UBND THỊ XÃ CHÍ LINH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2018 - 2019 MÔN: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Đề thi gồm có 05 câu , 01 trang) Câu 1 (2,0 điểm) 1) Thực hiện phép tính: 1 1 1 1 A = + + +...+ . 2 2.3 3.4 2017.2018 2) Cho hai đa thức: P(x) = x5 - 2x3 + 3x4 – 9x2 + 11x – 3 và Q(x) = 3x4 + x5 – 2x3 - 11 – 10x2 + 9x. Biết rằng G(x) - 2x2 + Q(x) = P(x). Tìm đa thức G(x). Câu 2 (2,0 điểm) 1) Hãy chia số 213 70 thành ba phần tỉ lệ thuận với 3 5 ; 4; 5 2 . 2) Tìm các số x, y, z biết x 1 y 3 4   ; 2x = 3z và z + y – 3x = -10. Câu 3 (2,0 điểm) 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : 2 2 4 4 P x y      ( 1) ( 2) 3 . 2) Cho hàm số f(x) xác định với mọi x R  . Biết rằng với mọi x  0 ta đều có 1 2 f (x) 2.f x x         . Tính f (2)? Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, điểm M là trung điểm của BC. Trên nửa mặt phẳng chứa điểm C bờ là đường thẳng AB vẽ đoạn thẳng AE vuông góc với AB và AE = AB. Trên nửa mặt phẳng chứa điểm B bờ là đường thẳng AC vẽ đoạn thẳng AD vuông góc với AC và AD = AC. a) Chứng minh: BD = CE. b) Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MA. Chứng minh:   0 BAC ACN 180   . c) Gọi I là giao điểm của DE và AM. Tính tỉ số 2 2 2 2 AD +IE DI +AE . Câu 5 (1,0 điểm) Cho a, b, c, d là các số tự nhiên khác 0. Chứng minh rằng: S = a b c d a b c a b d b c d a c d            có giá trị không phải là số tự nhiên. - Hết - UBND THỊ XÃ CHÍ LINH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2018- 2019 MÔN: TOÁN 7 (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) Câu Ý Nội dung Điểm 1 (2,0đ) 1 (1,0đ) 1 1 1 1 1 1 1 1 A = - ... 1 2 2 3 3 4 2017 2018        0,50 1 1 A = 1 2018  0,25 2017 A 2018  0,25 2 (1,0đ) G(x) = P(x)-Q(x) +2x2 =(x5 - 2x3 + 3x4 – 9x2 + 11x – 3) – (3x4 + x5 – 2x3 - 11 – 10x2 + 9x) + 2x2 . 0,25 = 3x2 +2x+8 0,50 Vậy G(x) = 3x2 +2x+8. 0,25 2 (2,0đ) 1 (1,0đ) Gọi 3 phần cần tìm lần lượt là x, y, z Theo bài ra ta có x+y+z = 213 70 và x:y:z = 3 5 : 4: 5 2 0,25 hay x+y+z = 213 70 và x:y:z = 6 : 40 : 25 suy ra 213 x y z x + y + z 3 70 = = = = = 6 40 25 6 + 40 + 25 71 70 0,25 9 12 15 x ;y ;z 35 7 14     0,25 Vậy 3 phần cần tìm là 9 12 15 ; ; 35 7 14 0,25 2 (1,0đ) Theo bài ra ta có x 1 y z 3 4 2    và z + y – 3x = -10 suy ra x 1 y z z (1 y) 3x 3 4 2 2 4 9          0,25 z y 3x 1 10 1 1 11 11           0,25      x 3;1 y 4;z 2 0,25 Vậy x 3;y 3;z 2     0,25 3 (2,0đ) 1 (1,0đ) Ta có 2 2 2 2 2 x x x x x x            0 1 1 ( 1) 1 1 Dấu “=” xảy ra khi x = 0 0,25 2 2 2 4 4 y y y y y y            0 2 2 ( 2) 2 16 0,25 Dấu “=” xảy ra khi y = 0 => P     1 16 3 20 0,25 Vậy GTNN của P bằng 20 khi x = 0; y = 0. 0,25 2 (1,0đ) Với mọi x  0 ta đều có 1 2 f(x)+2.f =x x       nên: + Tại x = 2 ta có:   1 f 2 +2f =4 2       (1) 0,25 + Tại 2 1 x  ta có:   1 1 1 1 f +2f 2 = => 2f +4f(2)= 2 4 2 2             (2) 0,25 Trừ vế với vế của (2) cho (1) ta có   -7 -7 3.f 2 = => f(2)= 2 6 0,25 Vậy f(2) = 6  7 0,25 Nếu hs chỉ thiếu lập luận: Với mọi x  0 ta đều có 1 2 f(x)+2.f =x x       thì trừ 0,25 điểm 4 (3,0đ) 0,50 Vẽ hình, ghi giả thiết - kết luận đúng (đến hết phần 2) 2 1 N I M E D B C A 0,25 a (0,75đ) Chứng minh được   A = A 1 2 (cùng phụ với góc BAC) 0,25 Chứng minh được  ABD =  AEC (c.g.c) 0,25 =>BD = CE (hai cạnh tương ứng) 0,25 b (1,0đ) Chứng minh được  CMN =  BMA (c.g.c) 0,25 => CN = AB và ABC MCN  0,25 => AB // CN ( vì có hai góc so le trong bằng nhau) 0,25 =>   0 BAC ACN 180   ( 2 góc trong cùng phía bù nhau) 0,25 c (0,75đ) DAE DAC BAE BAC      = 900 + 900 - BAC  = 1800 - BAC  (1) ACN 180 BAC   0  (2) Từ (1) và (2) => DAE ACN  Chứng minh được  ADE =  CAN (c.g.c) 0,25 Từ  ADE =  CAN => ADE CAN ( hai góc tương ứng) Mà DAN CAN  = 900 nên DAN ADE  = 900 => DAI ADI   = 900 => AID AIE    = 900 0,25 Áp dụng định lý Pytago vào tam giác AID và AIE vuông tại I ta có: AD2 – DI2 = AE2 – EI2 (cùng = AI2 ) 0,25 => AD2 + EI2 = AE2 + DI2 => 2 2 2 2 AD +IE DI +AE =1 0,25 Nếu hs không ghi GT, KL thì vẫn cho điểm tối đa 0,25 điểm phần vẽ hình 5 (1,0đ) a a a a b c d a b c a b a b c d a b d a b a b c d b c d c d a b c d a c d c d b b b c c c d d d                                 0,25 a b c d a b c d S a b c d a b a b c d c d                             0,25 suy ra 1 < S < 1 + 1 hay 1 < S < 2 0,25 Vậy S có giá trị không phải số tự nhiên. 0,25 Ghi chú: Nếu học sinh giải bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. - Hết -