Đề cương ôn thi học kì I môn toán lớp 10 (bài tập)

 

PHẦN 1

Mệnh đề- Tập hợp

Bài 1: Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) 2 là số chẵn

b) 2 là số nguyên tố

c) 2 là số chính phương

Giải:

Mệnh đề đúng là a và b

Mệnh đề sai là c

Bài  2: Tìm $x\in D$ để $P\left(x\right)$ đúng trong các trường hợp sau:

a) $P\left(x\right)$: “$2x+3\le 0$”

b) $P\left(x\right)$: “${\left(2x+3\right)}^2\le 0$”

Giải:

a) $2x+3\le 0\iff x\le -\frac{3}{2}$$\Rightarrow D=\left(-\infty ;-\frac{3}{2}\right]$

b)

${\left(2x+3\right)}^2\le 0\iff 2x+3=0\iff x=-\frac{3}{2}$$\Rightarrow D=\left\{-\frac{3}{2}\right\}$

Bài 3: Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” để phát biểu định lí:

a) Tứ giác ABCD là hình vuông khi và chỉ khi tứ giác đó là hình thoi có một góc vuông.

b) Một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó chia hết cho 2 và cho 3.

c) Nếu số tự nhiên $n$ chia hết cho 2 thì $n^2$ chia hết cho 4.

Giải:

a) Tứ giác ABCD là hình vuông là điều kiện cần và đủ để ABCD là hình thoi có một góc vuông.

b) Số chia hết cho 6 là điều kiện cần và đủ để số đó chia hết cho 2 và cho 3.

c) $n$ chia hết cho 2 là điều kiện đủ để $n^2$ chia hết cho 4.

$n^2$ chia hết cho 4 là điều kiện cần để $n$ chia hết cho 2.

Bài 4: Chứng minh định lí “ Nếu n là số tự nhiên chẵn thì $n^2$ chia hết cho 4”

Giải:

Vì n chẵn nên $n=k(k\in N)$. Khi đó $n^2=4k^2$ chia hết cho 4 nên $n^2$ chia hết cho 4.

Bài 5: Chứng minh đinh lí “ Với mọi số tự nhiên n nếu 3n+2 là số lẻ thì n là số lẻ”

Giải:

Giả sử n là số chẵn khi đó $n=2k(k\in N)$

$\Rightarrow 3n+2=3.2k+2=2\left(3k+1\right)$ chia hết cho 2 nên 3n+2 là số chẵn trái với dữ kiện bài cho. Vậy n lẻ.

Bài 6. Tìm tập hợp các nghiệm thực của phương trình

$x\left(x^2-4\right)\left(x+1\right)\left(x+3\right)=0$

Giải:

Cách 1: $A=\left\{-3;-2;-1;0;2\right\}$

Cách 2: $A=\left\{x\in R|x\left(x^2-4\right)\left(x+1\right)\left(x+3\right)=0\right\}$

Bài 7. Tìm tất cả các tập hợp con của tập hợp sau $A=\left\{0;3;5\right\}$

Giải:

Tập con của A là: $\varnothing ;\left\{0\right\};\left\{3\right\};\left\{5\right\};\left\{0;3\right\};\left\{3;5\right\};\left\{0;5\right\};A$

Bài 8:  Hai tập hợp $A=\left\{x\in R|-2\le x\le 2\right\}$ và $B=\left\{x\in R|x^2-x-6<0\right\}$ có bằng nhau không?

Giải:

Ta có:$B=\left\{x\in R|-2<x<3\right\}$

Vì $-2\in A$ mà $-2\notin B$ nên $A\subset ̸B$$\Rightarrow A\ne B$

Bài 9: Cho hai tập hợp $A=\left\{x\in R|x\left(x^2-x-6\right)=0\right\}$ và $B=\left\{x\in R|x^4-13x^2+36=0\right\}$. Tìm $A\cap B;A\cup B;A\setminus B;B\setminus A$

Giải:

$A=\left\{-2;0;3\right\}$;$B=\left\{-3;-2;2;3\right\}$

$A\cap B=\left\{-2;3\right\}$;$A\cup B=\left\{-3;-2;0;2;3\right\}$;$A\setminus B=\left\{0\right\}$;$B\setminus A=\left\{2;-3\right\}$.

PHẦN 2

Hàm số bậc nhất và bậc hai

Bài 1. Tìm tập xác định của hàm số

a) $y=\frac{x-2}{\sqrt{x+6}}$                           $D=\left(-6;+\infty \right)$

b) $y=\frac{3}{x-1}$                                 $D=R\setminus \left\{1\right\}$

c) $y=\sqrt{x-5}+x^2+1$                $D=\left[5;+\infty \right)$

d) $y=\frac{\sqrt{x+2}}{x^2+4x+3}$                      $D=\left[-2;-1\right)\cup \left(-1;+\infty \right)$

Bài 2: Xét tính chẵn- lẻ hàm số $y=\left|x+2\right|$.

Giải:

TXĐ: $D=R$

Ta có $-x\in D\forall x\in D$ và

$f\left(-x\right)=\left|\left(-x\right)+2\right|=\left|-x+2\right|\ne \pm \left|x+2\right|$$\Rightarrow$ Hàm số không chẵn không lẻ.

Bài 3. Cho hàm số $y=x+2$.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.

b) Tịnh tiến đồ thị trên sang phải 3 đơn vị rồi xuống dưới 1 đơn vị ta được đồ thị của hàm số nào?

c) Vẽ đồ thị hàm số $y=\left|x+2\right|$.

Giải:

a) a=1 nên hàm số đồng biến trên $R$. Đồ thị của hàm số là một đường thẳng qua 2 điểm $A\left(0;2\right),B\left(-2;0\right)$.

 

b) Tịnh tiến đồ thị sang phải 3 đơn vị ta được đồ thị của hàm số $y=\left(x-3\right)+2=x-1$.

Tịnh tiến đồ thị này xuống dưới 1 đơn vị ta được đồ thị của hàm số $y=x-1-1=x-2$.

c)

Ta có $y=\left|x+2\right|=\{\begin{array}{c}x+2khix\ge -2\\ -x-2khix<-2\end{array}$

Vẽ đồ thị hàm số $y=\{\begin{array}{c}x+2khix\ge -2\\ -x-2khix<-2\end{array}$ ta được:

 

Bài 4. Tìm m để hàm số $y=\left(m-2\right)x+5$:

a) Có đồ thị vuông góc với đường thẳng $x+2y+1=0$

b) Có đồ thị cắt đường thẳng $y=x+3$ tại điểm có tung độ bằng $2$.

c) Đồng biến trên $R$ với m nguyên thuộc đoạn $\left[1;5\right]$.

d) Đồ thị hàm số cắt 2 trục Ox, Oy tại M, N sao cho tam giác OMN cân.

e) $y>0\forall x\in \left[0;2\right]$

Đáp án

a) $x+2y+1=0\iff y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$

Đồ thị hàm số $y=\left(m-2\right)x+5$ vuông góc với đường thẳng $y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$

$\iff \left(m-1\right).\left(-\frac{1}{2}\right)=-1\iff m-1=2\iff m=3$

b)

Thay $y=2$ vào phương trình đường thẳng $y=x+3$ ta được $x=-1$. Đường thẳng $y=\left(m-2\right)x+5$ cắt đường thẳng $y=x+3$ tại điểm có tung độ bằng 2 khi và chỉ khi $A\left(-1;2\right)$ thuộc đường thẳng $y=\left(m-2\right)x+5$$\iff \left(m-2\right)\left(-1\right)+5=2\iff m=5$.

c) Hàm số đồng biến trên $R$ khi và chỉ khi $m-2>0\iff m>2$.

Do m nguyên thuộc đoạn $\left[1;5\right]$ nên $m\in \left\{2;3;4;5\right\}$.

d) Đồ thị cắt 2 trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại M, N. Nên $M\left(\frac{5}{2-m};0\right);N\left(0;5\right)$.

Tam giác OMN cân

 $\begin{array}{c}\iff OM=ON\iff \frac{5}{\left|m-2\right|}=5\\ \iff \left|m-2\right|=1\\ \iff [\begin{array}{c}m-2=1\\ m-2=-1\end{array}\iff [\begin{array}{c}m=3\\ m=1\end{array}\end{array}$

e) $y>0\forall x\in \left[0;2\right]\iff \left(m-2\right)x+5>0$$\forall x\in \left[0;2\right]$(1)

TH1: $m-2\ge 0\iff m\ge 2$

$\Rightarrow \left(m-2\right)x+5\ge 0+5=5>0$$\forall x\in \left[0;2\right]$

TH2: $m-2<0\iff m<2$

$\begin{array}{c}\left(1\right)\iff x<-\frac{5}{m-2}\forall x\in \left[0;2\right]\\ \iff 2<-\frac{5}{m-2}\iff \frac{2m+1}{m-2}<0\\ \iff -\frac{1}{2}<m<2\end{array}$

Vậy $m>-\frac{1}{2}$ thì $y>0$

Bài 5. Cho của hàm số $y=x^2+2x-2$ có đồ thị là một parabol (P) .

a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.

b) Tìm giao điểm của (P) và đường thẳng d: $y=x+4$.

c) Tìm m để đường thẳng $y=\frac{m}{2}$ cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt có hoành độ âm.

Giải:

a) (P) có đỉnh $I\left(-1;-3\right)$, trục đối xứng$x=-1$.

Do $a=1>0$ nên hàm số đồng biến trên $\left(-1;+\infty \right)$ và nghịch biến trên $\left(-\infty ;-1\right)$.

Bảng biến thiên:

 

Đồ thị hàm số đi qua điểm $A\left(1;1\right);B\left(0;-2\right);C\left(2;6\right)$.

 

b) Hoành độ giao điểm của (P) và đường thẳng $y=x+3$ là nghiệm của phương trình $x^2+2x-2=x+4$

$\iff x^2+x-6=0$$\iff [\begin{array}{c}x=-3\\ x=2\end{array}$

Giao điểm của (P) và đường thẳng $y=x+3$ là $M\left(-3;-1\right);C\left(2;6\right)$.

c) Đường thẳng $y=\frac{m}{2}$ là đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox.

 

Từ đồ thị ta thấy (P) giao với đường thẳng này tại 2 điểm có hoành độ âm khi và chỉ khi 2 điểm đó nằm bên trái trục Oy. Hay $-3<\frac{m}{2}<-2\iff -6<m<-4$.

Bài 6

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=x^2-6x+5\left(P\right)$.

b) Từ đồ thị (P) suy ra đồ thị $\left(P_1\right),\left(P_2\right)$:

$\left(P_1\right):y=\left|x^2-6x+5\right|$

$\left(P_2\right):y=x^2-6\left|x\right|+5$

c) Từ đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

          1)$\left|x^2-6x+5\right|=m+1$           2) $x^2-6\left|x\right|+5=m-1$

d) Tìm m để phương trình $x^2-6x+m-2=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn $1<x_1<x_2<5$

Giải

a) Đồ thị hàm số $y=x^2-6x+5$ có đỉnh $I\left(3;-4\right)$, nhận trục x=3 làm trục đối xứng và đi qua các điểm $A\left(0;5\right);B\left(5;0\right);C\left(1;0\right)$.

 

b) Từ đồ thị (P) ta lấy đối xứng qua trục hoành rồi bỏ đi phần đồ thị có tung độ âm thì ta được đồ thị $\left(P_1\right)$.

 

Từ đồ thị (P) ta bỏ đi phần đồ thị có hoành độ âm rồi lấy đối xứng qua trục tung ta được đồ thị của $\left(P_2\right)$.

 

 

c)

          1) Hoành độ giao điểm của $\left(P_1\right)$ và đường thẳng $y=m+1$ là nghiệm của phương trình $\left|x^2-6x+5\right|=m+1$ nên số nghiệm của phương trình $\left|x^2-6x+5\right|=m+1$  bằng số giao điểm của đường thẳng $y=m+1$ và $\left(P_1\right)$.

          2) Hoành độ giao điểm của $\left(P_2\right)$ và đường thẳng $y=m-1$ là nghiệm của phương trình $x^2-6\left|x\right|+5=m-1$ nên số nghiệm của phương trình $x^2-6\left|x\right|+5=m-1$  bằng số giao điểm của đường thẳng $y=m-1$ và $\left(P_2\right)$

d) Ta có $x^2-6x+m-2=0$$\iff x^2-6x+5=7-m$.

Nghiệm của phương trình là hoành độ giao điểm của đồ thị (P) và đường thẳng $y=7-m$. Ta có:

Với $x=1\Rightarrow y=0$

Với $x=5\Rightarrow y=0$

Từ đồ thị ta có đường thẳng $y=7-m$ cắt (P) tại 2 điểm có hoành độ thỏa mãn  $1<x_1<x_2<5$ khi và chỉ khi $-3<7-m<0$$\iff 7<m<10$.

Bài 7: Cho parabol (P): $y=x^2+\left(a+1\right)x-2b$. Xác định a, b biết (P) cắt trục tung tại điểm có tung độ $y=1$ và nhận đường thẳng $x=-2$ làm trục đối xứng.

Giải:

(P) cắt trục tung tại điểm có tung độ $y=1$ nên ta có:

$1=0^2+\left(a+1\right).0-2b\iff b=-\frac{1}{2}$

(P) nhận đường thẳng $x=-2$ làm trục đối xứng nên $-\frac{a+1}{2}=-2\iff a=3$

Vậy $a=3;b=-\frac{1}{2}$.

Bài 8:

a) Tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=4x^2-4mx+m^2-m$ trên $R$ bằng 2

b) Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số $y=-2x^2+3mx+5m-m^2$ trên $R$ bằng 6.

Giải:

a) Tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=4x^2-4mx+m^2-m$ trên $R$ bằng 2

Do $a=4>0$ nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất $y=-m$ tại $x=\frac{m}{2}$.

Khi đó,

$m=-2$

b) Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số $y=-2x^2+4mx+5m-m^2$ trên $R$ bằng 6.

Do $a=-2<0$ nên hàm số đạt GTLN $y=m^2+5m$ tại $x=m$.

$\Rightarrow m^2+5m=6\iff [\begin{array}{c}m=1\\ m=-6\end{array}$

PHẦN 3

Phương trình – Hệ phương trình

Bài 1: Giải và biện luận nghiệm của các phương trình sau theo m

a) $\left(2m^2+1\right)x-m=x-5$

b) $m\left(x-2m\right)=x-m-1$

Bài 2. Giải và biện luận các phương trình theo m

a) $\left(x-m\right)\left(mx+2\right)=0$

b) $\left(x-1\right)\sqrt{x+2m}=0$

Bài 3. Giải và biện luận các phương trình theo tham số m

a) $x^2+2mx+1=0$

b) $x^2-2mx+m=0$

c) $m{x}^2+3x+m=0$

d) $x^2+2m\left|x\right|+1=0$

Bài 4. Tìm m nguyên để phương trình $x^2+2mx+m-3=0$

a) Có 2 nghiệm trái dấu.

b) Có 2 nghiệm phân biệt dương.

c) Vô nghiệm.

d) Có nghiệm duy nhất âm.

e) Có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn ${x_1}^2+{x_2}^2=6$

Bài 5. Biện luận số giao điểm của 2 parabol $y=x^2+2x+2$ và $y=-x^2+x-m$ theo tham số m.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\varnothing$

Bài 6. Giải phương trình

a) $\left|x-4\right|=x-2$

b) $x^2-2x-\left|x-1\right|-3=0$

Bài 7. Giải và biện luận phương trình sau theo m: $\left|x+m\right|=\left|2x-2\right|$

Bài 8 Giải các phương trình sau

a) $\frac{2x+1}{3x+1}=\frac{x+1}{x-2}$                 

b) $\frac{5}{x-2}=\frac{1-x}{x-2}+2$

     

c) $2+\frac{2}{x-1}=\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x^2+x-2}$.

d) $x^8-5x^2+2x+2=0$         

e) $5x^4+24x^2-5=0$

Bài 9. Giải và biện luận các phương trình sau theo m

a) $\frac{x-3m}{x+1}=0$

b) $\frac{mx-m^2-1}{x-2}=1$

c) $\frac{m}{mx-1}-\frac{2}{x-m}=1$

 

Bài 10. Tìm $m$ để phương trình $x^8-\left(2m+5\right)x^2+\left(m^2+6m+7\right)x$$-3m^2-3=0$ (*) có ba nghiệm dương phân biệt.

Bài 11. Giải các phương trình sau

a) $\sqrt{x^2-1}=x-2$       (đs: $S=\varnothing$)

b) $\sqrt{x+8}=\sqrt{x}+x+1$(đs: $S=\left\{1\right\}$)

c) $2x^2+2x-\sqrt{4x^2+4x-1}=0$(đs: $S=\left\{\frac{-1+\sqrt{3}}{2};\frac{-1-\sqrt{3}}{2}\right\}$)

d) $x-2\sqrt{x+3}+5=0$(đs: $S=\varnothing$)

 

Bài 12. Giải và biện luận nghiệm phương trình theo tham số m

a) Tìm m để phương trình $\sqrt{x^2+mx+2}=2x+1$ có hai nghiệm phân biệt.(đs: PT luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m)

b) Tìm m để phương trình ${\left(2x-1\right)}^2+m=\sqrt{x^2-x+1}$ có nghiệm.(đs: $m\le \frac{49}{16}$)

c) Tìm m để phương trình  $3\sqrt{x-1}+m\sqrt{x+1}=2\sqrt[4]{4x^2-1}$ có nghiệm.(đs: $m\le \frac{1}{3}$).

Bài 13:Giải hệ phương trình  

a) $\{\begin{array}{c}2x-y=3\\ x+2y=5\end{array}$

b) $\{\begin{array}{c}5x+2y=-6\\ -x+y=2\end{array}$

c) $\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2+x+y=8\\ 2xy+x+y=7\end{array}$

Đáp án: $\left(2;1\right);\left(1;2\right);\left(-2;-3\right);\left(6;-5\right)$

 

d) $\{\begin{array}{c}{x}^2-y^2=32\\ xy=12\end{array}$

Đáp án: $\left(6;2\right);\left(-6;-2\right)$

e) $\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2-xy=3\\ x^2+y^2+x+y=8\end{array}$                                        (đs: (2;1);(1;2))

f) $\{\begin{array}{c}x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=-4\\ x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=4\end{array}$           (đs: (-1;-1)

g) $\{\begin{array}{c}{x}^2-x=y\\ y^2-y=x\end{array}$                               (đs: (0;0);(2;2))

h) $\{\begin{array}{c}\sqrt{x+3}+\sqrt{1-y}=2\\ \sqrt{y+3}+\sqrt{1-x}=2\end{array}$(đs: (1;1);(-3;-3))

Bài 14. Tìm điều kiện tham số để các hệ sau có nghiệm.

a) $\{\begin{array}{c}\sqrt{x-1}+\sqrt{y}=3\\ x+y=2m\end{array}$

Đáp án: $\frac{11}{4}\le m\le 5$.

b) $\{\begin{array}{c}\sqrt{x}+\sqrt{y}=m\\ x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=m^3-3m\end{array}$

Đáp án: $m\ge 2$

PHẦN 4

Vectơ

Bài 1. Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JD}=\overrightarrow{0}$

b) Gọi G là trung điểm của IJ. Chứng minh. $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$.

Bài 2. Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm của BC, N là điểm thuộc AC sao cho $\overrightarrow{CN}=2\overrightarrow{NA}$. K là trung điểm của MN. Phân tích vectơ.

a) $\overrightarrow{AK}$ theo $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$

(đs $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$)

b) $\overrightarrow{KD}$ theo $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ 

(đs $\overrightarrow{KD}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$)

Bài 3. Cho $\overrightarrow{a}=\left(-1;0\right);\overrightarrow{b}=\left(-1;1\right);$$\overrightarrow{c}=\left(3;4\right)$.

a) Tìm toạ độ của vectơ $\overrightarrow{d}=2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c}$.

(đs $\overrightarrow{d}=(10;23)$)

b) Tìm 2 số m, n sao cho $m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{d}=\overrightarrow{0}$.

(đs $m=66;n=-46$)

c) Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{a}$ theo $\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{c}$.

(đs $\overrightarrow{a}=\frac{4}{7}\overrightarrow{b}-\frac{1}{7}\overrightarrow{c}$)

Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ, cho các điểm $A(0;2);B(-4;4);C(3;0)$.

a) Chứng minh ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác.

b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. (đs: $G\left(-\frac{1}{3};2\right)$)

PHẦN 5

Tích vô hướng và ứng dụng

Bài 1. Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8).

a) Tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$. Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.

(đs: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=48$)

b) Tính chu vi, diện tích tam giác ABC. 

(đs: Chu vi: $15+5\sqrt{5}$; DT: 25)

c) Tìm toạ độ điểm M trên Oy để B, M, A thẳng hàng. 

(đs:$M\left(0;\frac{10}{3}\right)$)

d) Tìm toạ độ điểm D để ABDC là hình chữ nhật.

(đs: D(6;12))

e) Tìm toạ độ điểm I thoả $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

(đs: IPNB là hình bình hành với N là trung điểm của BC, P là trung điểm của AB).

f) Phân tích vectơ $\overrightarrow{AI}$ theo $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$

(đs: $\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$).

Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(-2;3\right),\overrightarrow{b}=\left(\frac{1}{2};2\right)$

a) Tính tích vô hướng và tìm góc giữa hai vectơ$\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$.

(đs: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=5;\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\frac{10\sqrt{221}}{\sqrt{221}}$)

b) Tìm m để vectơ $\overrightarrow{u}=m\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ song song với trục hoành.

(đs: $m=\frac{2}{3}$)

c) Tìm n để vectơ $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{a}+2n\overrightarrow{b}$ tạo với vectơ $\overrightarrow{a}$ một góc ${45}^{\circ }$.

(đs: n=0)