Đề bài
Câu 1 (2đ) Cho hình chữ nhật ABCD, AB=3;AD=4 Hãy tính?
a. ∣∣∣−−→AB+−−→AD∣∣∣
b. ∣∣∣2−−→AB+3−−→AD∣∣∣
Câu 2 (1đ) Cho ΔABC có đường trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM. Chứng minh các đẳng thức vectơ sau:
a) −−→AB+−→CI=−→AI+−−→CB
b) 2−→IA+−→IB+−→IC=→0
Câu 3 (2đ) Cho các véc tơ : →a=(2;−3) , →b=(−5;1) và →c=(−5;−12).
a) Tính toạ độ véc tơ →u=−→2a+3→b .
b) Phân tích vectơ →c theo hai vectơ →a và →b.
Câu 4 (2.5đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(4;1); B(0;3); C(1;2).
a) Chứng minh ba điểm A, B, C lập thành ba đỉnh của một tam giác.
b) Tìm tọa độ của trung điểm cạnh AB.
c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
d) Tìm tọa độ điểm D của hình bình hành ABCD.
e) Tìm tọa độ điểm E thuộc trục hoành sao cho AE+BE đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 5 (1đ) Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của AB.
a. Tính −−→DM theo −−→DA và −−→DC;
b. Gọi N là điểm thỏa mãn −−→NC+2−−→NA=→0. Chứng minh D, N, M thẳng hàng.
Câu 6 (0.75đ) Cho tam giác ABC.Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn
∣∣∣−−→MA+−−→MB+−−→MC∣∣∣=32∣∣∣−−→MB+−−→MC∣∣∣
Câu 7 (0.75đ) Biết tháp Eiffel ở thủ đô Paris nước Pháp có chiều cao là 324m. Khi xây dựng người ta thiết kế theo tỉ lệ vàng. Tính độ cao từ mặt đất tới tầng 2 của tháp (Đoạn AB)
Lời giải chi tiết
Câu 1 (2 điểm)
a) Ta có:
ABCD là hình chữ nhật nên ∣∣∣−−→AB+−−→AD∣∣∣=∣∣∣−−→AC∣∣∣=AC
Tam giác ABC vuông tại B nên theo Pitago ta có:
AC=√AB2+BC2 =√32+42=5
Vậy ∣∣∣−−→AB+−−→AD∣∣∣=5.
b) Dựng các điểm E, F sao cho −−→AE=2−−→AB;−−→AF=3−−→AD
⇒AE=2AB=2.3=6AF=3AD=3.4=12
Dựng hình chữ nhật AEMF ta có :
∣∣∣2−−→AB+3−−→AD∣∣∣=∣∣∣−−→AE+−−→AF∣∣∣=∣∣∣−−→AM∣∣∣=AM
Tam giác AEM vuông tại E nên theo Pitago ta có:
AM=√AE2+EM2=√62+122=6√5
Câu 2 (1 điểm)
a.
−−→AB+−→CI=−→AI+−−→CB⇔(−−→AB−−→AI)+−→CI−−−→CB=→0⇔−→CI+−→IB−−−→CB=→0⇔−−→CB−−−→CB=→0
b. 2−→IA+−→IB+−→IC=→0⇔2−→IA+2−−→IM=→0
⇔2(−→IA+−−→IM)=→0 (đúng vì I là trung điểm của AM)
(đpcm)
Câu 3 (2 điểm)
→a=(2;−3) , →b=(−5;1) và →c=(−5;−12)
a.
2→a=(4;−6)3→b=(−15;3)
→u=−→2a+3→b=(−11;−3)
b. Gọi hai số m, n thoã mãn →c=m→a+n→b
Ta có hệ phương trình :{2m−5n=−5−3m+n=−12⇔{m=5n=3
Vậy : →c=5→a+3→b
Câu 4 (2.5 điểm)
A(4;1); B(0;3); C(1;2).
a. −−→AB=(−4;2);−−→AC=(−3;1)
Ta có −4−3≠21 nên −−→AB,−−→AC không cùng phương.
Vậy A, B, C là 3 đỉnh của tam giác.
b. Gọi M là trung điểm của AB thì ⎧⎪
⎪⎨⎪
⎪⎩xM=xA+xB2=4+02=2yM=yA+yB2=1+32=2
⇒M(2;2)
Vậy tọa độ trung điểm của AB là :M(2;2)
c. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC thì: ⎧⎪
⎪⎨⎪
⎪⎩xG=4+0+13=53yG=1+3+23=2
⇒G(53;2)
Vậy tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC: G(53;2)
d. −−→BC=(1;−1)
ABCD là hình bình hành
⇔−−→AD=−−→BC⇔{xD−4=1yD−1=−1⇔{xD=5yD=0
Vậy D(5;0)
e.
Gọi E(xE;0)∈Ox
Gọi B’ đối xứng với B qua trục Ox thì B′(0;−3)
AE+BE=AE+B′E≥AB′
Do đó AE+BE đạt GTNN bằng AB′ khi A,B’,E thẳng hàng
⇔−−→AE=k−−→AB′⇔{xE−4=−4k0−1=k.(−4) ⇔⎧⎨⎩k=14xE=3
Vậy E(3;0)
Câu 5 (1 điểm)
a. −−→DM=12(−−→DA+−−→DB)=12(−−→DA+−−→DA+−−→DC)
=12(2−−→DA+−−→DC)=−−→DA+12−−→DC (1)
b. −−→NC+2−−→NA=→0
⇔−−→DC−−−→DN+2(−−→DA−−−→DN)=→0⇔−−→DC−−−→DN+2−−→DA−2−−→DN=→0⇔3−−→DN=2−−→DA+−−→DC⇔32−−→DN=−−→DA+12−−→DC(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
−−→DM=32−−→DN nên 3 điểm D, M, N thẳng hàng.
Câu 6 (0.75 điểm)
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, I là trung điểm BC.
Khi đó
−−→MA+−−→MB+−−→MC=3−−→MG−−→MB+−−→MC=2−−→MI
∣∣∣−−→MA+−−→MB+−−→MC∣∣∣=32∣∣∣−−→MB+−−→MC∣∣∣⇔∣∣∣3−−→MG∣∣∣=32∣∣∣2−−→MI∣∣∣⇔3∣∣∣−−→MG∣∣∣=3∣∣∣−−→MI∣∣∣⇔MG=MI
Vậy tập hợp các điểm M là đường trung trực của đoạn GI.
Câu 7 (0.75 điểm)
Do xây theo tỉ lệ vàng nên ta có BCAB=1,618⇒BC=1,618AB
Mà BC+AB=324 nên 1,618AB+AB=324
⇔2,618AB=324 ⇔AB=123,76
Vậy độ cao của tháp là 123,76(m).
0 Nhận xét