Đề kiểm tra giữa kì 1 Toán 10 đề số 2

 

Đề bài

Câu 1.(2,5 điểm)

   a) Xét tính đúng sai và lập mệnh đề phủ định của mệnh đề sau:

$\forall a\in R,a\left(a+1\right)$ không chia hết cho 2.

   b) Tìm tập xác định của hàm số $y=\sqrt{x+3}+\frac{2x^2+2}{\left|-x^2+5x+6\right|}$

   c) Xét tính chẵn lẻ của hàm số $y=2021x^{2021}+2019x\left|x\right|+5$

Câu 2.(2 điểm)

   a) Tìm $m\in \left[1;2020\right]$ để hàm số $y=\left(m^2-4\right)x+m-1$ đồng biến trên $R$.

   b) Vẽ đồ thị và lập bảng biến thiên hàm số $y=\left|x+1\right|$

Câu 3. (2 điểm) Gọi $\left(P\right)$ là đồ thị của hàm số $y=x^2+ax+b$ đi qua gốc tọa độ và có trục đối xứng là $x=2$.

   a) Tìm $a,b$.

   b) Khi tịnh tiến đồ thị $\left(P\right)$ sang trái 1 đơn vị, rồi xuống dưới 3 đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số nào?

Câu 4.(3,5 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, F là điểm xác định bởi $4\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}$.

   1) Phân tích vectơ $\overrightarrow{AF}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BC}$.

   2) Tìm số thực x sao cho $\overrightarrow{BH}=x\overrightarrow{BC}$ đồng thời ba điểm F, H, G thẳng hàng.

   3) Với mỗi điểm M, xác định điểm N thỏa mãn: $\overrightarrow{MN}=\frac{2}{3}\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)$. Tìm tập hợp các điểm N khi M chạy trên đường tròn tâm O bán kính R.

Lời giải chi tiết

Câu 1.

a) Mệnh đề sai vì:

$a=1\in R\Rightarrow a\left(a+1\right)=2$ chia hết cho 2.

Mệnh đề phủ định: $\exists a\in R,a\left(a+1\right)$ chia hết cho 2.

b) ĐKXĐ: $\{\begin{array}{c}x+3\ge 0\\ -x^2+5x+6\ne 0\end{array}$$\iff \{\begin{array}{c}x\ge -3\\ x\ne 6\\ x\ne -1\end{array}$

Tập xác định của hàm số là: $D=\left[-3;-1\right)\cup \left(-1;6\right)\cup \left(6;+\infty \right)$

c) Tập xác định $D=R$

$\forall x\in D\Rightarrow -x\in D$

Lấy tùy ý $x\in D$ ta có

$\begin{array}{c}f\left(-x\right)=2021{\left(-x\right)}^{2021}+2021\left(-x\right)\left|-x\right|+5\\ =-2021x^{2021}-2021x\left|x\right|+5\end{array}$

$\Rightarrow f\left(-x\right)\ne f\left(x\right)$ và $f\left(-x\right)\ne f\left(x\right)$

Vậy hàm số đã cho không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ.

Câu 2.

a) Hàm số $y=\left(m^2-4\right)x+m-1$ đồng biến trên $R$

$\begin{array}{c}\iff m^2-4>0\forall x\in R\\ \iff \left(m-2\right)\left(m+2\right)>0\forall x\in R\\ \iff [\begin{array}{c}m>2\\ m<-2\end{array}\end{array}$

Kết hợp với điều kiện $1\le m\le 2020$. Ta được:

$\{\begin{array}{c}1\le m\le 2020\\ [\begin{array}{c}m>2\\ m<-2\end{array}\end{array}\iff 2<m\le 2020$

Vậy $2<m\le 2020$.

b) Ta có hàm số $y=\left|x+1\right|$ xác định với mọi $x$.

Nếu $x\ge -1$, thì $\left|x+1\right|=x+1$

Nếu $x<-1$, thì $\left|x+1\right|=-x-1$

Do đó hàm số đã cho là $y=\{\begin{array}{c}x+1khix\ge -1\\ -x-1khix<-1\end{array}$

Đồ thị:

 

Hàm số đồng biến trên $\left(-1;+\infty \right)$ và nghịch biến trên $\left(-\infty ;-1\right)$

Bảng biến thiên:

 

Câu 3.

a) Ta có $\left(P\right)$ đi qua gốc tọa độ O(0;0)  nên tọa độ của O thỏa mãn hàm số $y=x^2+ax+b$.

$\Rightarrow 0=0^2+a.0+b\iff b=0$.

$\left(P\right)$ có trục đối xứng là $x=-\frac{a}{2}$$\Rightarrow -\frac{a}{2}=2\iff a=-4$.

Vậy $a=-4,b=0$.

b) Hàm số ban đầu là: $y=x^2-4x$.

Khi tịnh tiến đồ thị sang trái 1 đơn vị ta được đồ thị của hàm số

$y=f\left(x+1\right)={\left(x+1\right)}^2-4\left(x+1\right)=x^2-2x-3$.

Khi tịnh tiến đồ thị trên xuống dưới 3 đơn vị ta được đồ thị của hàm số

$y=x^2-2x-3-3=x^2-2x-6$.

Vậy hàm số cần tìm là $y=x^2-2x-6$.

Câu 4.

 

a) Ta có

$\begin{array}{c}4\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}\Rightarrow \overrightarrow{AF}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}\\ =\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}\right)=\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}\end{array}$

b) Gọi D là trung điểm BC. Vì H thuộc cạnh BC nên đặt $\overrightarrow{BH}=x\overrightarrow{BC}$.

Ta có :

$\begin{array}{c}\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{AG}=-\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}\\ =-\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\\ =\frac{1}{12}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\end{array}$

$\begin{array}{c}\overrightarrow{FH}=\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{BH}=-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+x\overrightarrow{BC}\\ =-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+x\overrightarrow{AC}-x\overrightarrow{AB}\\ =\left(-x-\frac{3}{4}\right)\overrightarrow{AB}+x\overrightarrow{AC}\end{array}$

Để F,G, H thẳng hàng thì tồn tại số k khác 0 để $\overrightarrow{FG}=k\overrightarrow{FH}$

$\iff \frac{1}{12}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}=k\left[\left(-x-\frac{3}{4}\right)\overrightarrow{AB}+x\overrightarrow{AC}\right]$

$\iff \{\begin{array}{c}-kx-\frac{3}{4}k=\frac{1}{12}\\ kx=\frac{1}{3}\end{array}\iff \{\begin{array}{c}k=-\frac{5}{9}\\ x=-\frac{3}{5}\end{array}$

Vậy $x=-\frac{3}{5}$.

c) $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên ta có:

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$$\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\frac{2}{3}.3\overrightarrow{MG}=2\overrightarrow{MG}$.

Hay $N$ là điểm đối xứng với $M$ qua $G$ $\Rightarrow \overrightarrow{GN}=\overrightarrow{MG}$

Gọi $O^{\prime }$ là điểm đối xứng với $O$ qua $G$ $\Rightarrow \overrightarrow{G{O}^{\prime }}=\overrightarrow{OG}$

Khi đó $\overrightarrow{N{O}^{\prime }}=\overrightarrow{OM}\Rightarrow O^{\prime }N=OM=R$. Vì O và G cố định nên O’ cố định, do đó khi M chạy trên đường tròn tâm $O$ bán kính R thì $N$ chạy trên đường tròn tâm $O^{\prime }$ bán kính R.