1/ 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ Trường THCS Trưng Vương Năm học: 2017-2018 ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP KIỂM TRA HỌC KỲ II MÔN: TOÁN 7 A. LÝ THUYẾT: 1. Đại số: Trả lời các câu hỏi 1,2 SGK trang 22. Câu 1,2,3,4 SGK trang 49. 2. Hình học: - Nêu định nghĩa, tính chất, các cách nhận biết tam giác cân, đều, vuông, vuông cân? - Nêu các trường hợp bằng nhau của hai tam giác, trường hợp bằng nhau đặc biệt của 2 tam giác vuông. - Phát biểu, vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận của các định lí. + Quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác. + Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu. + Quan hệ giữa 3 cạnh trong tam giác. + Tính chất tia phân giác của một góc, đường trung trực của đoạn thẳng. + Tính chất đường trung tuyến, 3 đường phân giác, 3 đường trung trực, 3 đường cao trong tam giác. B. BÀI TẬP THAM KHẢO: Bài 1. Thu gọn các đơn thức sau rồi chỉ ra bậc của đơn thức: a) 2 3 5 ( 2 ).3 x xy xyz − b) 2 3 2 3 2 3 ( 2 ) .(3 ) − x yz x y z c) 3 2 2 2 3 (4 ) . 4 xy x x yz       d) 2 2 1 1 5 2 2 . 25 3 2 x x y y     −         e) 2 2 1 1 5 3 3 3 3 .1 . 2 5 3 x y x y xy         − −     f) ( ) 2 2 3 2 1 4 . 2 abx xy ay     − −   ( , a b là hằng số). 2/ 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ Bài 2. Cho các đa thức: 2 2 2 2 A x y x x y xy yx x = − + − + + − − 7 3 4 2 5 4 2 2 B xy x y xy x xy = + − − + + − 2 3 6 3 2 1 ( ) 2 2 C x x xy y y x x x xy = − + − + − − + 4( 1) 2 ( ) ( ) ( 3) a) Thu gọn và tìm bậc của A B C , , . b) Tính A B C A B C A B C + + + − − + ; ;2 . c) Tính giá trị biểu thức C với x y = = − 2, 2 . Bài 3. Tìm đa thức A biết: a) 2 2 3 2 2 2 3 A xy x y y x y x y y + − + = + + (2 3 ) 5 4 4 . b) 2 2 2 A xy y x xy y − − = − + (4 3 ) 7 8 . c) 2 2 3 2 3 (25 13 ) 11 2 x y xy x A x y x − + − = − . d) 2 2 2 3 3 (3 2 ) x y xy x y A − + − . Bài 4. Cho 2 đa thức: ( ) 5 2 5 2 P x x x x x x = − − + − − + 5 6 5 5 2 4 và ( ) 4 3 2 3 3 Q x x x x x x x = − − + − + − + 2 5 10 17 4 5 a) Thu gọn mỗi đa thức trên rồi sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến. b) Tính P x Q x P x Q x ( ) ( ) ( ) ( ) + − ; . c) Chứng tỏ x =−2 là nghiệm của P x( ) nhưng không phải là nghiệm của Q x( ). Bài 5. Cho 2 đa thức: ( ) ( ) ( ) 3 3 A x x x x x x = + − + + − 2 5 9 2 1 và ( ) ( ) ( ) 2 4 3 B x x x x x x = − + − + − + 2 3 1 3 2 3 4 a) Thu gọn rồi sắp xếp theo lũy thừa tăng dần của biến. b) Tính A x B x ( ) ( ) + ; A x B x ( ) ( ) − . c) Tìm nghiệm của C x A x B x ( ) ( ) ( ) = + . d) Chứng tỏ đa thức H x A x x ( ) ( ) = + 5 vô nghiệm. Bài 6. Cho hai đa thức: ( ) ( ) ( ) 2 A x x x x x = + − − − + 3 2 4 2 2 17 và ( ) ( ) 2 2 B x x x x x = − + − − + 3 7 3 3 2 4 . 3/ 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ a) Thu gọn A x B x ( ) ( ) , . Sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm của biến. Tìm hệ số cao nhất, hệ số tự do của 2 đa thức đó. b) Tìm N x( ) sao cho N x B x A x ( ) ( ) ( ) − = . và M x( ) sao cho A x M x B x ( ) ( ) ( ) − = . c) Chứng minh: x = 2 là một nghiệm của N x( ). Tìm một nghiệm nữa của N x( ). d) Tính nghiệm của A x( ) tại 2 . 3 x = Bài 7. Tìm nghiệm của các đã thức a) A x x ( ) = − − 4 5 g) ( ) 1 1 3 2 2 H x x = − − b) B x x x ( ) ( ) ( ) = − − + 3 2 1 2 1 h) K x x x ( ) = − + − 3 2 4 6 c) ( ) ( ) ( ) 2 2 C x x x = − − + 2 8 1 i) ( ) ( )2 2 M x x x = − + − 1 1 d) ( ) 3 D x x x = − 3 j) ( ) 2 N x x x = − + 4 3 7 e) ( ) 3 E x x x = + 2 4 k) ( ) 2 P x x x = − − 7 2 9 f) ( ) 3 2 G x x x x = − + −1 l) ( ) 2 Q x x x = − + 5 11 6 Bài 8*. (Dành cho HS giỏi) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức đại số: ( )2 A x = + 2 ( ) ( ) 2 2 B x y = − + + + 1 5 1 C x x = − + − 2014 2015 ( )4 2 D x y = − + − − 9 2 1 b) Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: ( )2 B x = − + 5 1 2 C x = − − 9 5 2 1 2 D x = + c) Tìm các giá trị nguyên của biến x để: 1) 2 6 A x = − có giá trị lớn nhất. 2) 8 3 x B x − = − có giá trị nhỏ nhất. 4/ 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ Bài 9*. (Dành cho HS giỏi) Tính giá trị các biểu thức sau: a) 2 5 4 3 8 2 a b a b A a b a b − + = − − − biết 3 4 a b = b) B x y y z x z = + + + ( ) ( ) ( ) biết xyz = 2 và x y z + + = 0 c) ( ) 17 16 15 14 f x x x x x = − + − + + − 2015 2015 2015 .... 2015 1 x . Tính f ( ) 2014 Bài 10. Cho tam giác ABC có AB = 3cm, AC = 4cm, BC = 5cm. a) Tam giác ABC là tam giác gì? Vì sao? b) Kẻ AH vuông góc với BC ( H BC  ). Gọi AD là phân giác BAH ( D BC  ). Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, trên đó lấy E sao cho AE = BD (E và C cùng phía đối với AB). CMR: AB = DE. c) CMR: ADC cân. d) Gọi M là trung điểm AD, I là giao điểm của AH và DE. CMR: C, I, M thẳng hàng. Bài 11. Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác BD, kẻ DE vuông góc với BC tại E. Trên tia đối của tia AB lấy F sao cho AF = CE. CMR: a)  =  ABD EBD b) BD là đường trung trực của AE. c) AD < DC. d) E, D, F thẳng hàng và BD CF ⊥ . e) 2(AD + AF) > CF. Bài 12. Cho ABC có 0 A = 90 và AC AB  . Kẻ AH BC ⊥ . Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD HB = . Kẻ CE AD ⊥ kéo dài ( E thuộc tia AD ). Chứng minh: a) ABD cân. b) DAH ACB = c) CB là tia phân giác của ACE d) Kẻ DI AC I AC ⊥  ( ) , chứng minh 3 đường thẳng AH ID CE , , đồng quy. e) So sánh AC và CD. f) Tìm điều kiện của ABC để I là trung điểm AC . 5/ 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ Bài 13. Cho ABC cân tại A ( A   90 ). Trên cạnh BC lấy 2 điểm D , E sao cho BD DE EC = = . Kẻ BH AD CK AE H AD K AE ⊥ ⊥   , ( , ), BH cắt CK tại G . Chứng minh rằng: a) ADE cân. b) BH CK = . c) Gọi M là trung điểm của BC . Chứng minh A M G , , thẳng hàng. d) AC AD  . e) DAE DAB  . Bài 14. Cho ABC đều. Tia phân giác góc B cắt AC tại M. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt BM BC , tại N,E. Chứng minh: a) ANC cân. b) NC BC ⊥ . c) Xác định dạng của tam giác BNE. d) NC là trung trực của BE. e) Cho AB cm =10 . Tính diện tích BNE và chu vi ABE. Bài 15. Cho ABC có 0 A = 90 ( AB AC  ), đường cao AH, AD là phân giác của AHC . Kẻ DE AC ⊥ . a) Chứng minh: DH DE = . b) Gọi K là giao điểm của DE và AH . Chứng minh AKC cân. c) Chứng minh  =  KHE CEH . d) Cho BH cm CH cm = = 8 , 32 . Tính AC. e) Giả sử ABC có 0 C = 30 , AD cắt CK tại P . Chứng minh HEP đều. Bài 16. Cho ABC có 60o A = . Các tia phân giác của góc B và C cắt nhau ở I , cắt cạnh AC AB , ở D và E. Tia phân giác góc BIC cắt BC ở F. a) Tính góc BIC b) Chứng minh: ID IE IF = = . c) Chứng minh: DEF đều. d) Chứng minh: I là giao điểm các đường phân giác của hai tam giác ABC và DEF 6/ 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ Hướng dẫn giải: Bài 1. a) 2 3 3 3 3 5 ( 2 ).3 30 x xy xyz x y z − = − ; Bậc 9 b) 2 3 2 3 2 3 13 8 9 ( 2 ) .(3 ) 12 − = x yz x y z x y z ; Bậc 30 c) 3 2 2 2 3 27 10 7 3 (4 ) . 4 4 xy x x yz x y z     =   ; Bậc 20 d) 2 2 1 1 5 1 2 2 5 6 . . 25 3 2 36 x x y y x y     − − =         ; Bậc 11 e) 2 2 1 1 5 5 3 3 3 3 11 11 .1 . 2 5 3 6 x y x y xy x y         − − =     ; Bậc 11 f) ( ) 2 2 3 1 2 3 5 6 4 . . . 2 abx xy ay a b x y     − − =   ; Bậc 11 Bài 2. a) Thu gọn và tìm bậc: 2 2 2 A x y x y xy x = − − + + − 4 2 4 ; Bậc 4 2 2 2 B x y x y xy x = − − − + + 6 2 4 ; Bậc 4 2 2 C x y xy x = − + − 2 3 4 ; Bậc 4 b) Tính: 2 A B C x y x + + = − + − 7 5 4 2 2 2 A B C x y x y xy x + − = − − + + + 4 7 6 3 4 2 2 2 2A B C x y x y xy x − + = + + + − 4 6 3 16 c) Tính giá trị biểu thức C với x y = = − 2, 2 2 2 C = − − − + − = 2.2 .( 2) 3.2.( 2) 2 4 42 Bài 3. Tìm A a) 2 2 3 2 2 2 3 A xy x y y x y x y y + − + = + + (2 3 ) 5 4 4 2 2 2 3 2 2 3  = + + − − + A x y x y y xy x y y 5 4 4 (2 3 ) 2 2 2 3 2 2 3  = + + − + − A x y x y y xy x y y 5 4 4 2 3 2 2 2 3 2  = + + − A x y x y y xy 5 7 3 2 b) 2 2 2 A xy y x xy y − − = − + (4 3 ) 7 8 7/ 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 222  = − + + − A x xy y xy y 7 8 4 3 2 2  = − + A x xy y 3 5 2 2 3 2 3 (25 13 ) 11 2 x y xy x A x y x − + − = − c) 2 2 3 2 3 A x y xy x x y x = − + − − (25 13 ) (11 2 ) 2 2 3 2 3  = − + − + A x y xy x x y x 25 13 11 2 2 2 3  = − + A x y xy x 14 13 3 d) 2 2 2 3 3 (3 2 ) 0 x y xy x y A − + − = 2 2 2 3 3  = − + A x y xy x y 3 2 Bài 4. a) Thu gọn mỗi đa thức trên rồi sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến: ( ) 5 2 5 2 P x x x x x x = − − + − − + 5 6 5 5 2 4 ( ) ( ) 5 5 2 2 2 = − + + − + − − = − − − 5 5 6 4 5 2 2 5 2 x x x x x x x ( ) 4 3 2 3 3 4 3 3 3 2 Q x x x x x x x x x x x x x = − − + − + − + = − + − + + − + − 2 5 10 17 4 5 2 ( 5 4 ) 17 10 5 4 2 = − − + − 2 17 10 5 xxx b) Tính P x Q x P x Q x ( ) ( ) ( ) ( ) + − ; +) ( ) ( ) 2 4 2 P x Q x x x x x x + = − − − − − + − 2 5 2 2 17 10 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 2 P x Q x x x x x x + = − + − − + − + + − − 2 2 17 5 10 2 5 ( ) ( ) 4 2 P x Q x x x x + = − − + − 2 19 5 7 +) ( ) ( ) ( ) 2 4 2 P x Q x x x x x x − = − − − − − − + − 2 5 2 2 17 10 5 ( ) ( ) 2 4 2 P x Q x x x x x x − = − − − + + − + 2 5 2 2 17 10 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 2 P x Q x x x x x x − = + − + + − − + − + 2 2 17 5 10 2 5 ( ) ( ) 4 2 P x Q x x x x − = + + − + 2 15 15 3 8/ 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ c) Chứng tỏ x =−2 là nghiệm của P x( ) nhưng không phải là nghiệm của Q x( ) +) Thay x =−2 vào P x( ) , ta có: ( ) 2 P x x x = − − − 2 5 2 Suy ra ( ) ( ) ( ) 2 P − = − − − − − 2 2 2 5 2 2  − = − + − P( ) 2 8 10 2  − = P( ) 2 0 Hay x =−2 là nghiệm của P x( ) . +) Thay x =−2 vào Q x( ) , ta có: 4 2 Q x x x x ( ) 2 17 10 5 = − − + − Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 Q − = − − − − + − − 2 2. 2 17. 2 10. 2 5  − = − + − − Q( ) 2 32 68 20 5  − = −  Q( ) 2 11 0 Hay x =−2 không phải là nghiệm của Q x( ). Vậy x =−2 là nghiệm của P x( ) nhưng không phải là nghiệm của Q x( ). Bài 5. a) Thu gọn và sắp xếp theo lũy thừa giảm A(x)= 𝑥 3 (𝑥 + 2) − 5𝑥 + 9 + 2𝑥 3 (𝑥 − 1) = 𝑥 4 +2𝑥 3 − 5𝑥 + 9 + 2𝑥 4 − 2𝑥 3 =3𝑥 4 − 5𝑥 + 9 B(x)= 2(𝑥 2 − 3𝑥 + 1) − (3𝑥 4 + 2𝑥 2 − 3𝑥 + 4) =2𝑥 2 − 6𝑥 + 2 − 3𝑥 4 − 2𝑥 2 + 3𝑥 − 4 =−3𝑥 4 − 3𝑥 − 2 b) Tính A(x)+B(x); A(x)-B(x) A(x)= 3𝑥 4 − 5𝑥 + 9 B(x)= −3𝑥 4 − 3𝑥 − 2 A(x)+B(x)= −8𝑥 + 7 + 9/ 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ A(x)= 3𝑥 4 − 5𝑥 + 9 B(x)= −3𝑥 4 − 3𝑥 − 2 A(x)−B(x)= 6𝑥 4 − 2𝑥 + 11 c) Tìm nghiệm của C(x)=A(x) +B(x) C(x)=−8𝑥 + 7=0 −8𝑥 = −7  x= 7 8 Vậy nghiệm của C(x)= −8𝑥 + 7 là x= 7 8 d) Chứng tỏ rằng H(x)=A(x)+5x vô nghiệm H(x)= 3𝑥 4 − 5𝑥 + 9 + 5𝑥 = 3𝑥 4 + 9 H(x)=0  3𝑥 4 + 9 = 0 3𝑥 4 = −9  𝑥 4 = −3 (vô lí) Nên không có giá trị nào của x để H(x)=0 Vậy H(x) vô nghiệm. Bài 6. a) Thu gọn và sắp xếp A(x)=3(𝑥 2 + 2 − 4𝑥) − 2x(x − 2) + 17 =3𝑥 2 + 6 − 12𝑥 − 2𝑥 2 + 4x + 17 =𝑥 2 − 8𝑥 + 23 Hệ số cao nhất: 1, hệ số tự do 23 B(x) = 3𝑥 2 − 7𝑥 + 3 − 3(𝑥 2 − 2𝑥 + 4) = 3𝑥 2 − 7𝑥 + 3 − 3𝑥 2 + 6𝑥 − 12 = −𝑥 − 9 Hệ số cao nhất: -1, hệ số tự do -9 − 10/ 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ b) N(x)-B(x)=A(x)  N(x)=B(x)+A(x) A(x)= 𝑥 2 − 8𝑥 + 23 B(x) = − 𝑥 − 9 N(x) = 𝑥 2 − 9𝑥 + 14 A(x)-M(x)=B(x)  M(x)=A(x)-B(x) A(x)= 𝑥 2 − 8𝑥 + 23 B(x) = −𝑥 − 9 M(x) = 𝑥 2 − 7𝑥 + 32 c) Chứng minh 2 là nghiệm của N(x).Tìm một nghiệm nữa của N(x) N(2)= 22−9.2 + 14 = 4 − 18 + 14 = 0 Vậy 2 là nghiệm của N(x) N(x)= 𝑥 2 − 9𝑥 + 14 = (𝑥 − 2)(𝑥 + 𝑎) 𝑥 2 − 9𝑥 + 14 = 𝑥 2 + (𝑎 − 2)𝑥 − 2𝑎 { −9 = 𝑎 − 2 14 = −2𝑎 { 𝑎 = −7 𝑎 = −7 (thỏa mãn) Vậy a=−7 là một nghiệm nữa của N(x) d) Tính giá trị của A(x) tại x= 2 3 Thay x = 2 3 vào biểu thức A(x)= 𝑥 2 − 8𝑥 + 23 Ta được A ( 2 3 )= ( 2 3 ) 2 − 8. 2 3 + 23= 4 9 − 16 3 + 23 = 163 9 Vậy tại x = 2 3 thì giá trị của biểu thức A(x) bằng 163 9 + − 11/ 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ Bài 7. a) Ta có 5 4 5 0 4 x x − − − =  = . Vậy nghiệm của đa thức là 5 4 x = − . b) Ta có ( ) ( ) 5 3 2 1 2 1 0 4 5 0 4 x x − − + =  − =  = x x . Vậy nghiệm của đa thức là 5 4 x = . c) Ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 8 0 4 2 2 8 1 0 1 0 1 1 x x x x x x x x   − = = =   − − + =       − + = =  =    . Vậy tập nghiệm của đa thức là S = − −   2; 1;1;2 . d) Ta có ( ) 3 2 2 0 0 3 0 3 0 3 3 x x x x x x x x  =  = − =  − =      =  =  . Vậy tập nghiệm của đa thức là S = −  3;0; 3 . e) Ta có ( ) 3 2 2 0 2 4 0 2 2 0 2 x x x x x x  = + =  + =    = − . Vì 2 x  0 với mọi x nên 2 x = −2 vô nghiệm. Vậy nghiệm của đa thức là x = 0 . f) Ta có ( ) ( ) ( )( ) 3 2 2 2 x x x x x x x x − + − =  − + − =  − + = 1 0 1 1 0 1 1 0 . 2 2 1 0 1 1 0 1 x x x x   − = =       + = = − . Vì 2 x  0 với mọi x nên 2 x = −1 vô nghiệm. Vậy nghiệm của đa thức là x =1. g) Ta có: 1 1 1 1 3 0 3 2 2 2 2 x x − − =  − = 1 1 1 7 3 2 2 2 2 7 1 1 1 5 5 3 2 2 2 2 x x x x x x   − = =    =        =   − = − =     . Vậy tập nghiệm của đa thức là S =   5;7 . h) Ta có 3 2 4 6 0 x x − + − = . 12/ 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ Vì 3 2 0 4 6 0 x x  −     −   nên 3 2 4 6 0 x x − + −  . Dấu “=” xảy ra khi 3 2 0 3 2 0 2 4 6 0 4 6 0 3 x x x x x  − =   − =     = − =  − =  . Vậy nghiệm của bất phương trình là 2 3 x = . i) Ta có ( )2 2 x x − + − = 1 1 0. Vì ( )2 2 1 0 1 0 x x  −     −   nên ( )2 2 x x − + −  1 1 0 . Dấu “=” xảy ra khi ( )2 2 2 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 x x x x x x x x  =  − =    − =     =   =   − =  − =    = −  . Vậy nghiệm của đa thức là x =1. j) Ta có: 2 4 3 7 0 x x − + = 2 3 3 9 103 4 0 2 2 16 16  − − + + = x x x 3 3 3 103 2 2 2 0 4 4 4 16 x x x      − − − + =         3 3 103 2 2 0 4 4 16 x x     − − + =       2 3 103 2 4 16 x   −  − =     . Vì 2 3 2 0 4 x     −    với mọi x nên suy ra 2 3 103 2 4 16 x     − = −   vô nghiệm. k) Ta có ( ) ( ) 2 2 7 2 9 0 7 7 9 9 0 7 1 9 1 0 x x x x x x x x − − =  + − − =  + − + = ( ) ( ) 1 1 0 1 7 9 0 9 7 9 0 7 x x x x x x  = −  + =  + − =      − =  =  . Vậy tập nghiệm của đa thức là 9 1; 7 S   = −    13/ 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ l) Ta có ( ) ( ) 2 2 5 11 6 0 5 5 6 6 0 5 1 6 1 0 x x x x x x x x − + =  − − + =  − − − = ( ) ( ) 1 0 1 1 6 0 6 0 6 x x x x x x   − = =  − − =       − = = . Vậy tập nghiệm của đa thức là S =   1;6 . Bài 8. a) Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức đại số: +) ( )2 A x = + 2 Vì ( )2 x x +   2 0, ; dấu “=” xảy ra khi ( )2 x + =  + =  = − 2 0 2 0 2 x x Vậy GTNN của A là 0 khi x =−2 +) ( ) ( ) 2 2 B x y = − + + + 1 5 1 Ta có: ( )2 x −  1 0 với mọi x, ( )2 y +  5 0 với mọi y Suy ra: ( ) ( ) 2 2 x y − + + +  + + = 1 5 1 0 0 1 1 Dấu “=” xảy ra khi ( ) ( ) 2 2 1 0 1 5 5 0 x x y y   − =  =    + =  = −  Vậy GTNN của B là 1 khi x y = = − 1; 5 +) C x x = − + − 2014 2015 Ta có: C x x x = − + − = − + − 2014 2015 2014 2015 x Mà: x − + −  − + − = = 2014 2015 2014 2015 1 1 x x x Dấu “=” xảy ra khi ( ) ( ) x − 2014 2015 0 2014 2015 −     x x Vậy GTNN của C là 1 khi 2014 2015  x +) ( )4 2 E x y = − + − − 9 2 1 Vì: ( )4 2 x y −  −  9 0 ; 2 0 với mọi x,y Suy ra: ( )4 2 D x y = − + − −  + − = − 9 2 1 0 0 1 1 14/ 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ Dấu “=” xảy ra khi: ( )4 2 9 0 3 2 2 0 x x y y   − =  =      =  − =  Vậy GTNN của D là −1 khi ( ) ( ) x y; 3;2 = hoặc ( ) ( ) x y; 3;2 = − b) Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: +) ( )2 B x = − + 5 1 Vì: ( ) ( ) 2 2 x B x +   = − +  1 0 5 1 5 với mọi x, dấu “=” xảy ra khi: ( )2 x x + =  = − 1 0 1 Vậy GTLN của B là 5 khi x =−1 +) 2 C x = − − 9 5 Vì: 2 2 x x C x −    = − −  − = 5 0 9 5 9 0 9 với mọi x Dấu “=” xảy ra khi: 2 2 2 x − =  − =  =  =  5 0 5 0 5 5 x x x Vậy GTLN của C là 9 khi x =  5 +) 2 1 2 D x = + Vì 2 2 1 1 2 2 2 2 x D x +   =  + với mọi x Dấu “=” xảy ra khi: 2 x x =  = 0 0 Vậy GTLN của D là 1 2 khi x = 0 c) Tìm các giá trị nguyên của biến x để: 1) 2 6 A x = − có giá trị lớn nhất ĐK để A có nghĩa là x  6 Với 2 6 6 0 0 6 x x A x   −   =  − 15/ 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ Với 2 6 6 0 0 6 x x A x   −   =  − Do đó đề A lớn nhất thì A  0 trong trường hợp x  6 Mặt khác tử số của A không đổi nên A lớn nhất khi mẫu 6− x bé nhất Suy ra x là số nguyên lớn nhất mà x  6 nên x = 5 Khi đó 2 2 2 6 6 5 A x = = = − − Vậy khi x = 5 thì A đạt GTLN là 2 2) 8 3 x B x − = − có giá trị nhỏ nhất ĐK để B có nghĩa là x  3 Ta có: 8 5 ( 3) 5 1 333 x x B xxx − − − = = = − −−− ; Suy ra B nhỏ nhất khi 5 x − 3 nhỏ nhất Với 5 3 3 0 0 3 x x x   −    − Với 5 3 3 0 0 3 x x x   −    − Do đó đề 5 x − 3 nhỏ nhất thì 5 0 x 3  − trong trường hợp x  3 Mặt khác tử số của 5 x − 3 không đổi nên 5 x − 3 nhỏ nhất khi mẫu x −3 lớn nhất Suy ra x là số nguyên lớn nhất mà x  3 nên x = 2 Khi đó 5 5 1 1 6 3 2 3 B x = − = − = − − − Vậy khi x = 2 thì B đạt GTNN là −6. Bài 9*. (Dành cho HS giỏi) a) Ta có 3 4 3 4 a a b b =  = . Đặt 3 4 a b = = k . Suy ra a k k = = 3 ;b 4 16/ 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ Khi đó biểu thức A trở thành: 2.3 5.4 4.3 4 6 20 12 4 14 16 14 5 5 1 1 1 3 3.4 8.3 2.4 3 12 24 8 9 16 9 9 9 k k k k k k k k k k A k k k k k k k k k k − + − + − = − = − = − = − = − = − − − − − Vậy 5 9 A = . b) Ta có x y z + + = 0 , suy ra x y z y z x + = − + = − ; và x z y + = − Thay vào biểu thức B, ta được: B z x y xyz = − − − = − ( ) ( ) ( ) , mà xyz = 2 nên B = −2 Vậy B = −2 . c) Xét với x x =  + = 2014 1 2015 . Khi đó ta được ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 17 16 15 14 f x x x x x x x x x 2014 1 1 1 .... 1 1 = − + + + − + + + + − ( ) ( ) ( ) ( ) 17 17 16 16 15 15 14 2 = − + + + − + + + + − x x x x x x x x x ... 1 17 17 16 16 15 15 14 2 = − − + + − − + + + − x x x x x x x x x ... 1 = − = − = x 1 2014 1 2013 Vậy f ( ) 2014 2013 = Bài 10. a) Do 2 2 2 AB AC BC + = nên ABC vuông tại A. b) Do  =  EAD BDA cgc ( ) nên ED AB = . c) : 180 ( ) 90 o o AHD ADH HAD AHD HAD = − + = − 90o CAD DAB = − Mà AD là phân giác BAH Nên HAD DAB CAD ADH = → = Vậy ADC cân tại C. d) ADC cân tại C, M là trung điểm AD nên CM AD ⊥ . I M E D H A B C 17/ 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ Do  =  EAD BDA cgc ( ) (c/m ở b) nên EDA DAB ED AB = → / / Mà AB AC DE CA I AH DE ⊥ → ⊥ → =  Do đó I là trực tâm  →  ADC I CM Vậy C, I, M thẳng hàng. Bài 11. a) Vì BD là phân giác ABC Suy ra ABD DBE = Do đó  =  ABD EBD (góc nhọn – cạnh huyền). b) Ta có:  =  ABKI EBK (c-g-c) nên BD AE K ⊥ = và K là trung điểm AE. Vậy BD là đường trung trực của AE. c) Ta có:  =  ABD EBD nên AD DE = mà EDC vuông tại E nên DE DC AD DC  →  . d) Ta có:  =  − − FAD CED c g c ( ) Suy ra: FAD CDE = do đó FAD ADE ADE EDC + = + Mà A, D, C thẳng hàng nên E, D, F thẳng hàng. Trong  ⊥ ⊥  = BEC CA BE FE BC CA FE D : , , nên D là trực tâm  → ⊥ BEC BD CF . e) Ta có:  +  FAD AF AD FD : và  +  ECD DE EC DC : Mà AF CE AD DE = = , Suy ra ( ) ( ) AF AD DE EC FD DC + + +  + Hay 2( ) AD AF FD DC +  + Xét  +  DEFC DF DC FC : Do đó 2( ) . AD AF FC +  K H F E D B A C 18/ 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ Bài 12. a) Ta có: + AH BC ⊥  AH là đường cao của ABD + HD HB =  AH là trung tuyến của ABD  ABD có AH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên ABD cân tại A . b) + ABD cân tại A nên: ADH ABH = (1) + ADH vuông tại H nên: 0 DAH ADH + = 90 (2) + ABC vuông tại A nên: 0 ACB ABH + = 90 (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: DAH ACB = (đpcm). c) Ta có: + DCE vuông tại E nên: 0 DCE CDE + = 90 (4) + Mà: CDE ADH = (đối đỉnh) (5) Từ (2), (4), (5) suy ra: DCE ACB = CB là tia phân giác của ACE d) Ta có: + AH BC AH DC ⊥  ⊥ + ID AC ⊥ + CE AD ⊥  AH ID CE , , là 3 đường cao của BCD nên đồng quy tại một điểm. e) Vì AH BC ⊥ nên HB HC , lần lượt là hình chiếu của AB AC , trên BC Mà: AC AB  (gt)   HC HB (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu) Mà: HD HB = (điểm D tia HC ) Nên: điểm D thuộc đoạn thẳng HC Do đó: CD CH  Lại có: CH AC  (quan hệ giữa đường xien và đường vuông góc) Vâỵ: CD AC  . f) Nếu I là trung điểm của AC thì: DI là đường trung tuyến của ADC Mà: DI AC ⊥ 19/ 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ ADC có DI vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên ADC cân tại D  = DAC DCA Lại có: ADB DCA = 2 ( tính chất góc ngoài của tam giác) Mà: ADB ABC = (vì ABD cân tại A ) Do đó: ABC DCA = 2 Mà: 0 ABC DCA + = 90 Suy ra: 0 0 ABC DCA = = 60 ; 30 Vậy ABC có thêm điều kiện 0 ABC = 60 (hoặc 0 ACB = 30 ) thì I là trung điểm AC . Bài 13. a) Xét ABD và ACE có: + = AB AC ( ABC cân) + = ABC ACE ( ABC cân) + = BD CE (Giả thiết)    ABD ACE c g c . . ( )  = AD AE (2 cạnh tương ứng) ADE cân (đpcm). b) Vì   ABD ACE cmt BAH CAK ( )  = (2 góc tương ứng) Xét ABH và ACK có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 90 2 AHB AKC ABH ACK ch gn AB AC ABC can BH CK canh tuong ung BAH CAK cmt + = =       − + =    =  + =  c) Xét DBH và ECK có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 90 2 DHB EKC DBH ECK ch cgv BD CE gt DBH ECK goc tuong ung BH CK cmt + = =       − + =    = + =  GBC cân tại G , lại có GM là trung tuyến GM là đường trung trực  G đường trung trực của BC ( ) 1 F G H K M C D E B A 20/ 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ Vì ABC cân tại A (gt)  A đường trung trực của BC ( ) 2 Do M là trung điểm của BC (gt)   M đường trung trực của BC ( ) 3 Từ ( ) ( ) 1 , 2 và ( ) 3 , ,  A M G thẳng hàng. d) Xét AME có: AEC AME MAE MAE AEC = + =  +    90 90 là góc tù. Xét ACE có: AC đối diện góc tù AEC   AC AE (quan hệ góc và cạnh đối diện) Mà AD AE = (cmt)   AC AD (đpcm) e) Trên tia đối của tia DA lấy điểm F sao cho DF DA = . Xét ADE và FDB có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . . 2 2 2 DE DB gt ADE FDB c g c ADE FDB goc doi dinh AE BF canh tuong ung DA DF cach ve DAE DFB goc tuong ung + =      + =  + =     + = + =   Xét ABD có: ADB ACE ABD  = (t/c góc ngoài tam giác)   AB AD (quan hệ góc và cạnh đối diện trong tam giác) Mà AD BF AE = =( ) nên   AB BF . Xét ABF có: AB BF cmt  ( )   AFB DAB (quan hệ góc và cạnh đối diện trong tam giác) Lại có AFB DAE cmt DAE DAB = ( )   (đpcm). Bài 14. a) ABC đều (giả thiết) Mà BM là phân giác của ABC (giả thiết)  BM là đường trung trực của ABC  CM MA BM AC = ⊥ ; (tính chất đường trung trực) Trong CNA có: ( ) CM MA NM AC BM AC  =   ⊥ ⊥  21/ 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ Suy ra CNA cân tại N (đpcm)  ACN NAC = (tính chất tam giác cân) b) Ta có: ( ) BCA BAC gt ( ) ACN NAC cmt   =   =   + = +  = BCA ACN BAC NAC BCN BAN Do ( ) 0 0 BAN gt BCN NC BC =  =  ⊥ 90 90 . c) Xét BCN và BAN có: 0 BCN BAN = = 90 BN chung BC BA gt = ( )   =  BCN BAN (Cạnh huyền – Cạnh góc vuông)  = BNC BNA (Góc tương ứng bằng nhau) Trong BCN có: 0 0 BCN cmt BNC CBN =  + = 90 ( ) 90 Mà: 1 1 0 0 .60 30 2 2 CBN NBA CBA = = = = (gt) 0 0 0 0  = − = − = CNB CBN 90 90 30 60 0  = = CNB BNA 60 Ta có: 0 CNB BNA CNE + + =180 0 0 0 0 0  = − − = − − = CNE CNB BNA 180 180 60 60 60 0  = = CNE CNB 60 .  NC là tia phân giác của BNE Mà NC BC ⊥ BNE cân tại N . d) Ta có: BNE cân tại N mà NC BC ⊥ hay NC là đường cao của BNE  NC là đường trung trực của BNE (t/c tam giác cân)  NC là đường trung trực của BE 22/ 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ e) Ta có : 0 BAE = 90 2 2 2 2 2 2 2 20 10 10 5 AE BE AB AE BE AB = +  = + = + = Ta lại có : BC CE cm BE cm = =  = 10 20 Chu vi tam giác ABE là : AB BE EA + + = + + = + 10 20 10 5 30 10 5 Đặt NA x NE y NB y = =  = ; Ta có : NA NE AE x y + =  + =10 5 Mà : 2 2 2 2 2 BN NA AB y x = +  = +10 Suy ra 6 5 6 5 . 2 5 2 5 y NE x NA     = =        = = Ta có: 1 2 . . .10 20 5( ) 2 BNE S NC BE cm = = . 1 .2. . 2 5 2 = = = NA BC NA BC Bài 15. a) Chứng minh: DH DE = . Cách 1: Xét AHD và AED , có: 0 AHD AED = = 90 AD là cạnh huyền chung HAD EAD = ( AD là phân giác HAC ) Do đó  = AHD AED (Cạnh huyền – góc nhọn)  = DH DE (2 cạnh tương ứng). Cách 2: Ta có: DH AH DE AE  ⊥   ⊥ Mà D thuộc đường phân giác HAE  = DH DE (Tính chất của điểm thuộc tia phân giác). D H B A C K E P 23/ 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ b) Chứng minh AKC cân. Do D là giao điểm của hai đường cao KE và CH nên D là trực tâm của AKC  ⊥ AD CK Xét AKC có AD là đường cao đồng thời là đường phân giác Do đó: AKC cân tại A. c) Chứng minh  =  KHE CEH . Xét AEK và AHC có: AK AC = (Do AKC cân) A chung Do đó:  =  AEK AHC (Cạnh huyền – góc nhọn)  = HKE ECH (2 góc tương ứng) và KE HC = (2 cạnh tương ứng). Lại có: +) AH AE = (Do  =  AHD AED ) +) AK AC = (Do AKC cân) +) AC AE EC = + +) K AH HK = + Suy ra HK EC = Xét KHE và ΔCEH có: HK EC = (Chứng minh trên) HKE ECH = (Chứng minh trên) KE HC = (Chứng minh trên) Do đó:  =  KHE CEH c g c ( ) - - d) Tính AC . Áp dụng định lí Py-ta-go cho ABC vuông tại A có: 2 2 2 AB AC BC + = (1) Áp dụng định lí Py-ta-go cho AHB vuông tại H có: 2 2 2 AB AH BH = + (2) Áp dụng định lí Py-ta-go cho AHC vuông tại H có: 2 2 2 AC AH CH = + (3) Từ (1), (2), (3) Suy ra: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 50 18 32 2 576 24 2 2 BC BH CH BC AH BH CH AH AH − − − − = + +  = = =  = Thay vào (3), ta tính được AC cm = 30 . e) Chứng minh HEP đều 24/ 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ Khi 0 0 BCA KAC =  = 30 60 Xét AKC cân tại A, có 0 KAC = 60 AKC đều Do đó AK AC KC = = (4) Lại có: AD KE AP , , là các đường cao đồng thời là trung tuyến  E H P , , lần lượt là trung điểm của AC AK CK , , . Xét AHC vuông tại H , trung tuyến HE ứng với cạnh huyền AC . Suy ra 1 (5) 2 HE AC = (Tính chất trung tuyến trong tam giác vuông) Tương tự ta có: 1 (6) 2 HP AK = và 1 (7) 2 EP CK = Từ (4), (5), (6), (7) suy ra: HE HP EP = = Vậy HEP đều (Điểu phải chứng minh). Bài 16. a) Xét  ABC có: o ABC + ACB + BAC = 180o ABC + ACB + 60 = 180 o o  ABC + ACB = 120 Ta có: CI là tia phân giác của góc ACB 1 BCI = ACI = ACB 2  BI là tia phân giác của góc ABC 1 CBI = ABI = ABC 2  1 1 1 1 o o BCI + CBI= ACB+ ABC= (ACB + ABC)= .120 =60 2 2 2 2  Xét  BIC có: 60° F I E A D C B 25/ 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ o BIC + CBI + BIC = 180 o 60 + BIC = 180 o o  BIC = 120 b) Ta có: o EIB + BIC = 180 o EIB + 120 = 180  o o  EIB = 60 . Ta có: o DIC + BIC = 180 o DIC + 120 = 180  o o  DIC = 60 . Ta có: IF là tia phân giác của BIC 60 . O  = = BIF FIC Xét IFC và IDC có: ICF ICD = (vì CI là phân giác của BCA ). Cạnh CI chung ( ) 60O CIF CID = =  ΔIFC = ΔIDC (g-c-g)  IF ID = (1) Xét IFB và IEB có: IBF IBE = (vì BI là phân giác của CBA ) Cạnh IB chung ( ) 60O BIF BIE = =   =  − − IFB IEB g c g ( )  IF IE = (2) Từ (1) và (2)  IF IE ID = = . 26/ 26 Nhóm Toán THCS Toán học là đam mê Nhóm Toán THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ c) Ta có: 60 60 120 o o o EIF EIB FIB = + = + = 60 60 120 o o o DIF DIC FIC = + = + = Xét EIF và DIF có IF là cạnh chung 120 ( ) o EIF DIF = = IE ID = (cmt)   =  EIF DIF (c-g-c)  EF DF = (3) Chứng minh tương tự:  =  EIF EID  EF ED = (4) TỪ (3) VÀ (4) ta có: EF DE DF = = .  DEF là tam giác đều d)  =  EIF DIF  =  IFE IFD FI là phân giác của EFD  =  EIF EID  =  IEF IED EI là phân giác của FED  I là giao điểm của 3 đường phân giác trong tam giác DEF . Tam giác ABC có: CI là phân giác của ACB BI là phân giác của ABC  I là giao điểm của 3 đường phân giác trong tam giác ABC Vậy I là giao điểm các đường phân giác của hai tam giác ABC và tam giác DEF.