn phụ: $t = x^{2} (t \geq 0) .$

Khi đó ta có phương trình $a t^{2} + b t + c = 0.$

Giải phương trình bậc hai ẩn t sau đó tìm x.

Hướng dẫn giải:

Đặt $x^{2} = t (t \geq 0) .$ Khi đó ta có phương trình:

$\begin{array}{l} t^{2} - 5 t - 6 = 0 \Leftrightarrow (t + 1) (t - 6) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t + 1 = 0 \\ t - 6 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = - 1 (k t m) \\ t = 6 (t m) \end{array} \\ \Leftrightarrow x^{2} = 6 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \sqrt{6} \\ x = - \sqrt{6} \end{array} . \end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S = {- \sqrt{6}; \sqrt{6}} .$

Đáp án B.

Câu 4 (TH)

Phương pháp

Thay các giá trị x = 5 và x = – 5 vào hàm số f (x) tương ứng rồi tính giá trị biểu thức.

Hướng dẫn giải:

Ta có: ${\begin{cases} f (5) = \frac{\sqrt{5 + 4} - 1}{5 - 1} = \frac{1}{2} \\ f (- 5) = 3 - (- 5) = 8 \end{cases}$ $\Rightarrow f (5) + f (- 5) = \frac{1}{2} + 8 = \frac{17}{2} .$

Đáp án C.

Câu 5 (VDC):

Phương pháp:

Giải phương trình bằng cách chia cả 2 vế cho $\sqrt[4]{x - 2} \sqrt[4]{x + 2}$ .

Hướng dẫn giải

ĐK: ${\begin{cases} x - 2 \geq 0 \\ x + 2 \geq 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} x \geq 2 \\ x \geq - 2 \end{cases}$ $\Leftrightarrow x \geq 2$ $\Rightarrow D = [2; + \infty)$ .

$\begin{array}{l} 4 \sqrt{x - 2} + m^{2} \sqrt{x + 2} = 5 \sqrt[4]{x^{2} - 4} \\ \Leftrightarrow 4 \sqrt{x - 2} + m^{2} \sqrt{x + 2} = 5 \sqrt[4]{x - 2} \sqrt[4]{x + 2} \end{array}$

TH1: $x = 2$ , phương trình trở thành: $2 m^{2} = 0 \Leftrightarrow m = 0$ .

Thử lại với $m = 0$ ta có:

$\begin{array}{l} 4 \sqrt{x - 2} = 5 \sqrt[4]{x - 2} \sqrt[4]{x + 2} \\ \Leftrightarrow \sqrt[4]{x - 2} (4 \sqrt[4]{x - 2} - 5 \sqrt[4]{x + 2}) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 (t m) \\ 4 \sqrt[4]{x - 2} - 5 \sqrt[4]{x + 2} = 0 \end{array} \end{array}$

Do đó phương trình có nghiệm $x = 2$ , suy ra $m = 0$ thỏa mãn.

TH2: $x \neq 2$ , chia cả 2 vế của phương trình cho $\sqrt[4]{x - 2} \sqrt[4]{x + 2}$ ta được: $4 \frac{\sqrt[4]{x - 2}}{\sqrt[4]{x + 2}} + m^{2} \frac{\sqrt[4]{x + 2}}{\sqrt[4]{x - 2}} = 5$

Đặt $\frac{\sqrt[4]{x - 2}}{\sqrt[4]{x + 2}} = t (0 < t < 1)$ , phương trình trở thành $4 t + \frac{m^{2}}{t} = 5$ $\Leftrightarrow 4 t^{2} - 5 t + m^{2} = 0$ (*)

Phương trình (*) có nghiệm $\Leftrightarrow Δ = 25 - 16 m^{2} \geq 0 \Leftrightarrow - \frac{5}{4} \leq m \leq \frac{5}{4}$ .

Mà $m \in Z \Rightarrow m \in {- 1; 0; 1}$ .

Thử lại:

Với $m = \pm 1$ ta có: $4 t^{2} - 4 t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}$ .

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{\sqrt[4]{x - 2}}{\sqrt[4]{x + 2}} = \frac{1}{2} \\ \Leftrightarrow 2 \sqrt[4]{x - 2} = \sqrt[4]{x + 2} \\ \Leftrightarrow 16 (x - 2) = x + 2 \\ \Leftrightarrow 16 x - 32 = x + 2 \\ \Leftrightarrow 15 x = 34 \\ \Leftrightarrow x = \frac{34}{15} (t m) \end{array}$

$\Rightarrow m = \pm 1$ thỏa mãn.

Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là $m \in {- 1; 0; 1}$ .

Đáp án B.

Câu 6 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng công thức $\vec{a} . \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | . \cos (\vec{a}; \vec{b})$ .

Hướng dẫn giải

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên AB = BC = a và AC là phân giác của góc BAD.

$\Rightarrow ∠ B A C = 45^{0} = (\vec{A B}; \vec{A C})$ .

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABC ta có:

$\begin{array}{l} A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} \\ A C^{2} = a^{2} + a^{2} = 2 a^{2} \\ \Rightarrow A C = a \sqrt{2} \end{array}$

Vậy $\vec{A B} . \vec{A C} = A B . A C . \cos (\vec{A B}; \vec{A C})$ $= a . a \sqrt{2} . \cos 45^{0}$ $= a^{2} \sqrt{2} . \frac{\sqrt{2}}{2}$ $= a^{2}$ .

Đáp án B.

Câu 7 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng các công thức cộng vectơ và nhân véctơ với 1 số.

$\begin{array}{l} \vec{a} = (x_{1}; y_{1}); \vec{b} = (x_{2}; y_{2}) \\ \Rightarrow k \vec{a} = (k x_{1}; k y_{1}) \\ \vec{a} + \vec{b} = (x_{1} + x_{2}; y_{1} + y_{2}) \end{array}$

Hướng dẫn giải

Ta có

$\begin{array}{l} 2 \vec{u} = (2; - 4) \\ \vec{v} = (- 2; 2) \\ \Rightarrow 2 \vec{u} + \vec{v} = (0; - 2) \end{array}$

Đáp án C.

Câu 8 (TH):

Phương pháp:

- Xác định tọa độ các vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ như sau: $\vec{u} = x \vec{i} + y \vec{j}$ $\Rightarrow \vec{u} (x; y)$ .

- $\vec{u} ⊥ \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} . \vec{v} = 0$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: $\vec{u} = 2 \vec{i} - 3 \vec{j} \Rightarrow \vec{u} (2; - 3)$ và $\vec{v} = k \vec{i} + \frac{1}{3} \vec{j} \Rightarrow \vec{v} (k; \frac{1}{3})$ .

Vì $\vec{u} ⊥ \vec{v}$ nên $\vec{u} . \vec{v} = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2 k - 3. \frac{1}{3} = 0 \\ \Leftrightarrow 2 k - 1 = 0 \\ \Leftrightarrow k = \frac{1}{2} \end{array}$

Đáp án C.

Câu 9 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng quy tắc 3 điểm để cộng vectơ.

Hướng dẫn giải

$\begin{array}{l} \vec{A M} = \vec{A B} + \vec{B M} \\ \vec{A M} = \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{B C} \\ \vec{A M} = \vec{A B} + \frac{3}{4} (\vec{B A} + \vec{A C}) \\ \vec{A M} = \vec{A B} - \frac{3}{4} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A C} \\ \vec{A M} = \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A C} \end{array}$

Đáp án B.

Câu 10 (TH):

Phương pháp:

- Đưa phương trình về dạng phương trình bậc nhất một ẩn: ax + b = 0.

- Phương trình dạng ax + b = 0 có nghiệm $\Leftrightarrow a \neq 0$ .

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\begin{array}{l} (5 m^{2} - 4) x = 2 m + x \\ \Leftrightarrow (5 m^{2} - 4) x - 2 m - x = 0 \\ \Leftrightarrow (5 m^{2} - 5) x - 2 m = 0 \end{array}$

Phương trình trên có nghiệm

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 5 m^{2} - 5 \neq 0 \\ \Leftrightarrow 5 (m^{2} - 1) \neq 0 \\ \Leftrightarrow m^{2} \neq 1 \\ \Leftrightarrow m \neq \pm 1 \end{array}$

Đáp án D.

Câu 11 (TH):

Phương pháp:

- Xác định giá trị lớn nhất $a$ của hàm số.

- Phương trình $a x^{2} + b x + c = m$ có $V T \leq 5$ vô nghiệm $\Leftrightarrow m > 5$ .

Hướng dẫn giải

$(P) : y = a x^{2} + b x + c$ có a < 0 và tọa độ đỉnh là (2;5) hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 5 khi x = 2.

Do đó $a x^{2} + b x + c \leq 5 \forall x$ .

Vậy phương trình $a x^{2} + b x + c = m$ vô nghiệm khi và chỉ khi m > 5.

Đáp án A.

Câu 12 (NB):

Phương pháp:

Sử dụng quy tắc 3 điểm để cộng vectơ.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$| \vec{A B} + \vec{C A} | = | \vec{C A} + \vec{A B} |$ $= | \vec{C B} | = B C = a$ .

Đáp án A.

Câu 13 (TH):

Phương pháp:

- Giải phương trình hoành độ giao điểm để tìm tọa độ các điểm A, B.

- Gọi phương trình đường thẳng AB là y = ax + b. Thay tọa độ các điểm A, B vào và tìm a, b.

Hướng dẫn giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

$\begin{array}{l} 3 x^{2} - 2 = 2 x^{2} - x + 4 \\ \Leftrightarrow x^{2} + x - 6 = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = - 3 \end{array} \end{array}$

Với x = 2 thì y = 10 => A(2;10).

Với x = -3 thì y = 25 => B(-3;25).

Gọi phương trình đường thẳng AB là y = ax + b.

Vì $A \in A B$ nên 10 = 2a + b.

Vì $B \in A B$ nên 25 = -3a + b.

Ta có hệ phương trình

${\begin{cases} 2 a + b = 10 \\ - 3 a + b = 25 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} a = - 3 \\ b = 16 \end{cases}$

Vậy phương trình đường thẳng AB là y = –3x + 16.

Đáp án C.

Câu 14 (NB):

Phương pháp:

Viết tập hợp A dưới dạng liệt kê các phần tử và đếm số phần tử của A.

Hướng dẫn giải

$A = {x \in Z; - 3 < x \leq 4}$ $\Rightarrow A = {- 2; - 1; 0; 1; 2; 3; 4}$ .

Vậy tập hợp A có 7 phần tử.

Đáp án B.

Câu 15 (NB):

Phương pháp:

Tìm giao điểm của đồ thị hàm số với trục Oy ta cho x = 0.

Hướng dẫn giải

Cho x = 0 ta có: $y = - 0^{2} - 2.0 + 5 = 5$ .

Vậy giao điểm của (P) với Oy là (0;5).

Đáp án A.

Câu 16 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng các đẳng thức vectơ liên quan đến trung điểm:

- Nếu I là trung điểm của AB thì $\vec{I A} + \vec{I B} = \vec{0}$ .

- Với mọi điểm M, I là trung điểm của AB thì $\vec{M A} + \vec{M B} = 2 \vec{M I}$ .

Hướng dẫn giải

Vì I là trung điểm của AM nên $\vec{I A} + \vec{I M} = \vec{0}$ .

Mà M là trung điểm của BC nên $\vec{I B} + \vec{I C} = 2 \vec{I M}$ .

Do đó $\vec{I B} + \vec{I C} = - 2 \vec{I A}$ hay $2 \vec{I A} + \vec{I B} + \vec{I C} = \vec{0}$ .

Đáp án C.

Câu 17 (NB):

Phương pháp:

Tập hợp có n phần tử thì có $2^{n}$ tập hợp con.

Hướng dẫn giải

Tập hợp A có 2 phần tử nên có $2^{2} = 4$ tập con.

Đáp án A.

Câu 18 (NB):

Phương pháp:

Hàm số bậc nhất có dạng y = ax + b với $a \neq 0$ .

Hướng dẫn giải

Hàm số $y = (m - 5) x^{2} - 5 x + 1$ là hàm số bậc nhất

$\Leftrightarrow m - 5 = 0 \Leftrightarrow m = 5$ .

Đáp án A.

Câu 19 (TH):

Phương pháp:

Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là D.

- Nếu $\forall x \in D \Rightarrow - x \in D$ và f(-x) = f(x) thì hàm số là hàm số chẵn.

- Nếu $\forall x \in D \Rightarrow - x \in D$ và f(-x) = –f(x) thì hàm số là hàm số chẵn.

Hướng dẫn giải

Xét đáp án D ta có:

TXĐ: D = R nên $\forall x \in D \Rightarrow - x \in D$ .

Đặt $y = f (x) = - x^{4} + 3 x^{2} + 1$ ta có:

$\begin{array}{l} f (- x) = - {(- x)}^{4} + 3 {(- x)}^{2} + 1 \\ f (- x) = - x^{4} + 3 x^{2} + 1 \\ f (- x) = f (x) \end{array}$

Vậy hàm số $y = - x^{4} + 3 x^{2} + 1$ là hàm số chẵn.

Đáp án D.

Câu 20 (VD):

Phương pháp:

- Tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có 2 nghiệm phân biệt.

- Áp dụng định lí Vi-ét.

Hướng dẫn giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm $x^{2} + 5 x + 2 m = 0$ (*).

Để đồ thị hàm số $y = x^{2} + 5 x + 2 m$ cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow Δ = 25 - 8 m > 0$ $\Leftrightarrow m < \frac{25}{8}$ .

Gọi $x_{1}; x_{2}$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình (*) $\Rightarrow A (x_{1}; 0)$ và $B (x_{2}; 0)$ .

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: ${\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - 5 \\ x_{1} x_{2} = 2 m \end{cases}$ (**).

Theo bài ra ta có:

OA = 4OB

$\Leftrightarrow | x_{1} | = 4 | x_{2} | \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{1} = 4 x_{2} \\ - x_{1} = 4 x_{2} \end{array}$

TH1; $x_{1} = 4 x_{2}$ , thay vào hệ (**) ta có:

${\begin{cases} x_{2} + 4 x_{2} = 5 \\ x_{2} .4 x_{2} = 2 m \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} x_{2} = 1 \\ 4 = 2 m \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} x_{2} = 1 \\ m = 2 (t m) \end{cases}$ .

TH2; $- x_{1} = 4 x_{2}$ , thay vào hệ (**) ta có:

${\begin{cases} x_{2} - 4 x_{2} = 5 \\ x_{2} . (- 4 x_{2}) = 2 m \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} x_{2} = - \frac{5}{3} \\ - \frac{100}{9} = 2 m \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} x_{2} = - \frac{5}{3} \\ m = - \frac{50}{9} (t m) \end{cases}$ .

$\Rightarrow S = {2; - \frac{50}{9}}$ .

Vậy tổng các phần tử của S bằng $2 + (- \frac{50}{9}) = - \frac{32}{9}$ .

Đáp án D.

Câu 21 (TH):

Phương pháp:

- Thay tọa độ 2 điểm A và B vào hàm số, thiết lập hệ 2 phương trình 2 ẩn a, c.

- Giải hệ phương trình tìm a và c.

Hướng dẫn giải

Vì A thuộc đồ thị hàm số nên $- 2 = a - 1 + c \Leftrightarrow a + c = - 1$ .

Vì B thuộc đồ thị hàm số nên $3 = 4 a - 2 + c \Leftrightarrow 4 a + c = 5$ .

Ta có hệ phương trình

${\begin{cases} a + c = - 1 \\ 4 a + c = 5 \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} a = 2 \\ c = - 3 \end{cases}$ .

Vậy $y = 2 x^{2} - x - 3$ .

Đáp án C.

Câu 22 (TH):

Phương pháp:

Cho hàm số $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ .

- Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến trên $(- \frac{b}{2 a}; + \infty)$ và nghịch biến trên $(- \infty; - \frac{b}{2 a})$ .

- Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến trên $(- \infty; - \frac{b}{2 a})$ và nghịch biến trên $(- \frac{b}{2 a}; + \infty)$ .

Hướng dẫn giải

Hàm số $y = - x^{2} + 5 x - 6$ có $- \frac{b}{2 a} = - \frac{5}{2. (- 1)} = \frac{5}{2}$ và $a = - 1 < 0$ nên hàm số đồng biến trên $(- \infty; \frac{5}{2})$ và nghịch biến trên $(\frac{5}{2}; + \infty)$ .

Ta thấy $(1; 2) \subset (- \infty; \frac{5}{2})$ nên hàm số đồng biến trên (1;2).

Đáp án D.

Câu 23 (NB):

Phương pháp:

Thay tọa độ các điểm vào hàm số, điểm nào thỏa mãn thì sẽ thuộc đồ thị hàm số.

Hướng dẫn giải

Đáp án A: $1^{2} + 4.1 - 2 = 3 \neq - 3 \Rightarrow (1; - 3)$ không thuộc (P).

Đáp án B: $3^{2} + 4.3 - 2 = 19 \neq 18 \Rightarrow (3; 18)$ không thuộc (P).

Đáp án C: ${(- 2)}^{2} + 4. (- 2) - 2 = - 6 \Rightarrow (- 2; - 6)$ thuộc (P).

Đáp án C.

Câu 24 (TH):

Phương pháp:

Hệ phương trình ${\begin{cases} a x + b y = c \\ a^{'} x + b^{'} y = c^{'} \end{cases}$ có vô số nghiệm $\Leftrightarrow \frac{a}{a^{'}} = \frac{b}{b^{'}} = \frac{c}{c^{'}}$ .

Hướng dẫn giải

Với m = 0, hệ phương trình trở thành ${\begin{cases} x + 3 y = 0 \\ y = - \frac{2}{9} \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x = \frac{2}{3} \\ y = - \frac{2}{9} \end{cases}$ .

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất nên m = 0 loại.

Với $m \neq 0$ .

Hệ phương trình ${\begin{cases} x + 3 y = m \\ m x + y = m - \frac{2}{9} \end{cases}$ có vô số nghiệm

$\Leftrightarrow \frac{m}{1} = \frac{1}{3} = \frac{m - \frac{2}{9}}{m} \Leftrightarrow {\begin{cases} m = \frac{1}{3} \\ m^{2} = m - \frac{2}{9} \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} m = \frac{1}{3} \\ [\begin{array}{l} m = \frac{2}{3} \\ m = \frac{1}{3} \end{array} \end{cases}$ $\Leftrightarrow m = \frac{1}{3}$ (tm).

Vậy $m_{0} = \frac{1}{3} \Rightarrow m_{0} \in (0; \frac{1}{2})$ .

Đáp án A.

Câu 25 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng định lí Vi-ét và biến đổi $| x_{1} - x_{2} | = \sqrt{{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} x_{2}}$ .

Hướng dẫn giải

Do $x_{1}; x_{2}$ là các nghiệm của phương trình $x^{2} + 4 x - 15 = 0$ nên áp dụng định lí Vi-ét ta có: ${\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - 4 \\ x_{1} x_{2} = - 15 \end{cases}$ .

Vậy $| x_{1} - x_{2} | = \sqrt{{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} x_{2}}$ $= \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4. (- 15)}$ $= \sqrt{76}$ .

Đáp án B.

Câu 26 (NB):

Phương pháp:

Đồ thị hàm số $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ nhận đường thẳng $x = - \frac{b}{2 a}$ làm trục đối xứng.

Hướng dẫn giải

Đồ thị hàm số $y = 3 x^{2} + 4 x - 1$ nhận đường thẳng $x = - \frac{4}{2.3} = - \frac{2}{3}$ làm trục đối xứng.

Đáp án C.

Câu 27 (VD):

Phương pháp:

Giải phương trình chứa căn: $\sqrt{A} = B \Leftrightarrow {\begin{cases} B \geq 0 \\ A = B^{2} \end{cases}$ .

Hướng dẫn giải

$\begin{array}{l} \sqrt{3 x^{2} - 4 x + 4} = 3 x + 2 \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} 3 x + 2 \geq 0 \\ 3 x^{2} - 4 x + 4 = {(3 x + 2)}^{2} \end{cases} \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} x \geq - \frac{2}{3} \\ 3 x^{2} - 4 x + 4 = 9 x^{2} + 12 x + 4 \end{cases} \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} x \geq - \frac{2}{3} \\ 6 x^{2} + 16 x = 0 \end{cases} \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} x \geq - \frac{2}{3} \\ [\begin{array}{l} x = - \frac{8}{3} \\ x = 0 \end{array} \end{cases} \\ \Leftrightarrow x = 0 \end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = {0}$ .

Đáp án A.

Câu 28 (NB):

Phương pháp:

$(P) : y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ có đỉnh $I (- \frac{b}{2 a}; - \frac{Δ}{4 a})$ .

Hướng dẫn giải

Hàm số $(P) : y = - x^{2} + 2 x - 3$ có các hệ số $a = - 1, b = 2, c = - 3$ .

$\Rightarrow - \frac{b}{2 a} = - \frac{2}{2. (- 1)} = 1$ và $- \frac{Δ}{4 a} = - 2$ .

Vậy đỉnh của parabol là $I (1; - 2)$ .

Đáp án A.

Câu 29 (NB):

Phương pháp:

Nhận xét từng đáp án.

Hướng dẫn giải

Ta có 91 = 7.13 nên 91 là hợp số.

Vậy đáp án D sai.

Đáp án D.

Câu 30 (TH):

Phương pháp:

- Tính $A ∖ B = {x | x \in A, x \notin B}$ .

- Tính $B ∖ A = {x | x \in B; x \notin A}$ .

- Tính $(A ∖ B) \cup (B ∖ A) = {x | x \in A ∖ B h o a c x \in B ∖ A}$

Hướng dẫn giải

Ta có:

A \ B = {1;3} , B \ A = {6;8}

$\Rightarrow (A ∖ B) \cup (B ∖ A) = {1; 3; 6; 8}$ .

Vậy $(A ∖ B) \cup (B ∖ A)$ có 4 phần tử.

Đáp án B.

Câu 31 (TH):

Phương pháp:

Gọi phương trình đường thẳng AB là y = ax + b. Thay tọa độ các điểm A, B vào và tìm a, b.

Hướng dẫn giải

Gọi phương trình đường thẳng AB là y = ax + b.

Vì $A \in A B$ nên 4 = –a + b.

Vì $B \in A B$ nên –7 = 2a + b.

Ta có hệ phương trình

${\begin{cases} - a + b = 4 \\ 2 a + b = - 7 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} a = - \frac{11}{3} \\ b = \frac{1}{3} \end{cases}$

Vậy phương trình đường thẳng AB là $y = - \frac{11}{3} x + \frac{1}{3}$ $\Leftrightarrow 3 y = - 11 x + 1$ $\Leftrightarrow 11 x + 3 y - 1 = 0$ .

Đáp án C.

Câu 32 (VD):

Phương pháp:

$\sqrt{A}$ xác định $\Leftrightarrow A \geq 0$ .

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định

$\Leftrightarrow {\begin{cases} x^{2} + m^{2} \geq 0 \\ x^{2} - m \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow x^{2} \geq m$ .

Để hàm số xác định trên R thì $x^{2} \geq m \forall x \in R$ .

Mà $x^{2} \geq 0 \forall x \Rightarrow m \leq 0$ .

Vậy $m \in (- \infty; 0]$ .

Đáp án D.

Câu 33 (VD):

Phương pháp:

- Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì IA = IB = IC.

- Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng $A B = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2}}$ .

Hướng dẫn giải

Gọi I(x;y) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì IA = IB = IC.

$\begin{array}{l} \Rightarrow I A^{2} = I B^{2} = I C^{2} \\ \Rightarrow {\begin{cases} I A^{2} = I B^{2} \\ I A^{2} = I C^{2} \end{cases} \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} {(- 6 - x)}^{2} + {(- y)}^{2} = {(- x)}^{2} + {(2 - y)}^{2} \\ {(- 6 - x)}^{2} + {(- y)}^{2} = {(- 6 - x)}^{2} + {(2 - y)}^{2} \end{cases} \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} x^{2} + 12 x + 36 + y^{2} = x^{2} + y^{2} - 4 y + 4 \\ y^{2} = y^{2} - 4 y + 4 \end{cases} \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} 12 x + 4 y = - 32 \\ - 4 y + 4 = 0 \end{cases} \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} x = - 3 \\ y = 1 \end{cases} \end{array}$

Vậy I(-3;1).

Đáp án B.

Câu 34 (TH):

Phương pháp:

$\sqrt{A}$ xác định $\Leftrightarrow A \geq 0$ .

$\frac{1}{A}$ xác định $\Leftrightarrow A \neq 0$ .

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định $\Leftrightarrow {\begin{cases} x + 2 \geq 0 \\ x - 3 \neq 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} x \geq - 2 \\ x \neq 3 \end{cases}$ .

Vậy tập xác định của hàm số là $D = (- 2; + \infty] ∖ {3}$ .

Đáp án D.

Câu 35 (VD)

Phương pháp

Sử dụng công thức tính tích vô hướng: $\vec{a} . \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | \cos (\vec{a}, \vec{b}) .$

Hướng dẫn giải:

Ta có: ABCD là hình thoi có $∠ B A D = 60^{0}$ $\Rightarrow ∠ A B C = 120^{0}$ và tam giác ABD là tam giác đều.

$\Rightarrow A B = A D = B D = a .$

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có: ${\begin{cases} \vec{B M} = \frac{1}{2} (\vec{B A} + \vec{B D}) \\ \vec{B N} = \frac{1}{2} (\vec{B D} + \vec{B C}) \end{cases} .$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \vec{B M} . \vec{B N} = \frac{1}{4} (\vec{B A} + \vec{B D}) (\vec{B D} + \vec{B C}) \\ = \frac{1}{4} (\vec{B A} . \vec{B D} + \vec{B A} . \vec{B C} + {\vec{B D}}^{2} + \vec{B D} . \vec{B C}) \\ = \frac{1}{4} (B A . B D . \cos A B D + B A . B C . \cos A B C + B D^{2} + B D . B C . \cos D B C) \\ = \frac{1}{4} (a^{2} . \cos 60^{0} + a^{2} . \cos 120^{0} + a^{2} + a^{2} . \cos 60^{0}) \\ = \frac{1}{4} (\frac{a^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{2} + a^{2} + \frac{a^{2}}{2}) = \frac{3 a^{2}}{8} . \end{array}$

Đáp án B.

Câu 36 (VDC)

Phương pháp

Biến đổi phương trình đã cho về dạng: $(x - a) g (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = a \\ g (x) = 0 \end{array} .$

Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow g (x) = 0$ có hai nghiệm phân biệt $\neq a .$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} Δ > 0 \\ g (a) \neq 0 \end{cases} .$

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l} x^{3} + 3 x^{2} + (4 m^{2} - 12 m + 11) x + {(2 m - 3)}^{2} = 0 (*) \\ \Leftrightarrow x^{3} + 3 x^{2} + (4 m^{2} - 12 m + 11) x + 4 m^{2} - 12 m + 9 = 0 \\ \Leftrightarrow x^{3} + x^{2} + 2 x^{2} + 2 x + (4 m^{2} - 12 m + 9) x + 4 m^{2} - 12 m + 9 = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} (x + 1) + 2 x (x + 1) + (4 m^{2} - 12 m + 9) (x + 1) = 0 \\ \Leftrightarrow (x + 1) (x^{2} + 2 x + 4 m^{2} - 12 m + 9) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ g (x) = x^{2} + 2 x + 4 m^{2} - 12 m + 9 = 0 \end{array} \end{array}$

Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow g (x) = 0$ có hai nghiệm phân biệt $\neq - 1$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\begin{cases} Δ^{'} > 0 \\ g (- 1) \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} 1 - 4 m^{2} + 12 m - 9 > 0 \\ {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 4 m^{2} - 12 m + 9 \neq 0 \end{cases} \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} 4 m^{2} - 12 m + 8 < 0 \\ 4 m^{2} - 12 m + 8 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} 1 < m < 2 \\ m \neq 2 \\ m \neq 1 \end{cases} \Leftrightarrow 1 < m < 2. \end{array}$

Đáp án A.

Câu 37 (VD)

Phương pháp

Sử dụng các quy tắc vecto và các phép toán trên vecto để biến đổi và tìm x, y.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $G_{1}$ trọng tâm tam giác ABN $\Rightarrow \vec{A G_{1}} = \frac{2}{3} \vec{A M} .$

$G_{2}$ trọng tâm tam giác ACM $\Rightarrow \vec{A G_{2}} = \frac{2}{3} \vec{A N} .$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \vec{G_{1} G_{2}} = \vec{G_{1} A} + \vec{A G_{2}} = - \frac{2}{3} \vec{A M} + \frac{2}{3} \vec{A N} \\ = - \frac{2}{3} (\vec{A B} + \vec{B M}) + \frac{2}{3} (\vec{A C} + \vec{C N}) \\ = - \frac{2}{3} \vec{A B} - \frac{2}{3} . \frac{1}{3} \vec{B C} + \frac{2}{3} \vec{A C} - \frac{2}{3} . \frac{1}{3} \vec{B C} \\ = - \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C} - \frac{4}{9} \vec{B C} \\ = - \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C} - \frac{4}{9} (\vec{A C} - \vec{A B}) \\ = - \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C} - \frac{4}{9} \vec{A C} + \frac{4}{9} \vec{A B} \\ = - \frac{2}{9} \vec{A B} + \frac{2}{9} \vec{A C} . \\ \Rightarrow {\begin{cases} x = - \frac{2}{9} \\ y = \frac{2}{9} \end{cases} \Rightarrow x + y = - \frac{2}{9} + \frac{2}{9} = 0. \end{array}$

Đáp án D.

Câu 38 (VD)

Phương pháp

Cho các vecto $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}), \vec{b} = (b_{1}; b_{2})$ và $k \in R$ ta có: ${\begin{cases} \vec{a} + \vec{b} = (a_{1} + b_{1}; a_{2} + b_{2}) \\ k \vec{a} = k (a_{1}; a_{2}) = (k a_{1}; k a_{2}) \end{cases} .$

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\vec{c} = x \vec{a} + y \vec{b}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow (1; - 5) = x (3; - 1) + y (5; - 4) \\ \Leftrightarrow (1; - 5) = (3 x; - x) + (5 y; - 4 y) \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} 1 = 3 x + 5 y \\ - 5 = - x - 4 y \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x = - 3 \\ y = 2 \end{cases} \\ \Rightarrow x + y = - 3 + 2 = - 1. \end{array}$

Đáp án D.

Câu 39 (TH)

Phương pháp

Sử dụng công thức tính góc giữa hai vecto: $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |} .$

Hướng dẫn giải:

Ta có: ABCD là hình chữ nhật nên ta có: AB = DC = a.

$\begin{array}{l} ∠ (\vec{C A}, \vec{D C}) = ∠ (\vec{C A}, \vec{C x}) = ∠ A C x = 180^{0} - ∠ A C D . \\ \Rightarrow \cos ∠ A C D = \frac{C D}{A C} = \frac{a}{2 a} = \frac{1}{2} \\ \Rightarrow ∠ A C D = 60^{0} \\ \Rightarrow ∠ A C x = 180^{0} - 60^{0} = 120^{0} . \end{array}$

Đáp án A.

Câu 40 (TH)

Phương pháp

Hàm số: $y = a x + b (a \neq 0)$ đồng biến trên $R \Leftrightarrow a > 0.$

Hướng dẫn giải:

+) Xét đáp án A: $y = - 2 + 3 x$ có $a = 3 > 0 \Rightarrow$ hàm số đồng biến trên $R .$

Đáp án A.

Câu 41 (VD):

Phương pháp:

- Thay $y = 2$ vào hệ phương trình.

- Rút x từ phương trình thứ nhất thế vào phương trình thứ hai, rút ra phương trình bậc hai ẩn m.

- Áp dụng định lí Vi-ét.

Hướng dẫn giải

Hệ phương trình có nghiệm $(x_{0}; 2)$ nên thay $y = 2$ ta có:

$\begin{array}{l} {\begin{cases} x - 2 (m + 1) = m - 2 \\ 2 m x + 2 (m - 2) = 4 \end{cases} \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} x - 2 m - 2 = m - 2 \\ 2 m x + 2 m - 4 = 4 \end{cases} \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} x = 3 m \\ 2 m x = 8 - 2 m \end{cases} \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} x = 3 m \\ 2 m .3 m = 8 - 2 m \end{cases} \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} x = 3 m \\ 6 m^{2} + 2 m - 8 = 0 (1) \end{cases} \end{array}$

Hai giá trị của tham số m là nghiệm của phương trình (1), do đó áp dụng định lí Vi-ét ta có $m_{1} + m_{2} = \frac{- 1}{3}$ .

Đáp án D.

Câu 42 (VD)

Phương pháp

Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối: $| f (x) | = g (x) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (x) = g (x) \\ f (x) = - g (x) \end{array} .$

Hướng dẫn giải:

Ta có: $| 3 - x | = | 2 x - 5 |$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 3 - x = 2 x - 5 \\ 3 - x = - 2 x + 5 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 3 x = 8 \\ x = 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{8}{3} \\ x = 2 \end{array} \\ \Rightarrow x_{1} + x_{2} = \frac{8}{3} + 2 = \frac{14}{3} . \end{array}$

Đáp án D.

Câu 43 (VDC)

Phương pháp

Biến đổi phương trình, đặt ẩn phụ rồi biện luận phương trình.

Hướng dẫn giải:

TXĐ: $D = R .$

$\begin{array}{l} {(x^{2} + 6 x + 10)}^{2} + m = 10 {(x + 3)}^{2} \\ \Leftrightarrow {(x^{2} + 6 x + 9 + 1)}^{2} - 10 {(x + 3)}^{2} + m = 0 \\ \Leftrightarrow {[{(x + 3)}^{2} + 1]}^{2} - 10 {(x + 3)}^{2} + m = 0 \\ \Leftrightarrow {(x + 3)}^{4} + 2 {(x + 3)}^{2} + 1 - 10 {(x + 3)}^{2} + m = 0 \\ \Leftrightarrow {(x + 3)}^{4} - 8 {(x + 3)}^{2} + m + 1 = 0 (*) \end{array}$

Đặt ${(x + 3)}^{2} = t (t \geq 0) .$

$\Rightarrow (*) \Leftrightarrow t^{2} - 8 t + m + 1 = 0 (1)$

$\Rightarrow (*)$ có 4 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm t dương phân biệt

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\begin{cases} Δ^{'} > 0 \\ - \frac{b}{a} > 0 \\ \frac{c}{a} > 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} 16 - m - 1 > 0 \\ 8 > 0 \\ m + 1 > 0 \end{cases} \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} 15 - m > 0 \\ m > - 1 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} m < 15 \\ m > - 1 \end{cases} \Leftrightarrow - 1 < m < 15 \end{array}$

Mà $m \in Z \Rightarrow m \in {0; 1; 2; . . . . .; 14} .$

$\Rightarrow$ Có 15 giá trị m thỏa mãn bài toán.

Đáp án C.

Câu 44 (VD)

Phương pháp

Hướng dẫn giải:

Gọi M (a; b).

$\begin{array}{l} \Rightarrow {\begin{cases} \vec{M A} = (4 - a; 3 - b) \\ \vec{M B} = (- a; - 1 - b) \\ \vec{M C} = (1 - a; - 2 - b) \end{cases} \\ \Rightarrow - 2 \vec{M A} + 3 \vec{M B} - 3 \vec{M C} = (1; 7) \\ \Leftrightarrow - 2 (4 - a; 3 - b) + 3 (- a; - 1 - b) - 3 (1 - a; - 2 - b) = (1; 7) \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} - 2 (4 - a) + 3 (- a) - 3 (1 - a) = 1 \\ - 2 (3 - b) + 3 (- 1 - b) - 3 (- 2 - b) = 7 \end{cases} \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} - 8 + 2 a - 3 a - 3 + 3 a = 1 \\ - 6 + 2 b - 3 - 3 b + 6 + 3 b = 7 \end{cases} \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} 2 a = 12 \\ 2 b = 10 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} a = 6 \\ b = 5 \end{cases} \Rightarrow M (6; 5) . \end{array}$

Đáp án A.

Câu 45 (VD)

Phương pháp

Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Áp dụng định lý Vi-et để tính giá trị biểu thức, từ đó xác định giá trị của m.

Hướng dẫn giải:

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow Δ^{'} > 0$

$\Leftrightarrow 1 + m^{2} > 0 \forall m$

$\Rightarrow$ Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ với mọi m.

Áp dụng định lý Vi-et ta có: ${\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - 2 \\ x_{1} x_{2} = - m^{2} \end{cases} .$

Theo đề bài ta có: $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + 10 = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{3} - 3 x_{1} x_{2} (x_{1} + x_{2}) + 10 = 0 \\ \Leftrightarrow {(- 2)}^{3} - 3 (- m^{2}) (- 2) + 10 = 0 \\ \Leftrightarrow - 8 - 6 m^{2} + 10 = 0 \\ \Leftrightarrow 6 m^{2} = 2 \Leftrightarrow m^{2} = \frac{1}{3} \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m_{1} = - \frac{1}{\sqrt{3}} \\ m_{2} = \frac{1}{\sqrt{3}} \end{array} \Rightarrow m_{1} m_{2} = - \frac{1}{\sqrt{3}} . \frac{1}{\sqrt{3}} = - \frac{1}{3} . \end{array}$

Đáp án B.

Câu 46 (VD)

Phương pháp

Ba điểm A, B, C thẳng hàng $\Leftrightarrow \vec{A B} = k \vec{A C} (k \in R, k \neq 0) .$

Hướng dẫn giải:

Ta có: ${\begin{cases} \vec{A B} = (2 - m; 2 - 2 m) \\ \vec{A C} = (2 m + 1; - \frac{4}{3}) \end{cases} .$

Ba điểm A, B, C thẳng hàng $\Leftrightarrow \vec{A B} = k \vec{A C} (k \in R, k \neq 0)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow (2 - m; 2 - 2 m) = k (2 m + 1; - \frac{4}{3}) \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} 2 - m = k (2 m + 1) \\ 2 - 2 m = - \frac{4}{3} k \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} k = \frac{3 (m - 1)}{2} \\ 2 - m = \frac{3 (m - 1)}{2} (2 m + 1) (*) \end{cases} \\ \Rightarrow (*) \Leftrightarrow 4 - 2 m = 6 m^{2} + 3 m - 6 m - 3 \\ \Leftrightarrow 6 m^{2} - m - 7 = 0 \\ \Leftrightarrow (6 m - 7) (m + 1) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 6 m - 7 = 0 \\ m + 1 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = \frac{7}{6} \\ m = - 1 \end{array} \\ \Rightarrow m_{1} + m_{2} = \frac{7}{6} - 1 = \frac{1}{6} . \end{array}$

Đáp án D.

Câu 47 (TH)

Phương pháp

Giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn sau đó tính giá trị của biểu thức.

Hướng dẫn giải:

Ta có: ${\begin{cases} 5 x + y + z = 5 \\ x - 3 y + 2 z = 11 \\ - x + 2 y + z = - 3 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x = 1 \\ y = - 2 \\ z = 2 \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} a = 1 \\ b = - 2 \\ c = 2 \end{cases}$ $\Rightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1^{2} + {(- 2)}^{2} + 2^{2} = 9.$

Đáp án A.

Câu 48 (TH)

Phương pháp

Giải phương trình chứa căn bậc hai.

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: $4 x + 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq - \frac{1}{4} .$

Ta có: $\sqrt{4 x + 1} \geq 0 \forall x \geq - \frac{1}{4}$ $\Rightarrow \sqrt{4 x + 1} + 5 > 0 \forall x \geq - \frac{1}{4}$

$\Rightarrow$ Phương trình đã cho vô nghiệm.

Đáp án B.

Câu 49 (TH)

Phương pháp

Cho vetco $\vec{u} = a \vec{i} + b \vec{j} \Rightarrow \vec{u} = (a; b) .$

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\vec{O M} = - 2 \vec{i} + 3 \vec{j} \Rightarrow \vec{O M} = (- 2; 3) \Rightarrow M (- 2; 3) .$

Đáp án C.

Câu 50 (VDC)

Phương pháp

Sử dụng các quy tắc hình bình hành và công thức tính tích vô hướng.

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l} \vec{A M} . \vec{D N} = (\vec{A D} + \vec{D M}) (\vec{D A} + \vec{A N}) \\ = \vec{A D} . \vec{D A} + \vec{D M} . \vec{D A} + \vec{A D} . \vec{A N} + \vec{D M} . \vec{A N} \\ = - A D^{2} + \frac{1}{2} \vec{D C} . \vec{D A} + \vec{A D} . \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{D C} . \frac{1}{2} \vec{A B} \\ = - A D^{2} + \frac{1}{2} \vec{A B} . \vec{D A} + \frac{1}{2} \vec{A D} . \vec{A B} + \frac{1}{4} D C . A B . \cos 0^{0} \\ = - A D^{2} + \frac{1}{4} A B^{2} \\ = \frac{1}{4} A B^{2} - A D^{2} . \end{array}$

$a \sqrt{3}$

Đề thi học kì 1 môn toán lớp 10 năm 2019 - 2020 sở GDĐT Hà Nam

Người đăng: OldGame

0 Nhận xét

Tìm kiếm Blog này

Menu Footer Widget

Contact form

Đề thi học kì 1 môn toán lớp 10 năm 2019 - 2020 sở GDĐT Hà Nam

Người đăng: OldGame

Bạn có thể thích những bài đăng này

0 Nhận xét

Tìm kiếm Blog này

Menu Footer Widget

Contact form