Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 2, 3 - Đề số 3 - Đại số 10

 

Đề bài

Câu 1. Cho hàm số $y=2mx+1-m\left(1\right)$ .

   a.Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi $m=-1.$

   b.Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số (1) luôn đi qua khi m thay đổi.

   c.Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt parabol $y=x^2+2x-2$ tại hai điểm phân biệt.

Câu 2.

   a.Giải phương trình $\left(x^2+x-2\right)\left(x^2+x-3\right)=12$ .

   b.Giải và biện luận phương trình $\frac{x-m}{x-1}=m^2$ theo tham số m.

Câu 3. Cho phương trình $m{x}^2-2\left(m+1\right)x+m+2=0$ .

   a. Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm còn lại.

   b. Xác định các giá trị nguyên của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho tổng các nghiệm là một số nguyên.

Lời giải chi tiết

Câu 1.

a. Khi $m=-1$ ta có hàm số $y=-2x+2$ .

Tập xác định D=R.

Do a=-2 < 0 nên hàm số nghịch biến trên R.

$x=0\Rightarrow y=2$ : Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0;2).

$y=0\Rightarrow x=1$ : Đồ thị cắt trục hoành tại điểm (1;0).

Đồ thị

 

b. Giả sử $\left(x_0;y_0\right)$ là điểm đồ thị luôn luôn đi qua khi m thay đổi.

Ta có:

$\begin{array}{c}{y}_0=2m{x}_0+1-m\\ \iff 2m{x}_0-m+1-y_0=0\\ \iff \left(2x_0-1\right)m+\left(1-y_0\right)=0\end{array}$

Điểm M là điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua

$\iff$ phương trình trên nghiệm đúng với mọi m

$\iff \{\begin{array}{c}2x_0-1=0\\ 1-y_0=0\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}{x}_0=\frac{1}{2}\\ y_0=1\end{array}$

Vậy đồ thị luôn luôn đi qua điểm $\left(\frac{1}{2};1\right)$ khi m thay đổi.

c. Phương trình hoành độ giao điểm parabol và đường thẳng

$x^2+2x-2=2mx+1-m$

$\iff x^2+2\left(1-m\right)x+m-3=0(\ast )$

Đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt $\iff (\ast )$ có hai nghiệm phân biệt.

Ta có:

${\Delta }^{\prime }={\left(1-m\right)}^2-\left(m-3\right)$$=m^2-3m+4$$={\left(m-\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{7}{4}>0,\forall m\in R$

Suy ra đường thẳng luôn luôn cắt parabol tại hai điểm phân biệt với mọi m.

Câu 2.

a. Xét phương trình $\left(x^2+x-2\right)\left(x^2+x-3\right)=12$

Đặt $t=x^2+x-2$ .Phương trình trở thành

$t\left(t-1\right)=12\iff t^2-t-12=0$

$\iff [\begin{array}{c}t=4\\ t=-3\end{array}$

Với: $x^2+x-2=4\iff x^2+x-6=0$

$\iff [\begin{array}{c}x=-3\\ x=2\end{array}$

Với: $x^2+x-2=-3\iff x^2+x+1=0$ . Phương trình vô nghiệm.

Kết luận: Phương trình đã cho có hai nghiệm $x=-3,x=2.$

b. Xét phương trình $\frac{x-m}{x-1}=m^2$  (1)

Điều kiện xác định: $x\ne 1$ .

Với điều kiện trên phương trình tương đương

$x-m=m^2\left(x-1\right)$

$\begin{array}{c}\iff x-m=m^{2}x-m^2\\ \iff m^{2}x-x=m^2-m\end{array}$

$\iff \left(m^2-1\right)x=m^2-m$    (2)

Với $m^2-1\ne 0\iff m\ne \pm 1$ : Phương trình (2) có nghiệm duy nhất

$x=\frac{m^2-m}{m^2-1}=\frac{m\left(m-1\right)}{\left(m-1\right)\left(m+1\right)}=\frac{m}{m-1}$

Nghiệm này thỏa mãn điều kiện $x\ne 1$ .

Với: $m^2-1=0\iff m=\pm 1$

+)  $m=1$ phương trình (2) trở thành $0x=0$. Phương trình nghiệm đúng với mọi $x\in R$.

Suy ra phương trình (1) nghiệm đúng với mọi $x\ne 1$ .

+) $m=-1$ phương trình (2) trở thành $0x=2$. Phương trình vô nghiệm.

Suy ra phương trình (1) vô nghiệm.

Kết luận:

$m\ne \pm 1:x=\frac{m}{m-1}$

$m=1:x\ne 1$

$m=-1$ : Vô nghiệm

Câu 3.

a. Xét phương trình $m{x}^2-2\left(m+1\right)x+m+2=0$.

Phương trình có nghiệm x= 2 khi: $4m-4\left(m+1\right)+m+2=0$

$\begin{array}{c}\iff 4m-4m-4+m+2=0\\ \iff m-2=0\end{array}$

$\iff m=2$ .

Khi đó phương trình trở thành $2x^2-6x+4=0$

$\iff [\begin{array}{c}x=2\\ x=1\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm $x=2$ khi $m=2$. Nghiệm còn lại là $x=1$.

b. Ta có:

${\Delta }^{\prime }={\left(m+1\right)}^2-m\left(m+2\right)=1>0$ .

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với $\forall m\ne 0$ .

Khi đó tổng các nghiệm là: $S=\frac{2\left(m+1\right)}{m}=\frac{2m+2}{m}=2+\frac{2}{m}$.

S là số nguyên khi và chỉ khi m là ước số của 2.

Vậy $m=\pm 1,m=\pm 2$ .