





PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN ĐÔNG HƯNG
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7
NĂM HỌC 2018 - 2019
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1(4đ) a) Không dùng máy tính, hãy tính giá trị của biểu thức:
3 3 0, 6 0, 75 13 7
11 11 2, 2 2, 75 7 13
S
b. Cho biểu thức: 2 3 4 5 100
1 1 1 1 1 1
...
3 3 3 3 3 3
A
Tính giá trị của biểu thức 100
1
4 .
3
B A
Bài 2(4đ) a, Cho
27 - 2x Q =
12 - x
. Tìm các số nguyên x để Q có giá trị nguyên ?
b) Tìm x, biết: 1 13 5 5 0 x x
x x
Bài 3 : ( 4 điểm)
a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 2 2 P x y y x xy (2 5 ) 15 6 90
b) Cho biểu thức x y z t M
x y z x y t y z t x z t
với x, y, z, t là các số tự
nhiên khác 0. Chứng minh 10 M 1025 .
Bài 4 (4 điểm)
Cho tam giác ABC, O là trung điểm của BC. Từ B kẻ BD vuông góc với AC
(D thuộc AC). Từ C kẻ CE vuông góc với AB (E thuộc AB).
a. Chứng minh rằng: 1
.
2
OD BC
b. Trên tia đối của tia DE lấy điểm N, trên tia đối của tia ED lấy điểm M sao cho
DN = EM. Chứng minh rằng: Tam giác OMN là tam giác cân.
Bài 5: (2.0 điểm)
Cho tam giác ABC có góc A tù. Kẽ AD AB và AD = AB (tia AD nằm giữa hai tia AB và
AC). Kẽ AE AC và AE = AC (tia AE nằm giữa hai tia AB và AC). Gọi M là trung điểm của BC.
Chứng minh rằng: AM DE.
Bài 6: (2điểm).
Trong hình bên, đường thẳng OA là đồ thị của
hàm số y = f(x) = ax.
a) Tính tỉ số 0
0
2
4
y
x
.
b) Giả sử x0 = 5. Tính diện tích tam giác OBC
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
MÔN TOÁN 7
NĂM HỌC 2018 - 2019
( Thời gian làm bài: 120 phút)
Bài Câu Nội dung Điểm
1
(4đ)
1.a
(2 đ)
a) Tính giá trị của S
3 3 3 3 3 3 1 1 1 1
0 , 6 0 , 7 5 3
1 3 7 1 3 5 7 4 1 3 5 7 4 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 , 2 2 , 7 5 1 1
7 1 3 7 5 1 3 4 7 5 1 3 4
S
(Mỗi bước thực hiện tính ghi 0,5đ; nếu dùng máy tính chỉ đúng kết quả không ghi
điểm)
2đ
1.b
(2 đ) 2 3 4 5 100
1 1 1 1 1 1
...
3 3 3 3 3 3
A
2 3 4 99
1 1 1 1 1 3 1 ...
3 3 3 3 3
A
0,5
100
1
3 1
3
A A
1,0
100
1 1 1
4 3
A
0,5
A 0 100 100
1 1 1 1 1 1
4 3 4 3
A
0,25
100 100 100
1 1 1 1 4. 4. 1 1
3 4 3 3
B A 0,25
2
(4đ)
2.a
2,0đ Điều kiện : x Z ; x ≠ 12 0,25
Biến đổi 27 - 2x Q =
12 - x
2.(12 - x) + 3 3 = = 2 +
12 - x 12 - x
0,25
Ta có 2 Z ; x Z ; x ≠ 12
nên Q có giá trị nguyên khi và chỉ khi 3
12 x
có giá trị nguyên
0,25
0,25
Mà 3
12 x
có giá trị nguyên khi và chỉ khi 12 x Ư(3)
Ư(3) = -3; -1; 1; 3
+ Nếu 12 - x = - 3 thì x = 15 (thỏa mãn điều kiện) 0,25
+ Nếu 12 - x = -1 thì x = 13 (thỏa mãn điều kiện) 0,25
+ Nếu 12 - x = 1 thì x = 11 (thỏa mãn điều kiện) 0,25
+ Nếu 12 - x = 3 thì x = 9 (thỏa mãn điều kiện) 0,25
Vậy Q có giá trị nguyên khi và chỉ khi x 9; 11; 13; 15 0,25
2.b
.2,0đ b) Tìm x, biết: 1 13 5 5 0 x x
x x
2đ
1 13 1 12 5 5 0 5 1 5 0 x x x
x x x x
hoặc 1
5 0 x
x
, hoặc 12 1 5 0 x
0,5đ
0,5đ
1 5 0
5 0 5
1 0
x x
x x
x
(Thiếu x + 1 0, trừ 0,25đ) 0,5đ
12 12 5 1 6
1 5 0 5 1
5 1 4
x x
x x
x x
. Vậy: x = 4, x = 5, x = 6
(Thiếu một giá trị x – 5 = –1 , trừ 0,25đ) 0,5đ
3
(4đ)
3.a Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 2 2 P x y y x xy (2 5 ) 15 6 90 2,5đ
Ta có 2 2 P x y y x xy (2 5 ) 15 6 90
2 2 (2 5 ) 6 15 90 x y x y xy
2 2 (2 5 ) 9.(2 5 ) 90 x y x y xy
2 8.(2 5 ) 90 x y xy
0,5
Ta thấy 2
(2 5 ) 0 x y với mọi x, y nên 2 8.(2 5 ) 0 x y với mọi x, y
xy 90 0 với mọi x, y
0,25
0,25
Khi đó 2 8.(2 5 ) 90 0 x y xy với mọi x, y
Suy ra 2 8.(2 5 ) 90 0 x y xy với mọi x, y
Hay P ≤ 0 với mọi x, y
Dấu‘‘=’’ xảy ra khi 2
(2 5 ) 0 x y và xy 90 0 0,25
+ Với 2
(2 5 ) 0 x y thì 2 5
5 2
x y
x y
0,25
+ Với xy 90 0 thì xy = 90 0,25
Đặt
5 2
x y
k ta được x = 5k ; và y = 2k 0,25
Mà xy = 90 nên 5k .2k = 90
Tìm được k = 3 hoặc k = -3
+ Nếu k = 3 thì x = 15 ; y = 6 0,25
+ Nếu k = -3 thì x = -15 ; y = - 6
Kết luận : Vậy giá trị lớn nhất của P là 0 khi và chỉ khi x = 15 ; y = 6
hoặc x = -15 ; y = - 6
0.25
b) Ta có:
x x
x y z x y
y y
x y t x y
z z
y z t z t
t t
x z t z t
M <
)
z t
t
z t
z
) (
x y
y
x y
x
(
=> M < 2
+ Có M10 < 210 (Vì M > 0) mà 210= 1024 < 1025
Vậy M10 < 1025
0,1
0,25
0,25
4
(4đ)
Vẽ hình ghi giả thiết kết luận
I
M
N
O
E
D
B C
A
0,5
Chứng minh :
1
.
2
OD BC
Trên tia đối của tia OD lấy điểm I sao cho OI = OD. Nối I với C. 0,5
Chứng minh được ΔOBD = ΔOCI (c.g.c) 0,5
BD = CI
và BDO OIC Mà hai góc này ở vị trí so le trong
DB // CI
Mà CD BD CD CI
0,5
Chứng minh được ΔBDC = ΔICD (c.g.c) 0,5
BC = DI
Từ đó
1
.
2
OD BC
Chứng minh ΔOMN cân
Nối O với E
Chứng minh tương tự câu a có
1
.
2
OE BC
0,5
OD = OE ΔOED cân tại O 0,25
Chứng minh được OEM ODN 0,25
-Chứng minh được ΔOEM = ΔODN (c.g.c) 0,5 OM = ON Điều phải chứng minh
5
(2đ)
Chứng minh: AM DE 2,0đ
Trên tia đối của tia MA lấy điểm F sao cho MF = MA
( . . )
(1); (2)
AMB FMC c g c
AB AD CF ABM FCM
0,5đ
Từ (2) 0
CF AB FCA BAC 180 (3) 0,5đ
0 0
0 0
90 ; 90
180 180 (4)
AD AB BAE EAD BAD AE AC CAD EAD CAE
BAE EAD CAD EAD BAC EAD
0,5đ
Từ (3) và (4) FCA EAD ADE CFA c g c AED CAF ( . . ) 0,5đ
mà 0 CAF FAE CAE 90 nên 0 AED FAE 90 hay 0 AEK KAE 90 0,5đ
AKE vuông tại K AM DE 0,5đ
6 (2đ) Điểm A thuộc đồ thị hàm số y = ax nên tọa độ (2;1) của A phải thỏa mãn hàm số y = ax.
0,25
Do đó, 1 = a.2 a =
1
2
. Vậy hàm số được cho bởi công thức y = 1
2
x.
Hai điểm A và B thuộc đồ thị hàm số nên hoành độ và tung độ của chúng tỉ lệ thuận
với nhau. 0,25
Suy ra 0 0
0 0
1 2 2
2 4 4
y y
x x
(theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau) 0,5
Vậy 0
0
2
4
y
x
=
1
2
. 0,25
Nếu x0 = 5 thì y0 =
1
2
x0 =
5
2
= 2,5. 0,25
Diện tích tam giác OBC là:
Áp dụng công thức S = 1
2
(a.h) ta có:
SOBC =
1
2
. 5. 2,5 = 6,25.
0, 5
0 Nhận xét