Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 2 + 3 - Đề số 1 - Đại số 10

 

Đề bài

Câu 1.

   a. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y=3x^2-6x+2$ .

   b. Xác định a, b để đường thẳng $y=ax+b$ đi qua hai điểm A(3;1), B(-3;-5).

   c. Xác định giao điểm của hai đồ thị trên.

Câu 2.

   a. Giải và biện luận phương trình $m^{2}x-3=9x+m$ theo tham số m.

   b. Giải phương trình $\frac{x^2-2}{x}+\frac{x}{x^2-2}=2$ .

Câu 3. Cho phương trình $\left(m-1\right)x^2-2mx+m+2=0$ .

   a. Xác định m để phương trình có nghiệm.

   b. Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm trái dấu?

Lời giải chi tiết

Câu 1.

a.Xét hàm số $y=3x^2-6x+2$

Tập xác định $D=R$

Đỉnh: $I\left(1;-1\right)$

Trục đối xứng $x=1$

$x=0\Rightarrow y=2$ : Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0;2).

$y=0\Rightarrow 3x^2-6x+2=0\Rightarrow x=\frac{3\pm \sqrt{3}}{3}$ .

Đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm $\left(\frac{3\pm \sqrt{3}}{3};0\right)$

 

Đồ thị

 

b.Đường thẳng $y=ax+b$ đi qua hai điểm $A\left(3;1\right),B\left(-3;-5\right)$ khi và chỉ khi

$\{\begin{array}{c}3a+b=1\\ -3a-b=-5\end{array}\iff \{\begin{array}{c}a=1\\ b=-2\end{array}$

Vậy đường thẳng có phương trình $y=x-2$ .

c. Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị

$3x^2-6x+2=x-2\iff 3x^2-7x+4=0\iff [\begin{array}{c}x=1\\ x=\frac{4}{3}\end{array}$

Vậy giao điểm của hai đồ thị là (1;-1) và $\left(\frac{4}{3};-\frac{2}{3}\right)$ .

Câu 2.

a.Ta có $m^{2}x-3=9x+m\iff \left(m^2-9\right)x=m+3$ .

Xét các trường hợp

$m^2-9\ne 0\iff m\ne \pm 3$

Phương trình có nghiệm duy nhất $x=\frac{m+3}{m^2-9}=\frac{1}{m-3}$ .

$m=3$: Phương trình trở thành $0x=6$. Phương trình vô nghiệm.

m= -3:Phương trình trở thành 0x= 0. Phương trình nghiệm đúng với mọi 

Kết luận :

$m\ne \pm 3:x=\frac{1}{m-3}$ .

m= 3: Phương trình vô nghiệm .

b. Xét phương trình $\frac{x^2-2}{x}+\frac{x}{x^2-2}=2$

Điều kiện xác định: $x\ne 0,x\ne \pm \sqrt{2}$ .

Đặt $t=\frac{x^2-2}{x},t^2\ne 0$ . Phương trình trở thành

$t+\frac{1}{t}=2\iff t^2-2t+1=0$

$\iff t=1$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy $\frac{x^2-2}{x}=1\iff x^2-x-2=0$

$\iff [\begin{array}{c}x=-1\\ x=2\end{array}$ (thỏa mãn điều kiện)

Phương trình đã cho có hai nghiệm $x=-1,x=2.$

Câu 3.

a. Xét phương trình  $\left(m-1\right)x^2-2mx+m+2=0$ (1)

$m=1$: Phương trình trở thành $-2x+3=0$ . Phương trình có nghiệm $x=\frac{3}{2}$ .

$m\ne 1$ : Lập ${\Delta }^{\prime }=m^2-\left(m-1\right)\left(m+2\right)=-m+2$ .

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi ${\Delta }^{\prime }\ge 0\iff -m+2\ge 0\iff m\le 2$ .

Kết luận: Phương trình (1) có hai nghiệm khi $m\le 2$ .

b. Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi

$P<0\iff \frac{n+2}{m-1}<0$

$\iff [\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}m+2>0\\ m-1<0\end{array}\iff -1<m<1\\ \{\begin{array}{c}m+2<0\\ m+1>0\end{array}\end{array}$