I. Số học
1. Nêu quy tắc chuyển vế, quy tắc dấu ngoặc?
2. Viết dạng tổng quát của phân số. Cho ví dụ.
3. Thế nào là hai phân số bằng nhau? Cho ví dụ.
4. Nêu tính chất cơ bản của phân số? Viết dạng tổng quát.
5. Phát biểu quy tắc rút gọn phân số? Thế nào là phân số tối giản? Cho ví dụ.
6. Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu ta làm như thế nào? Cho ví dụ.
7. Phát biểu quy tắc quy đồng mẫu số nhiều phân số? Cho ví dụ.
8. Phát biểu và viết dạng tổng quát quy tắc thực hiện các phép toán cộng, trừ,
nhân, chia phân số?
9. Phát biểu tính chất cơ bản của phép cộng và phép nhân phân số
a) Nêu quy tắc tìm giá trị phân số của một số cho trước? Cho ví dụ.
b) Nêu quy tắc tìm một số biết giá trị phân số của nó? Cho ví dụ.
c) Nêu cách tính tỷ số của hai số a và b? Tỷ số phần trăm? Cho ví dụ.
II. Hình học
1. Góc là hình như thế nào? Kí hiệu? Hình vẽ minh họa.
2. Thế nào là góc vuông, góc nhọn, góc tù, góc bẹt?
3. Thế nào là hai góc phụ nhau; bù nhau; kề nhau, kề bù?
4. Khi nào thì xOy y
Oz xOz ? Vẽ hình minh họa.
5. Thế nào là tia phân giác của một góc? Cách vẽ tia phân giác của một góc?
6. Tam giác ABC là hình như thế nào? (O; R) là hình như thế nào?
7. Nêu các cách chứng tỏ 1 tia nằm giữa hai tia? (đưa ra ví dụ minh họa)
A. LÝ THUYẾT
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ 2
MÔN TOÁN LỚP 6
Năm học 2019 - 2020
A. 4
10
B. 6
15
C. 8
20
D. 12
30
Câu 2. Phân số nào sau đây bằng phân số 3
7
A. 3
7
B. 3
7
C. 3
7
D. 3
7
Câu 3. Cho 15 3 . x 4
Khi đó giá trị của x là:
A. 20 B. – 20 C. 63 D. 57
Câu 4. Cho biết
x 1 9
4 12
. Khi đó giá trị của x là:
A. 4 B. 2 C. 4 D. 2
Câu 5. Tính 6 10 bằng
A. 10 B. – 16 C. – 10 D. 16
Câu 6. Tính 5. 8 bằng
A. – 40 B. 40 C. – 13 D. 13
Câu 7. Khi x 2 thì x bằng:
A. 2 B. – 2 C. 2 hoặc – 2 D. 4
Câu 8. Tập hợp các số nguyên ước của 2 là:
A. 1; 2 B. 1; 2 C. 0; 2; 4; 6;.... D. 2; 1;1; 2
Câu 9. Viết tích 3.3.3.3.3 dưới dạng một lũy thừa
A.
2 3 B.
3 3 C.
4 3 D.
5 3
Câu 10. Hỗn số 3 2
5 được viết dưới dạng phân số là:
A. 13
5
B. 13
5 C. 10
5 D. 7
5
Câu 11. Kết quả của phép tính 1 1 1
5 4 20
là
A. 10 B. 0 C. 1
10
D. 1
10
I. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Phân số nào sau đây không bằng phân số 2
5
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Câu 12. Tỉ số % của
3
15
và 4
20
là:
A. 100% B. 12% C. 30% D. 15%
Câu 13. 75% của 60 là:
A. 40 B. 80 C. 45 D. 90
Câu 14.
6
5
của
7
4
là:
A. 41
20
B. 10
21
C. 1 2
10 D. Đáp án khác
Câu 15. Biết
5
6
của x bằng
1 2
10
thì x bằng:
A. 63
25
B. 7
4
C. 38
25 D. 4
7
Câu 16. Học kì I lớp 6A có 20 học sinh giỏi. Học kì II số học sinh giỏi tăng thêm
20%. Số học sinh giỏi của lớp 6A trong học kì II là:
A. 16 B. 24 C. 40 D. 4
Câu 17. Trong các câu sau, câu nào đúng, câu nào sai?
1. Hình tạo bởi hai tia cắt nhau là một góc
2. Góc tù là một góc nhỏ hơn góc bẹt
3. Nếu tia Om là tia phân giác của x
Oy thì xOm y
Om
4. Nếu a
Ob b
Oc thì Ob là tia phân giác của aOc
5. Góc vuông là góc có số đo bằng o 90
6. Hai góc kề nhau là hai góc có một cạnh chung và hai cạnh còn lại nằm trên
hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa cạnh chung.
7. Tam giác ABC là hình gồm ba đoạn thẳng AB, BC, CA
8. Mọi điểm nằm trên đường tròn đều cách tâm một khoảng bằng bán kính.
Câu 18. aOb bOc a
Oc thì
A. Tia Oa nằm giữa hai tia Ob, Oc B. Tia Oc nằm giữa hai tia Oa, Ob
C.Tia Ob nằm giữa hai tia Oa, Oc D. Cả ba phương án trên đều sai
Câu 19. Biết o o xOy 70 ,yOz 110 thì hai góc trên là hai góc
A. Kề bù B. Phụ nhau C. Kề nhau D. Bù nhau
Câu 20. Biết 0 xOy 60 , 0 yOz 30 . Hai góc đó trên là hai góc
A. Kề bù B. Phụ nhau C. Kề nhau D. Bù nhau
II. Bài tập tự luận
Dạng 1: Thực hiện phép tính
Bài 1. Thực hiện phép tính
a) 3 5 1 2 11 6 4 1
4 6 2 3
b) 17 11 9 2 1 6 : 3
20 15 20
c) 3 7 3 4 : .4
7 5 7
d) 2 15 7 5 3 . .1 :
9 23 29 23
Bài 2. Thực hiện phép tính
a) 3 5 1 2 11 6 4 1
4 6 2 3
b) 7 1 23 5 2 0,5 : 2
8 4 26
c) 13 3 12 17 3 2 4
15 7 15
d) 2 4 15 2 . .0, 375. 10 .
3 5 24
Bài 3. Thực hiện phép tính
a) 3 4 3 5 : 4 :
4 5 4 b) 3 2 3 3 3 . . 5 7 7 5 7
c) 2 7 7 1 2 4 . .5 .5 5
7 11 11 3 3
d) 5 4 2 1 4 . 7 .1 8 .7
39 5 3 3 5
Bài 4: Thực hiện phép tính một cách hợp lý
a) 2 8 2 5 2 2 5 . 5 . 5 . 7 11 7 11 7 11
. b) 3 3 4 2 . 0,4 1 .2,75 1,2 :
4 5 11
c)
3 5 5 4 6 4
5 4 4
5.27 .4 5 .2 2 .3
: .
6 10 6
d)
5 5 5 15 15 5 15
3 9 27 11 121 :
8 8 8 16 16 8 16
3 9 27 11 121
Bài 5. Thực hiện phép tính một cách hợp lý
a) 7 7 7 7 ... 10.11 11.12 12.13 69.70
b)
2 2 2 5 5 5 ... 1.6 6.11 26.31
c) 2 3 50
1 1 1 1 1 ...
2 4 8 1024
2 2 2 ... 2
Dạng 2: Tìm x
Bài 6. Tìm x, biết:
a) 3 7 3
x :
10 15 5
b) 8 46 1
. x
23 24 3
c) 3 1 3 x : 1 3 1
21 2 4
d) x 25%.x 0,5
Bài 7. Tìm x, biết:
a) 3 27 11
x .
22 121 9
b) 1 1 1
: x
5 5 7
c) 2 2 5 2 : x 4
11 3 6
d) 1 3 3 x 16 13,25
3 4
Bài 8. Tìm x, biết
a) 3 1 1 x 2 x 3 x
4 4 4
b) 5 1 30%x x
6 3
c) 2x 1 3x 12 0 d) 2x 1 1 49 3.2
2 2
Bài 9. Tìm x, biết
a) 1 3 2x
2 4
b) 4 6 4 2 10 2 . . . 2x 1
13 5 13 5 13
b) 3 3 8 x 5 x 2 x
7 4 7
d) 3 9 x .x 0
16
Dạng 3: Bài toán có nội dung thực tế
Bài 10. Lớp 6A có 50 học sinh. Trong đó có 3
5
số học sinh thích chơi đá bóng, 80%
số học sinh thích chơi đá cầu,
7
10
số học sinh thích chơi cầu lông. Hỏi:
a) Lớp 6A có bao nhiêu học sinh thích chơi bóng đá?
b) Lớp 6A có bao nhiêu học sinh thích chơi đá cầu?
c) Lớp 6A có bao nhiêu học sinh thích chơi cầu lông?
Bài 11. Một bể nước hình chữ nhật có chiều cao 1,6 m, chiều rộng bằng
3
4
chiều
cao, chiều dài bằng 150% chiều rộng. Tính thể tích của bể.
Bài 12. Một ô tô đã đi 120 km trong ba giờ . Giờ thứ nhất xe đi được
1
3 quãng
đường. Giờ thứ hai xe đi được 40% quãng đường còn lại. Hỏi trong giờ thứ ba xe
đi được bao nhiêu kilômét?
Bài 13. Khối 6 của một trường THCS có ba lớp gồm 120 học sinh. Số học sinh lớp
6A chiếm 35% số học sinh của khối . Số học sinh lớp 6B bằng
20
21
số học sinh lớp
6A, còn lại là học sinh lớp 6C . Tính số học sinh mỗi lớp.
Bài 14. Học sinh lớp 6 A đã trồng được 56 cây trong ba ngày. Ngày thứ nhất trồng
được
3
8
số cây. Ngày thứ hai trồng được
4
7
số cây còn lại. Tính số cây học sinh lớp
6 A trồng trong mỗi ngày?
Bài 15. Một cửa hàng bán một số mét vải trong ba ngày. Ngày thứ nhất bán 3
5
số
mét vải. Ngày thứ hai bán 2
7
số mét vải còn lại. Ngày thứ ba bán nốt 40 mét vải.
Tính tổng số mét vải cửa hàng đã bán .
Bài 16. Nam đọc một cuốn sách trong ba ngày. Ngày thứ nhất đọc
3
8
cuốn sách,
ngày thứ hai đọc
1
3
cuốn sách, ngày cuối cùng đọc nốt 35 trang còn lại. Hỏi quyển
sách dày bao nhiêu trang?
Bài 17. Tổng kết năm học ba lớp 6A, 6B, 6C có 45 em đạt học sinh giỏi. Số học sinh
giỏi của lớp 6A bằng
1
3
tổng số học sinh giỏi của 3 lớp. Số học sinh giỏi của lớp 6B
bằng 120 % số học sinh giỏi của lớp 6A. Tính số học sinh giỏi của mỗi lớp ?
Bài 18. Một người mang đi bán một số trứng. Sau khi bán 5
8
số trứng thì còn lại
21 quả . Tính số trứng mang đi bán.
Bài 19. Hai lớp 6A và 6B có tất cả 102 học sinh. Biết rằng
2
3
số học sinh của lớp
6A bằng
3
4
số học sinh của lớp 6B. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh ?
Bài 20. Khối 6 của một trường có 4 lớp. Trong đó số học sinh lớp 6A bằng
4
13
tổng
số học sinh của ba lớp còn lại. Số học sinh lớp 6B bằng
5
12
tổng số học sinh của ba
lớp còn lại. Số học sinh lớp 6C bằng
24
61
tổng số học sinh của ba lớp còn lại. Số học
sinh của lớp 6D là 32 học sinh. Tính tổng số học sinh của 4 lớp?
Bài 21. Giá vé vào sân vận động xem bóng đá là 200000đồng/ vé. Sau khi giảm giá
vé, số khán giả tăng thêm 25%, do đó doanh thu tăng 12,5%. Hỏi giá vé sau khi
giảm là bao nhiêu?
Bài 22.
a) Tính tỉ lệ xích của bản vẽ, biết chiều dài vẽ 2,5cm và chiều dài thật 2,5km.
b) Trên bản đồ có tỉ lệ xích 1:1000000, hai thành phố cách nhau 13cm.
Hỏi trên thực tế hai thành phố cách nhau bao nhiêu km?
c) Hai địa điểm A và B trên thực tế cách nhau 350km.
Hỏi trên bản đồ có tỉ lệ 1:500000, A và B cách nhau bao nhiêu cm?
Bài 23. Một xí nghiệp làm một số dụng cụ, giao cho ba phân xưởng thực hiện. Số
dụng cụ phân xưởng I làm bằng 30% tổng số. Số dụng cụ phân xưởng II làm gấp
rưỡi so với phân xưởng I. Phân xưởng III làm ít hơn phân xưởng II là 84 chiếc.
Tính số dụng cụ mỗi phân xưởng đã làm.
Bài 24. Học kỳ I số học sinh giỏi của lớp 6A bằng
2
7
số học sinh còn lại. Sang học kì
II, số học sinh giỏi tăng thêm 8 bạn (số học sinh cả lớp); nên số học sinh giỏi bằng
2
3
số còn lại. Hỏi học sinh kỳ I lớp 6A có bao nhiêu học sinh giỏi.
Bài 25. Một cửa hàng bán gạo bán hết số gạo của mình trong 3 ngày. Ngày thứ
nhất bán được
3
7
số gạo của cửa hàng. Ngày thứ hai bán được 25% số gạo bán
ngày 1. Ngày thứ ba bán được 26 tấn.
a) Ban đầu cửa hàng có bao nhiêu tấn gạo?
b) Tính số gạo mà cửa hàng bán được trong ngày 1, ngày 2.
c) Số gạo cửa hàng bán được trong ngày 1 chiếm bao nhiêu % số gạo của cửa
hàng?
Bài 26. Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia đối của tia Ox lấy điểm B sao cho
OA OB 3cm.
Trên tia AB lấy điểm M, trên tia BA lấy điểm N sao choAM BN 1cm .
Chứng tỏ O là trung điểm của AB và MN.
Bài 27. Vẽ đoạn thẳng AB =6cm. Lấy hai điểm C và D nằm giữa A và B sao cho AC
+ BD= 9cm.
a) Chứng tỏ D nằm giữa A và C.
b) Tính độ dài đoạn thẳng CD
Bài 28.
a) Vẽ tam giác ABC biết AB = AC = 4cm ; BC = 6cm. Nêu rõ cách vẽ?
b) Vẽ đoạn thẳng BC = 3,5cm. Vẽ một điểm A sao cho AB = 3cm, AC = 2,5 cm.
Nêu rõ cách vẽ? Đo và tính tổng các góc của tam giác ABC.
Bài 29. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox vẽ hai tia Oy, Oz sao cho
o
, o xOy 30 xOz 150 .
a) Tính y
Oz .
b) Gọi Ox’ là tia đối của tia Ox . Viết tên các cặp góc kề bù trong hình.
c) Kẻ Ot là tia phân giác góc y
Oz . Có nhận xét gì về x
Oy và t
Oz ?
Bài 30. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox vẽ hai tia Oy, Ot sao cho
x
Ot = 550, x
Oy = 1100.
a) Chứng tỏ Ot là tia phân giác của góc x
Oy .
b) Gọi Ox’và Oy’ lần lượt là tia đối của hai tia Ox, Oy. Tính góc x
'Oy' .
Kể tên các cặp góc kề bù.
Bài 31. Cho 2 góc kề bù x
Ot và y
Ot , biết góc o yOt 60 .
a) Tính số đo góc x
Ot .
b) Vẽ phân giác Om của góc y
Ot và phân giác On của góc tOx.
Hỏi hai góc m
Ot và t
On có quan hệ gì? Góc m
Oy và góc x
On có quan hệ gì?
Bài 32. Cho hai góc kề bù x
Oy và y
Ot , trong đó o xOy 40 . Gọi Om là tia phân
giác của y
Ot .
Dạng 4: Hình học
a) Tính mOx .
b) Trên nửa mặt phẳng không chứa tia Oy và có bờ là đường thẳng chứa tia Ox, vẽ
tia On sao cho o xOn 70 . Chứng tỏ tia Om và tia On là hai tia đối nhau.
Bài 33. Cho 2 điểm M và N nằm cùng phía đối với A, nằm cùng phía đối với B.
Điểm M nằm giữa A và B. Biết AB = 5cm; AM = 3cm; BN = 1cm. Chứng tỏ rằng:
a) Bốn điểm A, B, M, N thẳng hàng
b) Điểm N là trung điểm của đoạn thẳng MB
c) Vẽ đường tròn tâm N đi qua B và đường tròn tâm A đi qua N, chúng cắt nhau
tại C, tính chu vi của CAN.
Bài 34. Cho đoạn thẳng OO’ = 6cm. Vẽ các đường tròn tâm O bán kính 4cm và tâm
O’ bán kính 3cm chúng cắt nhau tại A và B; cắt đoạn thẳng OO’ lần lượt tại M và N.
a) Tính AO, BO, AO’, BO’?
b) N có phải là trung điểm của đoạn thẳng OO’ không? Vì sao?
c) Tính MN?
Bài 35. Trên đoạn thẳng AB = 3 cm lấy điểm M. Trên tia đối của tia AB lấy điểm N
sao cho AM = AN.
a) Tính độ dài đoạn thẳng BN khi BM = 1 cm.
b) Hãy xác định vị trí của M (trên đoạn thẳng AB) để BN có độ dài lớn nhất.
Bài 36. Cho đường thẳng xy, O thuộc xy. Trên nửa mặt phẳng bờ xy vẽ tia Ot, Oz
sao cho o o xOt 60 ,yOz 45
a) Kể tên các cặp góc kề nhau, kề bù có trên hình vẽ.
b) Tính x
Oz , z
Ot,t
Oy
Bài 37. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, vẽ hai tia Oy và Oz sao cho
o o xOy 90 ,xOz 120
a) Trong ba tia Ox, Oy, Oz thì tia nào nằm giữa hai tia còn lại? Tại sao?
b) Tính y
Oz
c) Vẽ tia Ot là tia phân giác của x
Oz. Tính t
Oz .
Bài 38. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, vẽ hai tia Oy và Oz sao cho
o o xOy 60 ,xOz 120
a) Chứng minh Oy là tia phân giác của x
Oz.
b) Gọi Ox’ là tia đối của tia Ox. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ Ox, vẽ tia Ot sao cho
o tOy 90 . Chứng minh Ot là phân giác của z
Ox' .
Dạng 5*: Một số bài tập nâng cao
Bài 39.
a) Cho 3 3 3 3 3 M . 10 11 12 13 14
Chứng minh rằng 1 M 2 .
b) Chứng tỏ rằng
1 1 1 1 1 N ...
2 3 4 16 17 không là số tự nhiên.
Bài 40. So sánh hai số sau:
19
18
13 1 A
13 1
và
20
19
13 1 B
13 1
Bài 41. Cho phân số: 6n 5
p 3n 2
(nN)
a) Chứng minh rằng phân số p là phân số tối giản.
b) Với giá trị nào của n thì phân số p có giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó.
Bài 42. Cho phân số
5n 6 A
8n 7 n
Với giá trị nào của n thì A rút gọn được?
Bài 43.
a) Tìm số nguyên n để phân số 6n 3
3n 1
có giá trị là một số nguyên.
b) Tìm tất cả các số tự nhiên n để phân số n 13
n 2
là phân số tối giản.
Bài 44. Tìm x, biết:
a)
1 1 1 1 101 ... 5.8 8.11 11.14 x x 3 1540
b)
1 1 1 1 ... 2 3 4 200 1 x 20 . 1 2 3 198 199 200 ... 199 198 197 2 1
Bài 45.
1) Tìm các cặp số nguyên x, y sao cho:
a)
x 1 1
7 14 y
b) 5 y 1 1
x 1 3 6
2) Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn: 2x 3y 14
Bài 46.
a) Chứng minh rằng nếu 7x 4y37 thì 13x 18y37
b) Tìm n n 1 sao cho A 1!2!3!.... n! là số chính phương.
Bài 47. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho a chia cho 3 dư 2, chia cho 5 dư 3, chia
cho 7 dư 4.
Bài 48. Cho phân số 2019 A
x 49 . Tìm x để:
a) A có giá trị lớn nhất
b) A có giá trị nhỏ nhất.
Bài 49. Chứng minh rằng: Tồn tại n > 0 sao cho n 25 1 101
Bài 50. Cho A = 100
1 1 1 1 1 ... 2 3 4 2 1
. Chứng minh rằng 50 < A < 100
ĐÁP ÁN ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ 2 TOÁN 6
I. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: C
Câu 2: D
Câu 3: B
Câu 4: A
Câu 5: B
Câu 6: A
Câu 7: C
Câu 8: D
Câu 9: D
Câu 10: B
Câu 11: B
Câu 12: A
Câu 13: C
Câu 14: C
Câu 15: A
Câu 16: B
Câu 17: 1-S 2-S 3-Đ 4-S 5-Đ 6-Đ 7-S 8-Đ
Câu 18: C
Câu 19: A
Câu 20: B
II. Bài tập tự luận
Dạng 1: Thực hiện phép tính
Bài 1. Thực hiện phép tính
a) 32
3 b) 49
15 c) 5
7
d) 12
Bài 2. Thực hiện phép tính
a) 31
4 b) 13
12
c) 1642
105 d) – 5
Bài 3. Thực hiện phép tính
a) 4
15
b) 6
7
c) 7
3
d) 10
Bài 4: Thực hiện phép tính một cách hợp lý
a) 37
7 b) 44
5 c) 648 d) 2
3
Bài 5. Thực hiện phép tính một cách hợp lý
a) 3
5
b) 150
31 c) 2
51
2
Dạng 2: Tìm x
Bài 6. Tìm x, biết:
a) 97
x
90 b) x 2 c) x 6 d) 2
x
3
Bài 7. Tìm x, biết:
a) 3
x
22 b) 7
x
2 c) 48
x
121 d) x 9
Bài 8. Tìm x, biết
a) 23
x
6 b) 5
x
7 c) x 4và 1
x
2 d) x 1
Bài 9. Tìm x, biết
a) Xét 1
x
4
ta có: 1 3 5 2x x
2 4 8 (thỏa mãn)
Xét 1
x
4
ta có: 1 3 1 2x x
2 4 8 (thỏa mãn)
Vậy ;
1 5
x
8 8
b) ;
9 1
x
8 8
c) 11
x
180
d) ; ;
3 3
x 0
4 4
Dạng 3: Bài toán có nội dung thực tế
a) Lớp 6A có số bạn thích chơi bóng đá là: 3 50 30
5
(học sinh)
b) Số học sinh thích chơi đá cầu của lớp 6A là: 80%50 40(học sinh)
c) Số học sinh thích chơi cầu lông của lớp 6A là: 7 50 35
10
(học sinh)
Bài 10:
Bài 11:
Chiều rộng của bể nước là: , , 3 1 6 1 2
4
(m)
Chiều dài của bể nước là: 150%1,2 1,8 (m)
Thể tích của bể nước hình chữ nhật là: 1,21,81,6 3,456(m3).
Bài 12:
Trong giờ thứ nhất xe đi được số km là: 1 120 40
3
(km)
Trong giờ thứ hai xe đi được số km là: 120 4040% 32(km)
Trong giờ thứ ba xe đi được số km là: 120 40 32 48(km).
Bài 13:
Số học sinh lớp 6A là 42 học sinh, số học sinh lớp 6B là 40 học sinh, số học sinh
lớp 6C là 38 học sinh.
Ngày thứ nhất lớp 6A trồng được 21 cây, ngày thứ hai trồng được 20 cây, ngày
thứ 3 trồng được 15 cây.
Bài 14:
Bài 15:
Ngày thứ hai cửa hàng bán được số phần là: 3 2 4 1
5 7 35
(số mét vải)
Số phần ứng với 40 mét vải là: 2 4 2
5 35 7 (số mét vải)
Vậy cửa hàng đó có số mét vải là: :
2 40 140
7 (m)
Bài 16:
Quyển sách dày 120 trang.
Bài 17:
Số học sinh giỏi của lớp 6A là 15 học sinh,
Số học sinh giỏi của lớp 6B là 18 học sinh,
Số học sinh giỏi của lớp 6C là 12 học sinh.
Bài 18:
Số trứng mang đi bán là 56 quả.
Bài 19:
Số học sinh của lớp 6A là 54 học sinh,
Số học sinh của lớp 6B là 48 học sinh.
Bài 20:
Số học sinh của lớp 6A là 40 học sinh, số học sinh của lớp 6B là 50, số học sinh
của lớp 6C là 48
Vậy tổng số học sinh của 4 lớp là 170 học sinh
Bài 21:
Giá vé sau khi giảm là 180000 đồng.
Bài 22:
a) Tỉ lệ xích của bản vẽ là 1:100000.
Gọi tổng số dụng cụ được giao cho 3 phân xưởng là x (x >0)
Số dụng cụ phân xưởng I làm được là: 3
x
10
Số dụng cụ phân xưởng II làm được là: 9
x
20
Số dụng cụ phân xưởng III làm được là: 3 9 1
x x x x
10 20 4
Theo bài ra ta có: 9 1
x x 84
20 4
Từ đó em tính được x = 420.
Vậy số dụng cụ phân xưởng I đã làm là 126, số dụng cụ phân xưởng II đã làm là
189, số dụng cụ phân xưởng III đã làm là 105 dụng cụ.
Số học sinh giỏi kỳ I lớp 6A là 10 học sinh.
Bài 23:
Bài 24:
Bài 25:
a) Ban đầu cửa hàng có 56 tấn gạo.
b) Ngày 1 cửa hàng bán được 24 tấn gạo, ngày thứ 2 cửa hàng bán được 6 tấn
gạo.
c) Số gạo trong ngày 1 chiếm 42,85% số gạo của cửa hàng.
Dạng 4: Hình học
Bài 26:
+ Vì A và B thuộc 2 tia đối nhau chung gốc O nên điểm O nằm giữa hai điểm A và
B.
Mà theo đề bài ta có: OA = OB = 3cm
Suy ra O là trung điểm của AB.
+ Vì OA = OB (gt); AM = BN (gt) OB + BN = OA + AM hay OM = ON.
Vậy O là trung điểm của MN.
A M O N B
a) Vì D nằm giữa A và B nên: AD + DB=AB.
Thay AB= 6cm ta có AD + DB = 6 (cm)
Lại có AC + DB=9cm (gt) AD + DB < AC + DB hay AD < AC (1)
Mà D và C cùng nằm giữa A và B hay D, C cùng thuộc tia AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra D nằm giữa A và C
A D C B
Bài 27:
b) Vì D nằm giữa A và C suy ra: AD+DC= AC
Lại có AC + BD = 9 nên AD + DC + BD = 9 hay (AD+DB) + DC = 9
Thay (AD+DB) = 6 ta có 6 + DC = 9
Vậy DC = 3 (cm)
Bài 28.
a)
Vẽ đoạn thẳng BC = 6cm.
Vẽ đường tròn tâm B bán kính 4cm.
Vẽ đường tròn tâm C bán kính 4cm.
Hai đường tròn này cắt nhau tại A. Ta có tam giác ABC có BC = 6cm.
Điểm A thuộc đường tròn (B; 4cm) nên AB = 4cm.
Điểm A thuộc đường tròn (C; 4cm) nên AC = 4cm.
Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện đề bài.
b) Học sinh làm tương tự.
A
B C
Bài 29:
a) Xét trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox có: xOy xOz (vì 30o 150o )
Tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz.
Khi đó ta có: xOy yOz xOz hay 30o y
Oz 150o o yOz 120 .
b) Các cặp góc kề bù là: xOy ;yOx ' ; xOz ;zOx '
c) Vì Ot là tia phân giác góc yOz nên o yOz 120 o yOt tOz 60 2 2
Vậy tOz 2.
xOy
t
x'
z
y
O x
a) Xét trên nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox có: xOt xOy (vì o o 55 110 )
Tia Ot nằm giữa hai tia Ox và Oy (1)
Khi đó: xOt tOy xOy hay 55 tOy 110 o o o yOz 55 .
y'
y
x'
t
O x
Bài 30:
x
Ot t
Oy 55o (2)
Từ (1) và (2) suy ra Ot là tia phân giác của góc xOy .
b) o x'Oy' 110
Học sinh tự kể tên các cặp góc kề bù.
Bài 31:
a) o xOt 120
b) Do Om là tia phân giác của góc yOt nên 2.tOm yOt
Tương tự On là tia phân giác của góc xOt nên 2.tOn xOt
Suy ra 2 mOt tOn y o Ot xOt 180
o 180 o mOt tOn 90
2
Vậy mOt và tOn là hai góc phụ nhau.
Tương tự ta có góc mOy và góc xOn là hai góc phụ nhau.
n
m
x
t
y O
Bài 32:
a) Ta có x
Oy y
Ot 180o (Vì 2 góc kề bù)
hay 40o y
Ot 180o y
Ot 140o
Ta có: Om là tia phân giác của tOy nên 1 o tOm tOy 70 2
Vì 2 góc xOy và yOt kề bù nên Ox và Ot là hai tia đối nhau
suy ra t
Om và mOx là hai góc kề bù t
Om o mOx 180 hay
70o mOx 180o mOx 110o
b) Ta có mOx xOn 110o 70o 180o mOx và xOn là hai góc bù nhau (1)
Do Om và Oy cùng thuộc nửa mp có bờ là đường thẳng chứa tia Ox;
Lại có On và Oy nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng chứa
tia Ox nên Om và On nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng
chứa tia Ox mOx và xOn là hai góc kề nhau (2)
Từ (1) và (2) suy ra mOx và xOn là hai góc kề bù hay tia Om và tia On là hai tia
đối nhau (đpcm).
n
t O x
Bài 33:
a) Bốn điểm A,B, M, N thẳng hàng vì chúng cùng nằm trên đường thẳng MN
b) Vì điểm M nằm giữa A và B nên ta có: BM = AB – AM = 2 (cm)
M, N tia AB mà BM > BN (2 cm > 1 cm) N nằm giữa B và M.
Do đó ta có: MN + NB = BM MN = BM – BN = 1 cm MN = BN
Vậy N là đường trung điểm của BM (đpcm).
c) Đường tròn tâm N đi qua B nên CN = NB = 1 cm
Đường tròn tâm A đi qua N nên AC = AN = AM + MN = 4 cm
Vậy chu vi tam giác CAN là: AC + CN + NA = 4 + 1 + 4 = 9 (cm).
C
A M N B
a) Vì A, B cùng thuộc đường tròn tâm O bán kính 4cm nên AO = BO = 4cm.
Vì A, B cùng thuộc đường tròn tâm O’ bán kính 3cm nên AO’ = BO’ = 3cm.
b) Vì N thuộc đường tròn tâm O’ bán kính 3cm nên O’N = 3cm
Lại có N nằm trên đoạn OO’ nên điểm N nằm giữa hai điểm O và O’(1) nên ta có:
ON NO ' OO' hay ON = OO’ – NO’ = 6 – 3 = 3cm.
Suy ra ON = NO’.
B
A
O N M O'
Bài 34:
Vậy N là trung điểm của đoạn thẳng OO’ .
c) MN = 1cm.
Bài 35:
Điểm M nằm giữa hai điểm A, B nên MA = AB – MB = 3 – 1 = 2 (cm)
Suy ra AN = AM = 2cm
Điểm A nằm giữa hai điểm N, B nên BN = AN + AB = 2 + 3 = 5 (cm)
BN = AN + AB, AB không đổi nên BN lớn nhất khi AN lớn nhất.
AN lớn nhất khi AM lớn nhất.
Mà AM lớn nhất khi AM = AB, khi đó M trùng với B và BN = 6 cm.
N A M B
Bài 36:
a) Các cặp góc kề nhau là: xOt ;tOz ; tOz ;zOy ; xOt ;tOy ; xOz ;zOy
Các cặp góc kề bù là: xOt ;tOy ; xOz ;zOy
b) x
Oz 135o ; z
Ot 75o ; t
Oy 120o .
60 45
t z
x y O
a) Trên nửa mặt phẳng bờ Ox ta có xOy xOz (vì o o 90 120 )
nên tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz.
b) Vì tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz nên ta có: xOy yOz xOz
hay 90 yOz 120 yOz 30 o o o .
c) o tOz 60
z t y
O x
t
x'
z y
O x
Bài 37:
Bài 38:
a) Trên nửa mặt phẳng bờ Ox ta có x
Oy x
Oz (vì 60o 120o )
nên tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz (1)
Vì tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz nên ta có: x
Oy y
Oz x
Oz
hay 60o y
Oz 120o y
Oz 60o suy ra x
Oy y
Oz (2)
Từ (1) và (2) suy ra Oy là tia phân giác của x
Oz.
b) Vì x
'Oz và z
Ox là hai góc kề bù nên x
'Oz 180o 120o 60o
Vì x
'Oy và y
Ox là hai góc kề bù nên x
'Oy 180o 60o 120o
Trên nửa mặt phẳng bờ Oy ta có y
Ot y
Ox ' (vì 90o 120o )
nên tia Ot nằm giữa hai tia Oy và Ox’ x
'Ot t
Oy x
'Oy x
'Ot 120o 90o 30o
Xét trên nửa mặt phẳng bờ Ox’ ta có x
'Ot x
'Oz (vì 30o 60o )
nên tia Ot nằm giữa hai tia Ox’ và Oz (3)
Vì tia Ot nằm giữa hai tia Ox’ và Oz nên x
'Ot t
Oz x
'Oz t
Oz 60o 30o 30o
Do đó x
'Ot t
Oz (4)
Từ (3) và (4) suy ra Ot là phân giác của z
Ox' (đpcm).
Dạng 5*: Một số bài tập nâng cao
Bài 39.
a)
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 M
10 11 12 13 14 15 15 15 15 15
M 1
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 15 20 M S 2
10 11 12 13 14 10 10 10 10 10 10 10
Vậy 1 M 2
b) Ta có
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 N
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Vì . 1 1 1 1 1 3
6 7 8 6 2
; . 1 1 1 1 1 3
9 10 11 9 3
; . 1 1 1 1 1 3
12 13 14 12 4
;
1 1 1 1
15 16 17 5
.
Nên 1 1 1 1 1 1 1 1 N 2 2 3
2 3 4 5 2 2 4 4
Chứng minh tương tự ta có N 2.
Vậy ta chứng minh được 2 N 3nên N không phải là số tự nhiên.
Bài 40:
Ta có: 18 19
18 18 18
13 13 12 13 13 1 12 12 A 13
13 1 13 1 13 1
Tương tự ta có:
20
19 19
13 1 12 B 13
13 1 13 1
Vì 18 19
18 19
12 12 13 1 13 1 A B
13 1 13 1
.
Bài 41:
a) Gọi d là ước chung của 6n+5 và 3n+2
Ta có 6n 5d và 3n 2d
3n 2d 23n 2d hay 6n 4d
6n 5 6n 4 d 1 d d 1
Vậy phân số 6n 5
p 3n 2
(nN) là phân số tối giản.
b) Ta có 6n 5 6n 4 1 1
p 2
3n 2 3n 2 3n 2
Phân số p đạt giá trị lớn nhất khi 1
3n 2
đạt giá trị lớn nhất, khi đó 3n+2 đạt giá
trị nhỏ nhất.
Vì 3n 2 2 nên 3n 2nhỏ nhất bằng 2 khi n = 0.
Vậy giá trị lớn nhất của p là 5
2
khi n = 0.
A rút gọn được khi 5n 6;8n 7 1
Đặt 5n 6;8n 7 d
; 5n 6 d
8 5n 6 5 8n 7 13 d d 1 13
8n 7 d
Để 5n 6;8n 7 1thì d = 13.
Khi d =13 5n 613 85n 6 40n 48 39n 39 n 9 13
Mà 39n 3913 n 913
Suy ra n có dạng 13k + 4 (kN)
Vậy n là các số tự nhiên chia 13 dư 4 thì A có thể rút gọn được.
Bài 43.
Ta có: 6n 3 6n 2 5 5 2
3n 1 3n 1 3n 1
Bài 42:
Để phân số 6n 3
3n 1
có giá trị là một số nguyên thì 5
3n 1
có giá trị là một số nguyên.
Suy ra 3n + 1 là ước của 5 nên 3n 15;1;1;5
Xét các trường hợp trên ta tìm được n = 0 và n = -2 thỏa mãn.
Thử lại ta thấy n = 0, n = -2 đúng.
Vậy n =0 hoặc n = -2 thì phân số 6n 3
3n 1
có giá trị một số nguyên.
b) Ta có: n 13 15 1 n 2
n 2 n 2
Để phân số n 13
n 2
là phân số tối giản thì phân số 15
n 2
là phân số tối giản.
Khi đó 15 và n – 2 phải là hai số nguyên tố cùng nhau. Vì 15 có hai ước khác 1,
khác 15 là 3 và 5. Từ đó suy ra n – 2 không chia hết cho 3, không chia hết cho 5.
Vậy n 3k 2 và n 5k 2 k N,k 0 .
a) Ta có:
3 3 3 3 303 ... 5.8 8.11 11.14 x x 3 1540
... 1 1 1 1 1 1 1 1 303
5 8 8 11 11 14 x x 3 1540
1 1 303
x 311
5 x 3 1540
b) Ta đặt ... 1 2 3 198 199 P
199 198 197 2 1
Bài 44:
... 1 2 3 198 P 1 1 1 1 1
199 198 197 2
... . ... 200 200 200 200 200 1 1 1 1 P 200
200 199 198 197 2 200 199 198 2
Do đó:
1 1 1 1 ... 2 3 4 200 1 x 20 . 1 2 3 198 199 200 ... 199 198 197 2 1
. 1 1
x 20 x 20 1 x 21
200 200
.
Vậy x = 21.
Bài 45.
1)
a) 2x 1 1
14 y
2x 1y 14
Mà x, y Z nên 2x + 1 Z, (- y) Z
Suy ra 2x+1; (-y) là ước của 14.
Mà 2x + 1 là số lẻ nên ta có bảng sau:
2x + 1 1 -1 7 - 7
-y 14 -14 2 -2
x 0 -1 3 -4
y -14 14 -2 2
Vậy các cặp số nguyên (x;y) cần tìm là: (0;-14); (-1;14); (3;-2); (-4; 2)
b) Học sinh giải tương tự như trên được các cặp số nguyên (x;y) cần tìm là:
(-29;0); (31;1); (-9;-1); (11; 2); (7;3); (-5;-2); (3;8); (-1;-7).
2) Xét 2x 5y 14
Ta có: 142; 2x2 5y2
Do (5,2)=1 nên y2
Ta có 5y < 14 y 2.
Mà y là số nguyên dương và y2 nên y = 2.
Ta có 2x 5.2 14 2x 4 x 2
Vậy x=2, y=2.
Bài 46.
a) Xét hiệu: A 97x 4y 213x 18y 37x
A chia hết cho 37.
Vì 7x 4y chia hết cho 37 nên 97x 4y chia hết cho 37.
213x 18y chia hết cho 37, mà 2;37 1 suy ra 13x 18y chia hết cho 37.
Vậy nếu 7x 4y37 thì 13x 18y37
b)
Với n = 1 ta có ! 2 A 1 1
Với n = 2 ta có A 1! 2! 3
Với n = 3 ta có ! ! ! 2 A 1 2 3 9 3
Với n = 4 ta có A 1! 2!3! 4! 33
Với n = 5 ta có A 153
Với n = 4 ta có A 873
Nhận xét: với n 5 thì 5!, 6!,….,n! đều tận cùng là 0.
Suy ra
..
! ! ... ! ...
0
A 33 5
6 n 3
A không phải là số chính phương (đpcm).
Vậy n = 1 hoặc n =3.
Bài 47:
- Vì a chia cho 3 dư 2, chia cho 5 dư 3, chia cho 7 dư 4 nên ta có:
a 23, a 35, a 47
Suy ra a 13, a 25, a 37
Suy ra a 1513, a 2505, a 3 497
Suy ra a 523, a 525, a 527
Vậy a + 52 BC(3; 5; 7) a 52105
Suy ra a 52 105k (k = 1, 2, 3,…)
Lần lượt thử k = 1, 2, 3,… mà a là số tự nhiên nhỏ nhất nên với k = 1 ta được:
a = 105 – 52 = 53.
Vậy a = 53 là số cần tìm.
Điều kiện x 49
a) Nếu x < 49 thì x – 49 < 0, ta có A 0 .
Nếu x > 49 thì x – 49 > 0. Vì x nên x 49 và x 49 1.
Khi đó 2019 A 2019
x 49
.
A = 2019 khi x – 49 =1 x = 50.
Vậy A có giá trị lớn nhất là 2019 khi x = 50.
b) Nếu x > 49 thì x – 49 > 0, ta có A 0.
Nếu x < 49 thì 49 – x > 0. Vì x nên 49 x và 49 x 1.
Khi đó 2019 2019 A 2019
x 49 49 x
.
Vậy A = - 2019 khi 49 – x = 1x = 48.
Vậy A có giá trị nhỏ nhất là -2019 khi x = 48.
Bài 48:
Bài 49:
Xét 102 số:
1 a1 25 1;
2 a2 25 1;…;
102 a102 25 1
Theo nguyên lý Dirichlet, 102 số khi chia cho 101 sẽ tồn tại 2 số có cùng số dư.
Giả sử 2 số là am;an cùng số dư khi chia cho 101 (m>n)
m n am a n 101 25 1 25 1 101
25 m 25n 101 25n 25mn 1 101
Vì 25n
,101 1 nên 25 mn 1 101 (đpcm).
Bài 50:
2 3 99 100
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 1 ... .... ... 2 3 2 5 6 7 2 9 15 2 2 1
Ta thấy 1 1 1 1 1.2
2 3 2 2 2
;
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 .4
2 5 6 7 2 2 2 2 2
..........
Làm tương tự với các ngoặc còn lại ta có:
2 3 99
2 3 99
100
1 1 1 1 A 1 .2 .2 .2 ... .2 1 1 1 ... 1 100
2 2 2 2
Vậy A<100. (1)
Mặt khác,
99 100 100 100
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 1 .... ... 2 3 4 5 6 7 8 2 1 2 1 2 2
Ta thấy 2
1 1 1 1 1 1 2.
3 4 4 4 2 2
3
1 1 1 1 1 1 4. 5 6 7 8 2 2
.................
Làm tương tự với các ngoặc còn lại ta có:
100 100
100
1 1 1 1 1 A 1 .... 50 1 50
2 2 2 2 2
Vậy A> 50 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 50<A<100 (đpcm).
0 Nhận xét