UBND THÀNH PHỐ CHÍ LINH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017 - 2018 MÔN: TOÁN - LỚP 8 Thời gian làm bài: 150 phút (Đề gồm 01 trang) Câu 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức : 2 2 3 6 1 10 : 2 4 6 3 2 2 x x A x x x x x x                       với x x    0, 2 . a) Rút gọn A. b) Tìm x để A A  . Câu 2: (2,0 điểm) a) Giải phương trình : 3 18 9 3 4 10 24 2 5 4 3 2 2 2        x  x  x x x x b) Đa thức P(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1. Biết P(1) = 0; P(3) = 0; P(5) = 0. Tính giá trị của biểu thức: Q = P(-2) + 7P(6). Câu 3: (2,0 điểm) a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 3 2 ( 2) 2 1 0 y x y y      b) Cho 3 số nguyên tố x < y < z liên tiếp thỏa mãn 2 2 2 x y z   là một số nguyên tố. Chứng minh rằng       2 2 2 x y z      1 2 3 cũng là một số nguyên tố. Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình thoi ABCD cạnh a có  60o ABC  . Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O, E thuộc tia BC sao cho 4 3 BE BC  , AE cắt CD tại F. Trên hai đoạn AB và AD lần lượt lấy hai điểm G và H sao cho CG song song với FH. a) Tính diện tích hình thoi ABCD theo a. b) Chứng minh rằng : 2 4 . 3 BG DH a  c) Tính số đo góc GOH. Câu 5: (1,0 điểm) Với a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng :     3 2 a b c abc b c c a a b a b b c c a           ---------- HẾT ---------- UBND THÀNH PHỐ CHÍ LINH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017 - 2018 MÔN: TOÁN - LỚP 8 (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) Câu Phần Nội dung đáp án Điểm Câu 1 a a) 2 2 3 6 1 10 : 2 4 6 3 2 2 x x A x x x x x x                             2 2 2 1 4 10 : 2 2 2 2 2 6 2 . 2 2 6 1 2 x x x A x x x x x x A x x A x                               Vậy 1 2 A x   với x x    0, 2 0,25 0,25 0,25 0,25 b 0 1 0 2 0 2 2 A A A x x x            Kết hợp với ĐKXĐ x x    0, 2 ta có x < 2; x x    0, 2 0,25 0,5 0,25 Câu 2 a ĐKXĐ: x ≠ -1; -4; -6; 3. 3 18 9 3 4 10 24 2 5 4 3 2 2 2        x  x  x x x x                                   2 3 2 4 9 1 4 4 6 3 3 6 1 1 1 1 4 1 1 1 4 4 6 3 3 6 1 4 1 1 3 3 3 3 4 1 3 3 1 3 1 3 3 1 3 3 1 3 4 8 0 4 2 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                                                                   x = 0 hoặc x = 2 (thỏa mãn điền kiện). Vậy tập nghiệm của phương trình: S = {0; 2}. 0,25 0,25 0,25 0,25 b b) Ta có: P(x) (x - 1), (x - 3), (x - 5) mà P(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1 nên P(x) có dạng: P(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5) (x + a) Khi đó: P(-2) + 7P(6) = (-3).(-5).(-7).(-2 + a) +7.5.3.1.(6 + a) = -105.(-2 + a) +105.(6 + a) = 105.(2 – a +6 + a) = 840 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 3 a Nếu y + 2 = 0    y 2 lúc đó bài toán có dạng 0x3 – 1 = 0 (KTM). Nếu y  2 thì ta có 2 3 2 1 1 2 2 y y x y y y        0,25 Vì x, y nguyên nên 1 y  2 nguyên => y  2 Ư(1)   1;1 . Với 3 y 2 1 y 3 x 4          (loại). Với 3 y 2 1 y 1 x 0 x 0          Vậy số nguyên x, y thỏa mãn đề bài là : x = 0, y = -1. 0,25 0,25 0,25 b Nếu x; y; z đều không chia hết 3 thì x2 ; y2 ; z2 chia cho 3 đều dư 1 2 2 2    x y z chia hết cho 3 mà 2 2 2 2 2 2 x y z 3 x y z       là hợp số.  Trong 3 số x; y; z có ít nhất 1 số chia hết cho 3 mà x; y; z là số nguyên tố  có ít nhất một số là 3 và do x < y < z là 3 số nguyên tố liên tiếp  (x; y; z) = (2; 3; 5); (3; 5; 7) + Xét (x; y; z) = (2; 3; 5)  2 2 2 x y z 38 P     (Loại) + Xét (x ; y ; z) = (3; 5; 7)  2 2 2 x y z 83    là số nguyên tố (t/m)       2 2 2 2 2 2           x y z 1 2 3 2 3 4 29 là số nguyên tố. 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 4 Hìn h vẽ 0,25 a +) Kẻ AI BC I BC   ( ). Tính được 2 a BI CI   +) Áp dụng định lí Pi-ta-go tính 3 2 a AI  +) Tính diện tích hình thoi bằng 2 3 3 . . 2 2 a a AI BC a   Chú ý : HS có thể tính theo công thức diện tích hình thoi. 0,25 0,25 0,25 b +) Chứng minh BCG đồng dạng DHF . . BC BG BC DF DH BG DH DF     +) Theo định lý Ta-lét tính được : 3 4 BC AF DF DF BE AE DC CD     +) 3 3 3 2 . 4 4 4      DF DC BC BG DH a +) 2   4 . 3 BG DH a 0,25 0,25 0,25 0,25 c +) Theo định lý Py-ta-go tính được 2 2 2 2 2 3 3 4 4 BO BC CO BC a     I E F O G H D C B A Mà 3 2 . 4 BG DH a  nên 2 BG DH BO BO DO . .   +) BG BO DO DH   kết hợp với   0 GBO HDO   30 => BGO đồng dạng DOH (c.g.c)   GOB DHO   +) Có    180o GOB GOH HOD    , vì GOB DHO  (cmt) Nên    180o DHO GOH HOD    . Do   150o DHO HOD   (vì  30o DOH  ) +) Suy ra  0 GOH  30 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 5 Với a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác ta chứng minh được : ( )( )( ) 0 a b c b c a c a b        Ta có : 3 ( )( )( ) a b c abc b c c a a b a b b c c a          3 3 3 3 3 3 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 3 ( )( )( ) 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 1 ( )( )( ) a a c a b b b a b c c c a c b abc a b b c c a a b c abc ab a b bc b c ca c a ab a b bc b c ca c a abc a b c abc a b b c c a                                      Theo kết quả trên : ( )( )( ) 0 a b c b c a c a b        3 3 3 3 3 3 3 3 3 ( ) ( ) ( ) 2 ( )( )( ) 4 4 1 2 ( )( )( ) ab a b bc b c ca c a abc a b c a b b c c a abc a b c a b c abc a b b c c a                            0,25 0,25 0,25 0,25 Chú ý : Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.