PHÒNG GIÁO DỤC QUẬN HOÀNG MAI ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ 2 NĂM HỌC 2019-2020 MÔN: Toán Thời gian làm bài : 90 phút Ngày thi 04 tháng 6 năm 2020 Câu I. (2 điểm): Cho hai biểu thức 1 2 x A x − = + và 2 4 2 4 x x B x x − = − + − với x x   0; 4 1. Tính giá trị biểu thức A khi x = 9. 2. Chứng minh 2 2 x B x − = + . 3. Đặt P A B = : . Tìm các giá trị của x để 2 2 1 P x = + . Câu II. (2,5 điểm): 1. Quãng đường AB dài 6km . Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc không đổi. Khi từ B trở về A người đó giảm vận tốc 3 / km h so với lúc đi từ A đến B . Biết thời gian lúc đi ít hơn thời gian lúc về là 6 phút. Tính vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B . 2. Một hộp sữa hình trụ có chiều cao 12cm , bán kính đáy là 4cm như hình vẽ bên. Tính diện tích vật liệu cần dùng để tạo nên vỏ hộp sữa đó (không tính phần ghép nối). Câu III. (2 điểm): 1. Giải hệ phương trình : ( )( ) ( )( ) 1 2 6 2 3 1 x y xy x y xy  − + = −   + − = +  2. Cho phương trình : 2 2 x mx m m − + + − = 2 1 0 với m là tham số a) Giải phương trình với m =−3 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 x x; sao cho 2 2 1 2 1 2 x x x x + = −3 . Câu IV. (3,0 điểm): Cho tam giác ABC nhọn ( AB AC  ) nội tiếp đường tròn (O) . Kẻ đường kính AD của đường tròn (O) . Tiếp tuyến tại điểm D của đường tròn (O) cắt đường thẳng BC tại điểm K . Tia KO cắt AB tại điểm M , cắt AC tại điểm N . Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng BC 1) Chứng minh CBD CDK = và 2 KD KB KC = . 2) Chứng minh tứ giác OHDK nội tiếp và AON BHD = 3) Chứng minh OM ON = Bài V.(0,5 điểm): Cho a b R ,  thỏa mãn 2 2 a ab b a b − + = + . Tìm GTLN và GTNN của P a b = + 505 505 ---HẾT--- 12cm 4cm HƯỚNG DẪN Câu I. (2 điểm): Cho hai biểu thức 1 2 x A x − = + và 2 4 2 4 x x B x x − = − + − với x x   0; 4 1. Tính giá trị biểu thức A khi x = 9. 2. Chứng minh 2 2 x B x − = + . 3. Đặt P A B = : . Tìm các giá trị của x để 2 2 1 P x = + . Hướng dẫn 1. Khi x = 9 thì x 9 3 = = suy ra 3 1 2 A 3 2 5 − = = + 2. ( ) ( ) ( ) x 2( x 2) x 2 x 2 B x 2 x 2 x 2 x 2 . x 2 x 2 − − = − = − = + + + − + + 3. P = A : B x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 P : . x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 − − − + − = = = + + + − − ( ) ( ) ( ) 1 2 2. 2 1 2 1 2 1 . 2 2 2 1 x P x x x x x x − = +  = = +  − + − − 0 ( ) 0 2 5 0 25 2 5 0 ( ) 4 x TMÐK x x x x x TMÐK  =  =  − =      − =  =   Câu II. (2,5 điểm): 1. Quãng đường AB dài 6km . Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc không đổi. Khi từ B trở về A người đó giảm vận tốc 3 / km h so với lúc đi từ A đến B . Biết thời gian lúc đi ít hơn thời gian lúc về là 6 phút. Tính vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B . 2. Một hộp sữa hình trụ có chiều cao 12cm , bán kính đáy là 4cm như hình vẽ bên. Tính diện tích vật liệu cần dùng để tạo nên vỏ hộp sữa đó (không tính phần ghép nối). Hướng dẫn 1. Gọi vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B là x (km/h), x 3. Vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ B về A là x 3 (km/h) Thời gian người đó đi từ A đến B là 6 x (h) Thời gian người đó đi từ B về A là 6 x 3 (h) Vì thời gian lúc đi ít hơn thời gian lúc về là 6 phút 1 10 (h) nên ta có phương trình: 6 6 1 x x 3 10 10.6 10.6( 3) ( 3) x x x x 2 60 60 180 3 x x x x 2 x x3 180 0 ( 15)( 12) 0 x x 15 ( ) 12 ( ) x TM x KTM Vậy vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B là 15 km/h. 2. Diện tích vật liệu cần dùng chính là diện tích toàn phần của hình trụ có chiều cao 12cm , bán kính đáy là 4cm . Do đó, diện tích vật liệu cần dùng là: 2 2 2 S rh r = + = + = 2 2 2 .4.12 2 .4 402,124(cm )     Câu III. (2 điểm). 1. Giải hệ phương trình : ( )( ) ( )( ) 1 2 6 2 3 1 x y xy x y xy  − + = −   + − = +  2. Cho phương trình : 2 2 x mx m m − + + − = 2 1 0 với m là tham số a) Giải phương trình với m =−3 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 x x; sao cho 2 2 1 2 1 2 x x x x + = −3 . Hướng dẫn 1. Giải hệ phương trình : ( )( ) ( )( ) 1 2 6 2 3 1 x y xy x y xy  − + = −   + − = +  2 2 6 2 4 4 2 8 1 1 3 2 6 1 3 2 7 3 2 7 4 2 8 2 xy x y xy x y x y x x xy x y xy x y x y x y y     + − − = − − = − − = −  = − = −           − + − = + − + = − + = − = − =  Vậy ( x y, 1,2 ) = −( ) là nghiệm của hệ phương trình. 2. a) Giải phương trình với m =−3. Thay m =−3 vào phương trình ta có : 2 x x + + = 6 5 0 ( ( 1, 6, 5) a b c = = = vì a b c − + = 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt : 1 5 x x  = −   = − Vậy với m =−3 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt 1 5 x x  = −   = − b) Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì : ( ) 2  = −  ' ' 0 b ac  − +  m 1 0   m 1 Với m 1 áp dụng viet ta có : 1 2 2 1 2 2 . 1 x x m x x m m  + =   = + − Theo bài ra ta có : 2 2 1 2 1 2 x x x x + = −3 . ( ) 2 1 2 1 2  + − − = x x x x. 3 0 2  − − = + + = 3 2 0( 0) m m a b c 1( ) 2 ( / ) 3 m l m t m  =   −  =  Vậy 2 3 m − = thì phương trình có 2 nghiệm 1 2 x x, thỏa mãn 2 2 1 2 1 2 x x x x + = −3 . x Câu IV. (3,0 điểm): Cho tam giác ABC nhọn ( AB AC  ) nội tiếp đường tròn (O) . Kẻ đường kính AD của đường tròn (O) . Tiếp tuyến tại điểm D của đường tròn (O) cắt đường thẳng BC tại điểm K . Tia KO cắt AB tại điểm M , cắt AC tại điểm N . Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng BC 1) Chứng minh CBD CDK = và 2 KD KB KC = . 2) Chứng minh tứ giác OHDK nội tiếp và AON BHD = 3) Chứng minh OM ON = Hướng dẫn 1) Xét (O) có CDK là góc tạo bởi tia tiếp tuyến DK và dây cung chắn CD ; CBD là góc nội tiếp chắn CD  = CDK CBD Xét KDC và KBD có: K chung; KDC KBD = (cmt)    KDC KBD ~ (g.g) 2 . KD KC KD KB KC KB KD  =  = 2) Xét (O) : H là trung điểm của dây BC 0  ⊥  =   OH BC OHK H 90 đường tròn đường kính OK Mà 0 KDO = 90 (do DK là tiếp tuyến của (O) )  D đường tròn đường kính OK Vậy tứ giác OHDK nội tiếp đường tròn đường kính OK  = DHK DOK (2 góc nội tiếp cùng chắn DK của đường tròn ngoại tiếp OHDK ) ( ) 0 0  = = − = − BHD AON DHK DOK 180 180 3) Có MOA DOK = (đối đỉnh); DOK DHC = (chứng minh câu 2)  = MOA DHC Xét AMO và CDH có: MOA DHC = (cmt); MAO DCH = (2 góc nội tiếp cùng chắn BD của (O) )    AMO CDH ~ (g.g) OM AO HD CH  = (1) Xét và BDH có: AON BHD = (chứng minh câu 2); NAO DBH = (2 góc nội tiếp cùng chắn CD của (O) ) (g.g) ON AO HD BH  = (2)    ANO BDH ~ Mà (3) Từ (1) (2) (3) OM ON OM ON HD HD  =  = (đpcm) Bài V.(0,5 điểm): Cho a b R ,  thỏa mãn 2 2 a ab b a b − + = + . Tìm GTLN và GTNN của P a b = + 505 505 Hướng dẫn Ta có: 2 2 2 ( ) ( ) 0 , ( ) 4 , 4 a b a b a b R a b ab ab a b R + −     +      Khi đó, 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 3 ( ) 3 4 4 a b a b a ab b a b ab a b + + − + = + −  + − = Đặt: t a b = + 2 2 2 2 ( ) ( 4) 0 0 4 4 4 a b t a ab b a b t t t t +  − + = +     −     Ta có : P a b a b t = + = + = 505 505 505( ) 505 Từ điều kiện 0 4 0 505. 505.4 0 2020         t t P Vậy, 0 0 0 a b MinP a b t a b  = =   = =   = + = 2020 2 4 a b MaxP a b t a b  = =   = =   = + = . ---HẾT---