Đề bài


Câu 1.(2,5 điểm)

   a) Xét tính đúng sai và lập mệnh đề phủ định của mệnh đề sau:

aR,a(a+1) không chia hết cho 2.

   b) Tìm tập xác định của hàm số y=x+3+2x2+2|x2+5x+6|

   c) Xét tính chẵn lẻ của hàm số y=2021x2021+2019x|x|+5


Câu 2.(2 điểm)

   a) Tìm m[1;2020] để hàm số y=(m24)x+m1 đồng biến trên R.

   b) Vẽ đồ thị và lập bảng biến thiên hàm số y=|x+1|


Câu 3. (2 điểm) Gọi (P) là đồ thị của hàm số y=x2+ax+b đi qua gốc tọa độ và có trục đối xứng là x=2.

   a) Tìm a,b.

   b) Khi tịnh tiến đồ thị (P) sang trái 1 đơn vị, rồi xuống dưới 3 đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số nào?


Câu 4.(3,5 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, F là điểm xác định bởi 4AF=AB.

   1) Phân tích vectơ AF theo hai vectơ AC và BC.

   2) Tìm số thực x sao cho BH=xBC đồng thời ba điểm F, H, G thẳng hàng.

   3) Với mỗi điểm M, xác định điểm N thỏa mãn: MN=23(MA+MB+MC). Tìm tập hợp các điểm N khi M chạy trên đường tròn tâm O bán kính R.













































Lời giải chi tiết

Câu 1.

a) Mệnh đề sai vì:

a=1Ra(a+1)=2 chia hết cho 2.

Mệnh đề phủ định: aR,a(a+1) chia hết cho 2.

b) ĐKXĐ: {x+30x2+5x+60{x3x6x1

Tập xác định của hàm số là: D=[3;1)(1;6)(6;+)

c) Tập xác định D=R

xDxD

Lấy tùy ý xD ta có

f(x)=2021(x)2021+2021(x)|x|+5=2021x20212021x|x|+5

f(x)f(x) và f(x)f(x)

Vậy hàm số đã cho không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ.

Câu 2.

a) Hàm số y=(m24)x+m1 đồng biến trên R

m24>0xR(m2)(m+2)>0xR[m>2m<2

Kết hợp với điều kiện 1m2020. Ta được:

{1m2020[m>2m<22<m2020

Vậy 2<m2020.

b) Ta có hàm số y=|x+1| xác định với mọi x.

Nếu x1, thì |x+1|=x+1

Nếu x<1, thì |x+1|=x1

Do đó hàm số đã cho là y={x+1khix1x1khix<1

Đồ thị:

 

Hàm số đồng biến trên (1;+) và nghịch biến trên (;1)

Bảng biến thiên:

 

Câu 3.

a) Ta có (P) đi qua gốc tọa độ O(0;0)  nên tọa độ của O thỏa mãn hàm số y=x2+ax+b.

0=02+a.0+bb=0.

(P) có trục đối xứng là x=a2a2=2a=4.

Vậy a=4,b=0.

b) Hàm số ban đầu là: y=x24x.

Khi tịnh tiến đồ thị sang trái 1 đơn vị ta được đồ thị của hàm số

y=f(x+1)=(x+1)24(x+1)=x22x3.

Khi tịnh tiến đồ thị trên xuống dưới 3 đơn vị ta được đồ thị của hàm số

y=x22x33=x22x6.

Vậy hàm số cần tìm là y=x22x6.

Câu 4.

 

a) Ta có

4AF=ABAF=14AB=14(ACBC)=14AC14BC

b) Gọi D là trung điểm BC. Vì H thuộc cạnh BC nên đặt BH=xBC.

Ta có :

FG=FA+AG=14AB+23AD=14AB+23.12(AB+AC)=112AB+13AC

FH=FB+BH=34AB+xBC=34AB+xACxAB=(x34)AB+xAC

Để F,G, H thẳng hàng thì tồn tại số k khác 0 để FG=kFH

112AB+13AC=k[(x34)AB+xAC]

{kx34k=112kx=13{k=59x=35

Vậy x=35.

c) G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có:

MA+MB+MC=3MGMN=23.3MG=2MG.

Hay N là điểm đối xứng với M qua G GN=MG

Gọi O là điểm đối xứng với O qua G GO=OG

Khi đó NO=OMON=OM=R. Vì O và G cố định nên O’ cố định, do đó khi M chạy trên đường tròn tâm O bán kính R thì N chạy trên đường tròn tâm O bán kính R.