Đề bài
Câu 1. Cho tam giác ABC vuông tại B có trọng tâm là G. Biết rằng AB=3 và AC=5. Tính độ dài của các véctơ −−→GB−−−→GC và −−→GB+−−→GC.
Câu 2. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi E và F là các điểm xác định bởi −−→AE=2−−→AB và −−→AF=25−−→AC
a.Hãy biểu diễn các véctơ −−→GE và −−→GFtheo các véctơ −−→AB và −−→AC.
b.Chứng minh ba điểm G, E, F thẳng hàng.
Câu 3. Cho tam giác ABC và một đường thẳng Δ. Tìm trên Δ điểm M sao cho véctơ 2−−→MA+−−→MB+−−→MCcó độ dài ngắn nhất.
Lời giải chi tiết
Câu 1.
Theo Pitago BC=√AC2−AB2=√25−9=4.
Gọi M là trung điểm BC. Khi đó AM=√AB2+BM2=√9+4=√13 .
Ta có −−→GB−−−→GC=−−→CB. Suy ra ∣∣∣−−→GB−−−→GC∣∣∣=∣∣∣−−→CB∣∣∣=CB=4 .
Tương tự −−→GB+−−→GC=2−−→GM .
Suy ra ∣∣∣−−→GB+−−→GC∣∣∣=∣∣∣2−−→GM∣∣∣=2GM=23AM=2√133 .
Câu 2.
a.Ta có
−−→GE=−−→AE−−−→AG=2−−→AB−23−−→AM=2−−→AB−13(−−→AB+−−→AC)=53−−→AB−13−−→AC
−−→GF=−−→AF−−−→AG=25−−→AC−23−−→AM=25−−→AC−13(−−→AB+−−→AC)=−13−−→AB+115−−→AC
b. Ta có −−→GE=−5−−→GF . Suy ra −−→GE và −−→GF cùng phương nên G, E, F thẳng hàng.
Câu 3.
Gọi I là trung điểm BC và J là trung điểm AI.
Ta có
2−−→MA+−−→MB+−−→MC
=2−−→MA+2−−→MI
=2(−−→MA+−−→MI)=4−−→MJ
Do đó ∣∣∣2−−→MA+−−→MB+−−→MC∣∣∣=∣∣∣4−−→MJ∣∣∣=4MJ
Suy ra 2−−→MA+−−→MB+−−→MC có độ dài ngắn nhất khi và chỉ khi 4MJ ngắn nhất. Điều này xảy ra khi M là hình chiếu của J trên Δ .
0 Nhận xét