Đề kiểm tra giữa kì 1 Toán 10 - đề số 1 có lời giải chi tiết

 

Đề bài

Câu 1. (2,5 điểm)

   a) Cho tập $A,B$ lần lượt là tập xác định của hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{x-6}$ và $g\left(x\right)=\frac{3}{2x+1}$. Tìm $A\cap B,A\cup B,A\setminus B,C_{R}A$.

   b) Cho tập hợp $C=\left[-3;8\right]$ và $D=\left[m-6;m+3\right)$. Tìm điều kiện của $m$ để $C\cap D$ là một đoạn thẳng có độ dài bằng 4.

Câu 2.(1,5 điểm)

   1) Xét tính chẵn lẻ của hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{x^2+1}{\left|2x+1\right|+\left|2x-1\right|}$.

   2) Cho đường thẳng $\left(d\right)$: $y=\left|3x+2\right|-2$. Khi tịnh tiến $\left(d\right)$ lên trên 1 đơn vị, rồi sang phải 2 đơn vị, ta được đồ thị của hàm số nào?

Câu 3. (2,5 điểm) Cho hàm số $y=3x^2-2x+3$ có đồ thị là một parabol $\left(P\right)$.

   a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.

   b) Tìm tất cả giá trị của $m$ để đồ thị hàm số $y=x-m$ cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương.

Câu 4. (3,5 điểm) Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$có $BC=6\sqrt{2}cm$. Gọi $M,N$ là các điểm thỏa mãn $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$.

   a) Tính $\left|\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}\right|$.

   b) Chứng minh rằng $4\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}$.

   c) Gọi D là trung điểm của BC. Tìm tập hợp điểm E thỏa mãn $\left|\overrightarrow{EM}+\overrightarrow{EN}-\overrightarrow{ED}\right|=\frac{1}{2}AC$.

Lời giải chi tiết

Câu 1.

a) Ta có $f\left(x\right)=\sqrt{x-6}\Rightarrow$ĐKXĐ: $x-6\ge 0\iff x\ge 6$

$\Rightarrow A=\left[6;+\infty \right)$

$g\left(x\right)=\frac{3}{2x+1}\Rightarrow$ĐKXĐ: $2x+1\ne 0\iff x\ne -\frac{1}{2}$

$\Rightarrow B=R\setminus \left\{-\frac{1}{2}\right\}$

Ta có:$A\subset B$ nên $A\cap B=\left[6;+\infty \right)$;$A\cup B=R\setminus \left\{-\frac{1}{2}\right\}$;$A\setminus B=\varnothing$;

$C_{R}A=\left(-\infty ;6\right)$.

b) $C\cap D$ là một đoạn thẳng có độ dài bằng 4 khi và chỉ khi

$8-\left(m-6\right)=4\iff m=-10$

Câu 2.

a) TXĐ: $D=R$

Khi đó, $\forall x\in D\Rightarrow -x\in D$.

$\begin{array}{c}f\left(-x\right)=\frac{{\left(-x\right)}^2+1}{\left|-2x+1\right|+\left|-2x-1\right|}\\ =\frac{x^2+1}{\left|-\left(2x-1\right)\right|+\left|-\left(2x+1\right)\right|}\\ =\frac{x^2+1}{\left|2x-1\right|+\left|2x+1\right|}=f\left(x\right)\end{array}$

Vậy hàm số $y=f\left(x\right)$ là hàm chẵn.

b) Kí hiệu $f\left(x\right)=\left|3x+2\right|-2$.

Khi tịnh tiến $\left(d\right)$ lên trên 1 đơn vị ta được đồ thị $\left(d_1\right)$ của hàm số: $y=f\left(x\right)+1=\left|3x+2\right|-1$.

Kí hiệu $g\left(x\right)=\left|3x+2\right|-1$. Khi tịnh tiến $\left(d_1\right)$ sang phải 2 đơn vị ta được đồ thị $\left(d_2\right)$ của hàm số: $y=g\left(x-2\right)=\left|3\left(x-2\right)+2\right|-1=\left|3x-4\right|-1$.

Câu 3.

a) TXĐ: $D=R$

Ta có $-\frac{b}{2a}=\frac{1}{3};\frac{-\Delta }{4a}=\frac{8}{3}$. Đồ thị hàm số có đỉnh $I\left(\frac{1}{3};\frac{8}{3}\right)$ và trục đối xứng là $x=\frac{1}{3}$ và hướng bề lõm lên trên. Từ đó ta có hàm số nghịch biến trên $\left(-\infty ;\frac{1}{3}\right)$, đồng biến trên $\left(\frac{1}{3};+\infty \right)$.

Bảng biến thiên:

 

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có giá trị nhỏ nhất là $\frac{8}{3}$ khi $x=\frac{1}{3}$.

Ta có: (P) cắt trục tung tại điểm $\left(0;3\right)$, không cắt trục hoành, $\left(P\right)$ đi qua điểm $A\left(1;4\right),B\left(-\frac{1}{3};4\right)$.

Đồ thị:

 

b) Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $d$ và đồ thị $\left(P\right)$ là:

$\begin{array}{c}3x^2-2x+3=x-m\\ \iff 3x^2-3x+3-m=0\left(1\right)\end{array}$

Đồ thị hàm số $y=x-m$ cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương

$\iff$Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt dương $\begin{array}{c}\iff \{\begin{array}{c}\Delta >0\\ P>0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}9-\mathrm{4.3.}\left(3-m\right)>0\\ 3-m>0\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}m>\frac{3}{4}\\ m<3\end{array}\end{array}$

Vậy $\frac{3}{4}<m<3$

Câu 4.

 

a) Ta có: $\Delta ABC$ vuông cân tại A có $BC=6\sqrt{2}$ nên $AB=AC=6\left(cm\right)$.

$\begin{array}{c}{\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}\right)}^2=A{M}^2+2\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AN}+A{N}^2\\ =A{M}^2+A{N}^2=\frac{1}{4}A{B}^2+\frac{1}{16}A{C}^2\\ =\frac{5}{16}A{B}^2\Rightarrow \left|\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}\right|=\frac{\sqrt{5}}{4}AB=\frac{3\sqrt{5}}{2}\left(cm\right)\end{array}$

b) Ta có

$\begin{array}{c}4\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{AB}\\ =4\left(\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}\right)-\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{AB}\\ =\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}\end{array}$

c) Kẻ hình bình hành $MDNP$. Ta có

 $\begin{array}{c}\overrightarrow{EM}+\overrightarrow{EN}-\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{EM}+\overrightarrow{DN}\\ =\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{DM}+\overrightarrow{DN}=\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{DP}=\overrightarrow{EP}\end{array}$

$\Rightarrow$tập hợp điểm $E$ cần tìm là đường tròn tâm $P$ bán kính $3cm$.