PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN ĐÔNG HƯNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7 NĂM HỌC 2018 - 2019 Môn thi: TOÁN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1(4đ) a) Không dùng máy tính, hãy tính giá trị của biểu thức: 3 3 0, 6 0, 75 13 7 11 11 2, 2 2, 75 7 13 S        b. Cho biểu thức: 2 3 4 5 100 1 1 1 1 1 1 ... 3 3 3 3 3 3 A         Tính giá trị của biểu thức 100 1 4 . 3 B A   Bài 2(4đ) a, Cho 27 - 2x Q = 12 - x . Tìm các số nguyên x để Q có giá trị nguyên ? b) Tìm x, biết:     1 13 5 5 0 x x x x       Bài 3 : ( 4 điểm) a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :  2 2 P x y y x xy       (2 5 ) 15 6 90 b) Cho biểu thức x y z t M x y z x y t y z t x z t             với x, y, z, t là các số tự nhiên khác 0. Chứng minh 10 M 1025 . Bài 4 (4 điểm) Cho tam giác ABC, O là trung điểm của BC. Từ B kẻ BD vuông góc với AC (D thuộc AC). Từ C kẻ CE vuông góc với AB (E thuộc AB). a. Chứng minh rằng: 1 . 2 OD BC  b. Trên tia đối của tia DE lấy điểm N, trên tia đối của tia ED lấy điểm M sao cho DN = EM. Chứng minh rằng: Tam giác OMN là tam giác cân. Bài 5: (2.0 điểm) Cho tam giác ABC có góc A tù. Kẽ AD  AB và AD = AB (tia AD nằm giữa hai tia AB và AC). Kẽ AE  AC và AE = AC (tia AE nằm giữa hai tia AB và AC). Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: AM  DE. Bài 6: (2điểm). Trong hình bên, đường thẳng OA là đồ thị của hàm số y = f(x) = ax. a) Tính tỉ số 0 0 2 4 y x   . b) Giả sử x0 = 5. Tính diện tích tam giác OBC ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN 7 NĂM HỌC 2018 - 2019 ( Thời gian làm bài: 120 phút) Bài Câu Nội dung Điểm 1 (4đ) 1.a (2 đ) a) Tính giá trị của S 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 0 , 6 0 , 7 5 3 1 3 7 1 3 5 7 4 1 3 5 7 4 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 , 2 2 , 7 5 1 1 7 1 3 7 5 1 3 4 7 5 1 3 4 S                                   (Mỗi bước thực hiện tính ghi 0,5đ; nếu dùng máy tính chỉ đúng kết quả không ghi điểm) 2đ 1.b (2 đ) 2 3 4 5 100 1 1 1 1 1 1 ... 3 3 3 3 3 3 A         2 3 4 99 1 1 1 1 1 3 1 ... 3 3 3 3 3 A         0,5 100 1 3 1 3 A A     1,0 100 1 1 1 4 3 A          0,5   A 0 100 100 1 1 1 1 1 1 4 3 4 3 A                    0,25 100 100 100 1 1 1 1 4. 4. 1 1 3 4 3 3 B A             0,25 2 (4đ) 2.a 2,0đ Điều kiện : x  Z ; x ≠ 12 0,25 Biến đổi 27 - 2x Q = 12 - x 2.(12 - x) + 3 3 = = 2 + 12 - x 12 - x 0,25 Ta có 2 Z ; x  Z ; x ≠ 12 nên Q có giá trị nguyên khi và chỉ khi 3 12 x  có giá trị nguyên 0,25 0,25 Mà 3 12 x  có giá trị nguyên khi và chỉ khi 12 x   Ư(3) Ư(3) = -3; -1; 1; 3   + Nếu 12 - x = - 3 thì x = 15 (thỏa mãn điều kiện) 0,25 + Nếu 12 - x = -1 thì x = 13 (thỏa mãn điều kiện) 0,25 + Nếu 12 - x = 1 thì x = 11 (thỏa mãn điều kiện) 0,25 + Nếu 12 - x = 3 thì x = 9 (thỏa mãn điều kiện) 0,25 Vậy Q có giá trị nguyên khi và chỉ khi x 9; 11; 13; 15    0,25 2.b .2,0đ b) Tìm x, biết:     1 13 5 5 0 x x x x       2đ         1 13 1 12 5 5 0 5 1 5 0 x x x x x x x                  hoặc   1 5 0 x x    , hoặc  12 1 5 0    x 0,5đ 0,5đ   1 5 0 5 0 5 1 0 x x x x x              (Thiếu x + 1  0, trừ 0,25đ) 0,5đ     12 12 5 1 6 1 5 0 5 1 5 1 4 x x x x x x                      . Vậy: x = 4, x = 5, x = 6 (Thiếu một giá trị x – 5 = –1 , trừ 0,25đ) 0,5đ 3 (4đ) 3.a Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :  2 2 P x y y x xy       (2 5 ) 15 6 90 2,5đ Ta có  2 2 P x y y x xy       (2 5 ) 15 6 90  2 2       (2 5 ) 6 15 90 x y x y xy 2 2       (2 5 ) 9.(2 5 ) 90 x y x y xy 2        8.(2 5 ) 90 x y xy   0,5 Ta thấy 2 (2 5 ) 0 x y   với mọi x, y nên 2 8.(2 5 ) 0 x y   với mọi x, y xy   90 0 với mọi x, y 0,25 0,25 Khi đó 2 8.(2 5 ) 90 0 x y xy     với mọi x, y Suy ra 2        8.(2 5 ) 90 0 x y xy   với mọi x, y Hay P ≤ 0 với mọi x, y Dấu‘‘=’’ xảy ra khi 2 (2 5 ) 0 x y   và xy   90 0 0,25 + Với 2 (2 5 ) 0 x y   thì 2 5 5 2 x y x y    0,25 + Với xy   90 0 thì xy = 90 0,25 Đặt 5 2 x y   k ta được x = 5k ; và y = 2k 0,25 Mà xy = 90 nên 5k .2k = 90 Tìm được k = 3 hoặc k = -3 + Nếu k = 3 thì x = 15 ; y = 6 0,25 + Nếu k = -3 thì x = -15 ; y = - 6 Kết luận : Vậy giá trị lớn nhất của P là 0 khi và chỉ khi x = 15 ; y = 6 hoặc x = -15 ; y = - 6 0.25 b) Ta có: x x x y z x y     y y x y t x y     z z y z t z t     t t x z t z t     M < ) z t t z t z ) ( x y y x y x (        => M < 2 + Có M10 < 210 (Vì M > 0) mà 210= 1024 < 1025 Vậy M10 < 1025 0,1 0,25 0,25 4 (4đ) Vẽ hình ghi giả thiết kết luận I M N O E D B C A 0,5 Chứng minh : 1 . 2 OD BC  Trên tia đối của tia OD lấy điểm I sao cho OI = OD. Nối I với C. 0,5 Chứng minh được ΔOBD = ΔOCI (c.g.c) 0,5 BD = CI và    BDO OIC Mà hai góc này ở vị trí so le trong DB // CI Mà CD  BD  CD  CI 0,5 Chứng minh được ΔBDC = ΔICD (c.g.c) 0,5 BC = DI Từ đó  1 . 2 OD BC  Chứng minh ΔOMN cân Nối O với E Chứng minh tương tự câu a có 1 . 2 OE BC  0,5  OD = OE  ΔOED cân tại O 0,25 Chứng minh được    OEM ODN 0,25 -Chứng minh được ΔOEM = ΔODN (c.g.c) 0,5  OM = ON  Điều phải chứng minh 5 (2đ) Chứng minh: AM DE  2,0đ Trên tia đối của tia MA lấy điểm F sao cho MF = MA   ( . . ) (1); (2) AMB FMC c g c AB AD CF ABM FCM         0,5đ Từ (2)   0     CF AB FCA BAC  180 (3) 0,5đ             0 0 0 0 90 ; 90 180 180 (4) AD AB BAE EAD BAD AE AC CAD EAD CAE BAE EAD CAD EAD BAC EAD                   0,5đ Từ (3) và (4)         FCA EAD ADE CFA c g c AED CAF   ( . . )   0,5đ mà    0 CAF FAE CAE    90 nên   0    AED FAE 90 hay   0 AEK KAE   90 0,5đ  AKE vuông tại K   AM DE 0,5đ 6 (2đ) Điểm A thuộc đồ thị hàm số y = ax nên tọa độ (2;1) của A phải thỏa mãn hàm số y = ax. 0,25 Do đó, 1 = a.2  a = 1 2 . Vậy hàm số được cho bởi công thức y = 1 2 x. Hai điểm A và B thuộc đồ thị hàm số nên hoành độ và tung độ của chúng tỉ lệ thuận với nhau. 0,25 Suy ra 0 0 0 0 1 2 2 2 4 4 y y x x      (theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau) 0,5 Vậy 0 0 2 4 y x   = 1 2 . 0,25 Nếu x0 = 5 thì y0 = 1 2 x0 = 5 2 = 2,5. 0,25 Diện tích tam giác OBC là: Áp dụng công thức S = 1 2 (a.h) ta có: SOBC = 1 2 . 5. 2,5 = 6,25. 0, 5