PHÒNG GD&ĐT ĐÔNG SƠN TRƯỜNG THCS NGUYỄN CHÍCH (Gồm có 01 trang) ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017 – 2018 Môn thi: Toán - Lớp 7 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (4,0 điểm). a) Tính giá trị biểu thức A =        3,5 3 1 2 1 1 : 4 2 6 7        +7,5 b) Rút gọn biểu thức B = 4 2 9 7 7 7 4 2.8 .27 4.6 2 .6 2 .40.9   c) T×m ®a thøc M biÕt r»ng :   2 2 2 M x xy x xy y      5 2 6 9 . Tính giá trị của M khi x, y thỏa mãn     2018 2020 2 5 3 4 0 x y     . Câu 2(4,0 điểm): Tìm x biết a) 15 3 6 1 12 7 5 2     x x b) 1 1 1 1 49 .... 1.3 3.5 5.7 (2 1)(2 1) 99 x x        c) Tìm x, y nguyên biết 2xy – x – y = 2 Câu 3(6,0 điểm): a) Tìm hai số nguyên dương x và y biết rằng tổng, hiệu và tích của chúng lần lượt tỉ lệ nghịch với 35; 210;12. b) Cho x y z t t x y z z t x y y z t x            chøng minh r»ng biÓu thøc y z t x x y z t t x y z z t x y P             cã gi¸ trÞ nguyªn. c) Cho a,b,c,d  Z thỏa mãn   3 3 3 3 a b c    2 8d .Chứng minh a + b + c + d chia hết cho 3 Câu 4(5,0 điểm): Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ EH BC  H BC   . Biết HBE = 50o ; MEB = 25o . Tính HEM và BME Câu 5 (1,0 điểm): Cho B = 3 8 15 24 2499 ... 4 9 16 25 2500      . Chứng tỏ B không phải là số nguyên. .................................... Hết ...................................... Họ và tên thí sinh: ........................................................ Số báo danh: .................... ĐỀ CHÍNH THỨC PHÒNG GD&ĐT ĐÔNG SƠN TRƯỜNG THCS NGUYỄN CHÍCH HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016-2017 Môn: Toán - Lớp 7 Câu Nội dung Điểm 1 (4.0đ) a) A =        3,5 3 1 2 1 1 : 4 2 6 7        +7,5 = 7 7 3 2        25 15 : 6 7         + 15 2 = 35 85 : 6 42   15 2 = 35 42 . 6 85   15 2 = 49 17  + 15 2 = 157 34 0.5 0.5 b) B = 4 2 9 7 7 7 4 2.8 .27 4.6 2 .6 2 .40.9   =       4 2 3 3 2 9 9 4 7 7 7 7 3 2 2. 2 . 3 2 .2 .3 2 .2 .3 2 .2 .5. 3   = 13 6 11 9 14 7 10 8 2 .3 2 .3 2 .3 2 .3 .5   =     11 6 2 3 10 7 4 2 .3 . 2 3 2 .3 . 2 3.5   = 3 2 1.0 0.5 c)     2 2 2 2 2 2 M x xy x xy y M x xy y x xy            5 2 6 9 6 9 5 2  2 2 2 2 2 M x xy y x xy x xy y         6 9 5 2 11 Ta cã :         2018 2018 2020 2020 2 5 0 2 5 3 4 0 3 4 0 x x y y               Mµ     2018 2020 2 5 3 4 0 x y          2018 2020 2 5 3 4 0 x y          2018 2020 5 2 5 0 2 4 3 4 0 3 x x y y                    . Thay vào ta được M = 2 2 5       + 5 4 11. . 2 3        - 2 3 4        = 4 25 - 3 110 - 9 16 = 36 1159 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 2 (4.0đ) a) 15 3 6 1 12 7 5 2     x x  6 5 3 1 5 4 7 2 x x     6 5 13 ( ) 5 4 14   x  49 13 20 14 x   130 343 x  , Vậy 130 343 x  0.5đ 0.5đ b) 1 1 1 1 49 .... 1.3 3.5 5.7 (2 1)(2 1) 99 x x        1 1 1 1 1 1 1 49 1 ... 2 3 3 5 5 2x 1 2x 1 99                 1 1 49 1 98 1 1 1 1 2 2x 1 99 2x 1 99 2x 1 99                   2x + 1 = 99 2x = 98 x = 49. Vậy x = 49 0.25 0.75 0.5 c) 2xy – x – y = 2  4xy - 2x - 2y = 4 2x(2y - 1) - 2y +1 = 5 (2y -1) ( 2x -1) = 5 HS xét 4 trường hợp tìm ra ( x,y) = 1;3 ; 3;1 ; 2;0 ; 0; 2         Vậy ( x,y) = 1;3 ; 3;1 ; 2;0 ; 0; 2         0.75 0.75 3 (6.0đ) a) Do tổng, hiệu và tích của x và y lần lượt tỉ lệ nghịch với 35; 210; 12. Ta có ( x + y).35 = ( x - y) .210 = 12. xy Từ ( x + y).35 = ( x - y) .210  210 35 210 35 x y x y x y x y        2 2 245 175 x y   7 5 x y    7 5 y x  thay vào đẳng thức ( x + y).35 = 12. xy ta được  y2 - 5y = 0 y(y – 5) = 0 y 0;5mà y > 0 nên y = 5 Với y = 5 thì x = 7. 0,5 0,5 0,5 0,5 b) x y z t t x y z z t x y y z t x             y z t z t x t x y x y z x y z t             1 1 1 1 y z t z t x t x y x y z x y z t                 x y z t z t x y t x y z x y z t x y z t                Nếu x + y + z + t = 0 thì P = - 4 Nếu x + y + z + t  0 thì x = y = z = t  P = 4 Vậy P nguyên 0,75 0,5 0,75 c) Ta có   3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 a b c a b c c          2 8d d 3 15d Mà 3 3 3 15d 3 c   nên 3 3 3 3 a b c    d 3 (1) Dư trong phép chia a cho 3 là 0; 1  suy ra dư trong phép chia a3 cho 3 cũng là 0; 1  hay   3 a a mo  d3 Tương tự ta có   3 b b  mod3 ;   3 c c mo  d3 ;   3 d d mo  d3   3 3 3 3         a b c d a b c d mod3 (2) Từ (1) và (2) suy ra a + b + c + d chia hết cho 3 0.75 0.5 0.75 4 (5,0đ) Vẽ hình ; ghi GT-KL 0,5 a) X a) Xét AMC và EMB có : AM = EM (gt ) AMC = EMB  (đối đỉnh ) BM = MC (gt )  AMC = EMB (c.g.c )  AC = EB ( Hai cạnh tương ứng) Vì AMC = EMB  MAC  = MEB  nà 2 góc này ở vị trí so le trong Suy ra AC // BE . 1,0 0,5 b) Xét AMI và EMK có : AM = EM (gt ) K H E B M A C I MAI = MEK  ( vì    AMC EMB ) AI = EK (gt ) Nên    AMI EMK ( c.g.c )  AMI = EMK  Mà AMI + IME  = 180o ( tính chất hai góc kề bù )  EMK  + IME  = 180o  Ba điểm I;M;K thẳng hàng 1,0 0,5 c) Trong tam giác vuông BHE ( H = 90o ) có HBE  = 50o  HBE  = 90o - HBE  = 90o - 50o = 40o  HEM  = HEB  - MEB  = 40o - 25o =15o BME  là góc ngoài tại đỉnh M của HEM  BME = HEM  + MHE =15o + 90o = 105o 1,0 0,5 5 (1,0đ) b) Ta có: B = 3 8 15 24 2499 ... 4 9 16 25 2500      B= 3 8 15 24 2499 49 1 1 1 1 ... 1 4 9 16 25 2500                  B= 49 - 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ... 2 3 4 5 50            = 49 - M Trong đó M = 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ... 2 3 4 5 50            Áp dụng tính chất Ta có: M < =1- < 1 Ta lại có: M > M > > 0 Từ đó suy ra 0< M <1  B = 49- M không phải là một số nguyên. 0.5 0.5 Chú ý: 1. Thí sinh có thể làm bài bằng cách khác, nếu đúng vẫn được điểm tối đa. 2. Nếu thí sinh chứng minh bài hình mà không vẽ hình thì không chấm điểm bài hình. 3. Chấm và cho điểm từng phần, điểm của toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn.