Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
1
Trang 1
MỤC LỤC
ĐỀ SỐ 1. HUYỆN ĐỨC PHỔ - NĂM 15 – 16 ...................................................................2
ĐỀ SỐ 2. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN ........................................................................................8
ĐỀ SỐ 3. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN ......................................................................................13
ĐỀ SỐ 4. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN ......................................................................................17
ĐỀ SỐ 5. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN ......................................................................................21
ĐỀ SỐ 6. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN ......................................................................................25
ĐỀ SỐ 7. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN ......................................................................................30
ĐỀ SỐ 8. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN ......................................................................................33
ĐỀ SỐ 9. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN ......................................................................................37
ĐỀ SỐ 10. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN ....................................................................................44
ĐỀ SỐ 11. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN ....................................................................................50
ĐỀ SỐ 12. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN ....................................................................................55
ĐỀ SỐ 13. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN ....................................................................................59
ĐỀ SỐ 14. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN ....................................................................................64
ĐỀ SỐ 15. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN ....................................................................................69
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
2
Trang 2
ĐỀ SỐ 1. HUYỆN ĐỨC PHỔ - NĂM 15 – 16
Câu 1: (5 điểm)
a) Tính giá trị biểu thức
1 1
2014 2016
P a a , với 1
2015
a .
b) Tìm số nguyên x để tích hai phân số 6
x 1
và 1
3
x là một số nguyên.
Câu 2: (5 điểm)
a) Choa b 2; 2 . Chứng minh ab a b
b) Cho ba hình chữ nhật, biết diện tích của hình thứ nhất và diện tích của hình thứ hai tỉ lệ
với 4 và 5, diện tích hình thứ hai và diện tích hình thứ ba tỉ lệ với 7 và 8, hình thứ nhất và
hình thứ hai có cùng chiều dài và tổng các chiều rộng của chúng là 27 cm, hình thứ hai và
hình thứ ba có cùng chiều rộng, chiều dài của hình thứ ba là 24 cm. Tính diện tích của mỗi
hình chữ nhật đó.
Câu 3: (3 điểm)
Cho ∆DEF vuông tại D vàDF DE , kẻ DH vuông góc với EF (H thuộc cạnh EF). Gọi M
là trung điểm của EF.
a) Chứng minh MDH E F
b) Chứng minh EF DE DF DH
Câu 4: (2 điểm)
Cho các số 1 2 3 15 0 .... a a a a . Chứng minh rằng 1 2 3 15
5 10 15
... 5
a a a a
a a a
Câu 5: (5 điểm)
Cho ∆ABC có
A 120 . Các tia phân giác BE, CF của ABC và ACB cắt nhau tại I (E, F lần
lượt thuộc các cạnh AC, AB). Trên cạnh BC lấy hai điểm M, N sao cho 0 BIM CIN 30 .
a) Tính số đo của MIN .
b) Chứng minh CE + BF < BC
------------------------------------------Hết---------------------------------------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
3
Trang 3
HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu NỘI DUNG ĐÁP ÁN Điểm
1
2.5 đ
a) Tính giá trị biểu thức
1 1
2014 2016
P a a , với 1
2015
a .
Thay 1
2015
a vào biểu thức
1 1 1 1
2015 2014 2015 2016
P
Ta có 1 1 1 1
2014 2015 2015 2016
P
1 1
2014 2016
P
2016 2014 2
2014.2016 2014.2016
P
1 1
1007.2016 2030112
P
0.25
0.5
0.5
0.5
0.75
2.5 đ
b) Tìm số nguyên x để tích hai phân số 6
x 1
và 1
3
x là một số nguyên.
Đặt 6 1 A
1 3
x
x
2 1
1 1
x
x
2( 1)
1
x
x
2 2
1
x
x
2( 1) 4
1
x
x
4 2
x 1
Để A nhận giá trị nguyên thì x 1 là Ư(4) = 1; 2; 4
Suy ra x 0; 2;1; 3;3; 5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
4
Trang 4
2
2đ
2. a) Choa b 2; 2 . Chứng minh ab a b
Từ 1 1 2
2
a
a
1 1 2
2
b
b
Suy ra 1 1 1
a b
1 a b
ab
Vậy ab a b
0.5
0.5
0.5
0.5
3đ
b)
Gọi diện tích ba hình chữ nhật lần lượt là 1 2 3 S S S , , , chiều dài, chiều rộng
tương ứng là 1 1 2 2 3 3 d r d r d r , ; , ; , theo đề bài ta có:
1 2
2 3
4 7
;
5 8
S S
S S và 1 2 1 2 2 3 3 d d r r r r d ; 27; , 24
Vì hình thứ nhất và hình thứ hai cùng chiều dài
1 1 1 2 1 2
2 2
4 27 3
5 4 5 9 9
S r r r r r
S r
Suy ra chiều rộng 1 2 r cm r cm 12 , 15
Vì hình thứ hai và hình thứ ba cùng chiều rộng
2 2 3
2
3 3
7 7.24 7
21
8 8 8
S d d
d cm
S d
Vậy diện tích hình thứ hai 2
2 2 2 S d r cm 21.15 315
Diện tích hình thứ nhất 2
1 2
4 4 .315 252
5 5
S S cm
Diện tích hình thứ ba 2
3 2
8 8 .315 360
7 7
S S cm
0.5
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
5
Trang 5
3đ
a) Chứng minh MDH E F
Vì M là trung điểm của EF suy ra MD ME MF
MDE cân tại M E MDE
Mà HDE F cùng phụ với
E
Ta có MDH MDE HDE
Vậy MDH E F
b) Chứng minh EF DE DF DH
Trên cạnh EF lấy K sao choEK ED , trên cạnh DF lấy I sao choDI DH
Ta có EF DE EF EK KF
DF DH DF DI IF
Ta cần chứng minh KF IF
- EK ED DEK cân EDK EKD
- 0 EDK KDI EKD HDK 90
KDI HDK
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
I
K
M
H
D E
F
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
6
Trang 6
- DHK DIK (c-g-c)
0 KID DHK 90
Trong ∆KIF vuông tại I KF FI điều phải chứng minh
0.25
0.25
4
(2đ)
Ta có 1 2 3 4 5 5 a a a a a a 5
6 7 8 9 10 10 a a a a a a 5
11 12 13 14 15 15 a a a a a a 5
Suy ra 1 2 15 5 10 15 a a a a a a ........ 5( )
Vậy 1 2 3 15
5 10 15
... 5
a a a a
a a a
0.5
0.5
0.5
0.5
5
(5đ)
- Vẽ hình đúng, đủ, chính xác.
a) Tính số đo của MIN .
Ta có ABC ACB A 180 60
1 1 0 30
2 2
B C
0 BIC 150
Mà 0 BIM CIN 30 0 MIN 90
b) Chứng minh CE BF BC
- 0 BIC 150 0 FIB EIC 30
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.25
0.25
120°
M N
I
F E
A
C B
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
7
Trang 7
Suy ra BFI BMI (g-c-g) BF BM
- CNI CEI ( g-c-g) CN CE
Do đó CE BF BM CN BM MN NC BC
Vậy CE BF BC
0.5
0.5
0.5
0.25
0.25
- Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám
khảo cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm.
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
8
Trang 8
ĐỀ SỐ 2. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN
Câu 1.
a. Thực hiện phép tính:
3 3 0,375 0,3 11 12 1,5 1 0,75
5 5 5 0,265 0,5 2,5 1,25 11 12 3
b. So sánh: 50 26 1 và 168 .
Câu 2.
a. Tìm x biết: x x x 2 3 2 2 1
b. Tìm x y Z ; biết: xy x y 2 5
c. Tìm x; y; z biết:2 3 x y ; 4 5 y z và 4 3 5 7 x y z
Câu 3.
a. Tìm đa thức bậc hai biết f x f x x 1 .
Từ đó áp dụng tính tổngS n 1 2 3 .... .
b. Cho 2 3 3 2
2 3
bz cy cx az ay bx
a b c
Chứng minh: 2 3
x y z
a b c .
Câu 4.
Cho tam giác ABC ( 90o BAC ), đường cao AH. Gọi E; F lần lượt là điểm đối xứng của H
qua AB; AC, đường thẳng EF cắt AB; AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng:
a. AE AF ;
b. HA là phân giác của MHN ;
c. CM EH // ; BN FH // .
------------------------------------------Hết---------------------------------------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
9
Trang 9
HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu Ý Nội dung Điểm
Câu 1
1,5
điểm
a. 0,5
điểm A =
3 3 3 3 3 3 3
8 10 11 12 2 3 4
53 5 5 5 5 5 5
100 10 11 12 2 3 4
1 1 1 1 1 1 1 3 3
8 10 11 12 2 3 4
53 1 1 1 1 1 1 5 5
100 10 11 12 2 3 4
A
165 132 120 110 3
1320 3
53 66 60 55 5 5
100 660
263 3.
1320 3
53 49 5 5.
100 660
263 3.
1320 3 3945 3 1881
1749 1225 5 5948 5 29740
3300
0.25
0.25
b. 1
điểm
Ta có: 50 49 7 ; 26 25 5
Vậy: 50 26 1 7 5 1 13 169 168
0.5
0,5
Câu 2
4
điểm
a. 1
điểm
Nếu x 2 ta có: x x x x 2 2 3 2 1 6
Nếu
3 2
2 x ta có: 2 2 3 2 1 2 x x x x (loại)
Nếu
3
2
x ta có: 4 2 3 2 2 1
5
x x x x
Vậy:x 6 ;
4
5
x
0.25
0.25
0.25
0.25
b. 1.5 Ta có: xy x y x y y 2 5 ( 2) ( 2) 3 0. 5
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
10
Trang 10
điểm (y 2)(x 1) 3.1 1.3 ( 1).( 3) ( 3).( 1)
y 2 3 1 1 3
x 1 1 3 3 1
x 2 4 2 0
y 1 1 3 5
0. 5
0.5
c. 1.5
điểm
Từ: 2 3 ;4 5 8 12 15 x y y z x y z
4 3 5
1 1 1 1 1 1
8 12 15 2 4 3
x y z x y z 4 3 5 7 12
1 1 1 7
2 4 3 12
x y z
1 3 12
8 2
x ;
1 y 12. 1 12 ;
1 4 12
15 5
z
0. 5
0.5
0. 5
Câu 3
1.5
điểm
a. 0.5
điểm
Đa thức bậc hai cần tìm có dạng: 2 f x ax bx c ( 0) a
Ta có : 2
f x a x b x c 1 1 1 .
f x f x ax a b x 1 2 2 1
0
a
b a
1
2
1
2
a
b
Vậy đa thức cần tìm là: 1 1 2
2 2 f x x x c (c là hằng số tùy ý).
Áp dụng:
+ Với x 1 ta có : 1 1 0 . f f
+ Với x 2 ta có : 1 2 1 . f f
………………………………….
+ Với x n ta có : n f n f n 1 .
S n 1 2 3 f n f 0 2 1
2 2 2
n n n n
c c
0.25
0.25
b. 1
điểm
2 3 3 2
2 3
bz cy cx az ay bx
a b c
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
11
Trang 11
2 2 2
2 2 2
2 3 6 2 3 6
4 9
2 3 6 2 3 6 0
4 9
abz acy bcx abz acy bcx
a b c
abz acy bcx abz acy bcx
a b c
2 3 0 bz cy
3 2
z y
c b (1)
3 0 cx az
3
x z
a c (2); Từ (1) và (2) suy ra: 2 3
x y z
a b c
0.5
0.25
0.25
Câu 4
3
điểm
Hình
vẽ
0. 5 đ
0.25
a. 1
điểm
Vì AB là trung trực của EH nên ta có: AE AH (1)
Vì AC là trung trực của HF nên ta có: AH AF (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AE AF
0.25
0.25
0. 5
b. 1
điểm
Vì M AB nên MB là phân giác EMH MB là phân giác ngoài
góc M của tam giác MNH
Vì N AC nên NC là phân giác FNH NC là phân giác ngoài góc
N của tam giác MNH
Do MB; NC cắt nhau tại A nên HA là phân giác trong góc H của tam
giác MNH hay HA là phân giác của MHN .
0.25
0.25
0.5
c. 1
điểm
Ta có AH BC (gt) mà HM là phân giác MHN HB là phân giác
ngoài góc H của tam giác HMN
MB là phân giác ngoài góc M của tam giác HMN (cmt) NB là
0.25
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
12
Trang 12
phân giác trong góc N của tam giác HMN
BN AC ( Hai đường phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc
với nhau). BN HF // ( cùng vuông góc với AC)
Chứng minh tương tự ta có: EH CM //
0.25
0.25
- Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám khảo
cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm.
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
13
Trang 13
ĐỀ SỐ 3. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN
Bài 1 ( 2,0 điểm). Tính hợp lý các biểu thức sau:
a) 1 5 1 5 27 13
4 8 4 8
b) 1 3 4 2
2 4 9
c)
2 3
2 4
2 .10 2 .6
2 .15 2
Bài 2 ( 2,5 điểm). Tìm x biết:
a) 2 3( 2) 4 5
x
b) 1 5 7
3
x
c) 7 5 (2 1) (2 1) x x
Bài 3 (1,5 điểm):
Ba đội cùng chuyển một khối lượng gạch như nhau. Thời gian để đội thứ nhất, đội
thứ hai và đội thứ ba làm xong công việc lần lượt là 2 giờ, 3 giờ, 4 giờ. Tính số người tham
gia làm việc của mỗi đội, biết rằng số người của đội thứ ba ít hơn số người của đội thứ hai
là 5 người.
Bài 4 (3,5điểm):
Cho tam giác ABC vuông tại A với 3
4
AB
AC vàBC cm 15 . Tia phân giác góc C cắt
AB tại D. Kẻ DE BC (E BC)
a) Chứng minh AC CE .
b) Tính độ dài AB; AC.
c) Trên tia AB lấy điểm F sao choAF AC . Kẻ tia Fx FA cắt tia DE tại M. Tính DCM .
Bài 5 (0,5điểm):
Tìm giá trị lớn nhất của biêu thức: A = x x 2
------------------------------------------Hết---------------------------------------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
14
Trang 14
HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu Nội dung Điểm
1
2,0đ
1 5 1 5 5 1 1 5 35 ) 27 13 (27 13 ) 14. 4 8 4 8 8 4 4 8 4
a
0,75
1 3 4 1 2 1 2 7 )2 2 2 4 9 4 3 2 3 6
b
0,75
2 3 3 3 3
2 4 2 4 2 2
2 .10 2 .6 2 .5 2 .6 2 (5 6) 2.11 ) 2 2 .15 2 2 .15 2 2 (15 2 ) 11
c
0,5
1
2,5đ
a) 2 3( 2) 4 5
x
2 3( 2) 4 5
x
18 3( 2) 5
x
6 2
5
x
16
5
x
0,25
0,25
0,25
0,25
1 5 7
3
x
1 12
3
x
1 12
3
x hoặc
1 12
3
x
5
3
3
x hoặc
37
3
x
0,25
0,25
0,5
7 5 (2 1) (2 1) x x
5 2 (2 1) (2 1) 1 0 x x 0,25
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
15
Trang 15
1 2 1 0
2 2 1 1 1
2 1 1 0
x x
x x
x x
0,25
3
1,5đ
Gọi số người tham gia làm việc của đội thứ nhất, đội thứ hai, đội thứ ba
lần lượt là x; y; z (giờ).
ĐK: x y z ; ; 0
Cùng một khối lượng công việc, số người tham gia và thời gian làm việc
tỷ lệ lệ nghịch.
Theo bài ra ta có: 2 3 4 x y z và y z – 5
5 60
1 1 1 1 1
3 4 3 4 12
y z y z
y z x 20, 15, 30 (thoả mãn điều kiện bài toán)
Vậy số người tham gia làm việc của đội thứ nhất, đội thứ hai, đội thứ ba
lần lượt là 30 người, 20người, 15 người
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
4
3,5đ
Vẽ hình, ghi GT, KL đúng : 0,5đ
a) Chứng minh được ACD ECD ( cạnh huyền- góc nhọn)
AC CE (hai cạnh tương ứng)
1
0,5
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
16
Trang 16
b) 3 ( )
4 3 4
AB AB AC gt AC
2 2 2 2 2 2 15 9
9 16 9 16 25 25
AB AC AB AC BC
2 AB AB cm 9.9 81 9
2 AC AC cm 9.16 144 12
0,25
0,5
0,25
c) Kẻ Cy Fx cắt nhau tại K
Ta thấy AC AF FK CK CE và 0 ACK 90
Chứng minh được CEM CKM ( cạnh huyền- cạnh góc vuông)
ECM KCM (hai góc tương ứng)
Mà 1 1 90 45
2 2
DCM DCE ECM ACK
0,25
0,25
5
0,5đ
Xét các trường hợp:
+ TH1 : x A x x 2 ( 2) 2
+TH2 : 0 2 2 2 2 2 x A x x x
+ TH3 : x A x x 0 2 2 2
Với mọi giá trị của x thì A 2
Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 2 khi x 2
0,25
0,25
- Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám khảo
cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm.
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
17
Trang 17
ĐỀ SỐ 4. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN
Câu 1(5 điểm):
a) Cho biểu thức:P x xy y 4 . Tính giá trị của P với x 1,5; y 0,75
b) Rút gọn biểu thức:
12 5 6
6 2 4 5
2 .3 4 .81 A
2 .3 8 .3
Câu 2 (4điểm):
a) Tìm x, y, z, biết: 2 3 ; 4 5 x y y z và x y z 11
b) Tìm x, biết: x x x x 1 2 3 4
Câu 3(3 điểm). Cho hàm số: 3 y f x x x 4
a) Tính f 0 , f 0,5
b) Chứng minh: f a f a .
Câu 4: (1,0 điểm): Tìm cặp số nguyên x y; biết: x y x y .
Câu 5: (6 điểm):Cho ABC có gócA 90 . Vẽ ra ngoài tam giác ABC các tam giác vuông
cân tại A là ABM và ACN
a) Chứng minh rằng: AMC ABN
b) Chứng minh: BN CM;
c) Kẻ AH BC (H BC) . Chứng minh AH đi qua trung điểm của MN.
Câu 6 : (1 điểm):Cho ba số a, b, c thõa mãn: 0 1 2 a b c và a b c 1 . Tìm giá
trị nhỏ nhất của c .
------------------------------------------Hết---------------------------------------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
18
Trang 18
HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu Nội dung Điểm
Câu 1
(5điểm)
a) Ta có: x x 1,5 1,5 hoặc x 1,5
+) Với x 1,5 và y 0,75 thì
P 1,5 4.1,5 0,75 0,75 1,5 1 3 6 0,75 5,25
+) Với x 1,5 và y 0,75 thì
P 1,5 4 1,5 . 0,75 0,75 1,5 1 3 0,75 6,75
1,5
1,5
b)
12 5 6
6 2 4 5
2 .3 4 .81 A
2 .3 8 .3
=
12 5 12 4 12 4
12 6 12 5 12 5
2 .3 2 .3 2 .3 (3 1) 1
2 .3 2 .3 2 .3 (3 1) 3
2
Câu 2
(4 điểm)
a) 2 3 ; 4 5 x y y z ; ; 3 2 5 4 15 10 10 8
x y y z x y y z
11 1
15 10 8 15 10 8 33 3
x y z x y z
10 8 5; ; 3 3
x y z
1
1
b) x x x x 1 2 3 4 (1)
Vì VT 0 4 0 x hay x 0, do đó:
x x x x x x 1 1; 2 2; 3 3
(1) 1 2 3 4 6 x x x x x
1
1
Câu 3
(3điểm)
a) f 0 0
3
1 1 1 1 ( 0,5) 4 0 2 2 2 2 f
1
1
b)
3 3 f a a a a a 4 4 0,5
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
19
Trang 19
3 3 f a a a a a ( ) 4 4
f a f a 0,5
Câu 4
(1 điểm)
x y x y . ( 1) y 1
y xy x y x y x
y
vì x z y y y y y 1 1 1 1 1 1 ,
do đó y 1 1 y 2 hoặc y 0
Nếu y 2 thì x 2
Nếu y 0 thì x 0
Vậy các cặp số nguyên (x;y) là: (0,0) và (2;2)
0,5
0,5
Câu 5
(6 điểm)
a) Xét AMC vàABN , có:
AM AB (AMB vuông
cân)
AC AN (ACN vuông
cân)
MAC NAC
( 90 BAC )
Suy ra AMC ABN
(c - g - c) Hình vẽ 0,5 đ
1,0
0,5
0,5
b) Gọi I là giao điểm của BN với AC, K là giao điểm của BN với MC.
Xét KIC và AIN , có:
ANI KCI ( AMC ABN)
AIN KIC (đối đỉnh)
IKC NAI 90 , do đó: MC BN
1
1
0,5
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
20
Trang 20
c) Kẻ ME AH tại E, NF AH tại F. Gọi D là giao điểm của MN và
AH.
- Ta có: BAH MAE 90 (vìMAB 90)
Lại cóMAE AME 90 , nên AME BAH
Xét MAE vàABH , vuông tại E và H, có:
AME BAH (chứng minh trên)
MA AB
Suy ra MAE ABH (cạnh huyền-góc nhọn)
ME AH
- Chứng minh tương tự ta có AFN CHA
FN AH
Xét MED và NFD , vuông tại E và F, có:
ME NF( AH)
EMD FND (phụ vớiMDE vàFDN , màMDE FDN )
MED NFD BD ND
Vậy AH đi qua trung điểm của MN.
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 6
(1 điểm)
Vì: 0 1 2 a b c nên
0 a b c c c c 1 2 2 2 2
0 4 3 6 c (vì a b c 1 )
Hay 3c 2 2
3 c .
Vậy giá trị nhỏ nhất của c là: 2
3 khi đó 5
3
a b
0,5
0,5
- Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám khảo
cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm.
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
21
Trang 21
ĐỀ SỐ 5. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN
Bài 1: (4 điểm)
Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương thì: 2 2 3 2 3 2 n n n n chia hết cho 10.
Bài 2: (3điểm)
Cho 2 đa thức : 2 3 4 2009 2010 P x x x x x x x 1 ... và
2 3 4 2009 2010 Q x x x x x x x 1 ... . Giá trị của biểu thức
1 1
2 2 P Q
có dạng
biểu diễn hữu tỉ là ;
a
b a,b ; a,b là 2 số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh a 5
Bài 3: (3 điểm)
Cho dãy tỉ số bằng nhau:
2 2 2 2 a b c d a b c d a b c d a b c d
a b c d
Hãy tìm giá trị của biểu thức:
a b b c c d d a M
c d d a a b b c
Bài 4: (4điểm)
Cho a b c M
a b b c c a
với a, b, c > 0.
a) Chứng minh M 1.
b) Chứng tỏ rằng M không phải là số nguyên.
Bài 5: (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A, trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy
điểm E sao cho CE BD . Gọi I là trung điểm của DE. chứng minh ba điểm B, I, C thẳng
hàng.
Bài 6: (2,5 điểm)
Cho ABC cân tại A, có
A 100 , tia phân giác của góc ABC cắt AC tại D. Chứng minh:
AD BD BC .
------------------------------------------Hết---------------------------------------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
22
Trang 22
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài Đáp án Điểm 1(4đi
ểm)
2 2 2 2 3 2 3 2 3 3 2 2 n n n n n n n n 1,0đ
10.3 5.2 n n 1,5đ
Vì n nguyên dương nên 2 2 5.2 10 n n và 10.3 10 n 1,0đ
Vậy: 2 2 3 2 3 2 10 n n n n 0,5đ
2 (3đi
ểm)
Đặt
3 5 2009
1 1 1 1 1 1 2 ...
2 2 2 2 2 2 A P Q
( 1)
suy ra
3 2007
1 1 1 4 10 ...
2 2 2
A
(2)
Từ ( 1) và ( 2) suy ra
2009 2012 2009
2009
1 8 1 2 1 2 3 8
2 3 3.2
a A A
b
( 2 điểm)
Ta thấy: 2012 1006 2 1 4 1 3 ; 2012 2 – 1 và 2009 2 là 2 số nguyên tố cùng nhau
nên 2012 2 – 1 3 . a
2012 503 3 2 1 16 1 a . Vì 503 16 có chữ số tận cùng là 6 nên 3a có chữ số
tận cùng là 5 suy ra số này chia hết cho 5. 3,5 là 2 số nguyên tố cùng nhau
nên a 5 .
3,0đ
3 (3đi
ểm)
Từ 2 2 2 2 a b c d a b c d a b c d a b c d
a b c d
=>
2 2 1 1 a b c d a b c d
a b
=
2 2 1 1 a b c d a b c d
c d
1,0đ
=>
a b c d a b c d a b c d a b c d
a b c d
0,5đ
Nếu a b c d 0 thì a b c d , khi đó: M 1 1 1 1 4 0,5đ
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
23
Trang 23
Nếu a b c d 0 thì a b c d ; b c d a ;
c d a b d a b c ; .
Khi đó: M 1 1 1 1 4.
1,0đ
4 (4đi
ểm)
a) Vì a b c , , 0 nên: ; ;
a a b b c c
a b a b c b c a b c c a a b c
1,0đ
=>
a b c M
a b b c c a
1 a b c
a b c
Vậy: M 1 (1)
1,0đ
b) Mà: a b c
a b b c c a
+
b c a
a b b c a c
=
a b b c c a
a b a b b c b c c a c a
= 3
1,0đ
Vì b c a
a b b c a c
> 1 (tương tự câu a)
Suy ra: M = 2 a b c
a b b c c a
. (2)
0,5đ
Từ (1) và (2) suy ra: 1 2 M nên M không phải là số nguyên. 0,5đ
5 (3,5 đi
ểm)
Học sinh vẽ hình đúng
0,5đ
I
A
B C
E
D
F
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
24
Trang 24
Kẻ DF AC // (F thuộc BC)
DFB ACB (2 góc đồng vị)
Mà ABC ACB (tam giác ABC cân)
DFB ABC DBF cân tại D
1,5đ
DB DF , mà DF CE (gt)
DF CE
0,5đ
IDF IEC (c-g-c)
DIF EIC 0,5đ
Vậy: 3 điểm B, I, C thẳng hàng (vì 3 điểm D, I, E thẳng hàng) 0,5đ
6 (2,5 đi
ểm)
HS vẽ hình đúng
0,5đ
Trên cạnh BC lấy 2 điểm E,F sao cho:
BE BA vàBF BD .
HS chứng minh được: AD DE
0,5đ
HS chứng minh được:DFE cân tại D
Suy ra: DE DF
0,5đ
HS chứng minh được:DFC cân tại F
Suy ra:DF FC .
Suy ra: DE FC
Suy ra: AD BD BC .
1,0đ
- Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám khảo
cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm.
A
B C
D
E F
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
25
Trang 25
ĐỀ SỐ 6. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN
Bài 1 (4 điểm):
a) So sánh hai số:
39
– 5 và
91
– 2
b) Chứng minh rằng: Số 2 2 1 11 12 n n A chia hết cho133 , với mọi n N
Bài 2 (4 điểm):
a) Tìm tất cả các cặp số x y ; thỏa mãn:
2012 2013
2 7 3 0 x y x
b) Tìm số tự nhiên n và chữ số a biết rằng: 1 2 3 . . . n aaa
Bài 3 (4 điểm): Ba lớp 7 ở trường K có tất cả 147 học sinh. Nếu đưa 1
3
số học sinh của lớp
1 7A , 1
4
số học sinh của lớp 2 7A và 1
5
số học sinh của lớp 3 7A đi thi học sinh giỏi cấp huyện
thì số học sinh còn lại của ba lớp bằng nhau. Tính tổng số học sinh của mỗi lớp 7 ở trường
K.
Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC có A B C 3 6 .
a) Tính số đo các góc của tam giác ABC.
b) Kẻ AD vuông góc với BC (D thuộc BC). Chứng minh: AD BD CD .
Bài 5 (4 điểm): Cho tam giác ABC cân ở A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của tia
CA lấy điểm N sao cho AM AN AB 2 .
a) Chứng minh rằng: BM CN
b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.
c) Đường trung trực của MN và tia phân giác của góc BAC cắt nhau tại K. Chứng minh
rằng: KC AC
------------------------------------------Hết---------------------------------------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
26
Trang 26
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài Đáp án Điểm
1
4
điểm
a) So sánh hai số: –
39
5 và –
91
2 2,0đ
Ta có:
13 39 39 3 13 ( 5) 5 5 125 0,75đ
13 91 91 7 13 ( 2) 2 2 128 0,75đ
Ta thấy: 13 13 13 13 39 91 125 128 125 128 ( 5) ( 2) 0,5đ
b) Chứng minh: Số n 2 2n 1 A 11 12 chia hết cho 133, với mọi n 2,0đ
Ta có: 2 2 1 2 2 11 12 11 11 12 12 121.11 12.144 n n n n n n A
(133 12) 11 12.144 133.11 12.11 12.144 n n n n n
133.11 12. 144 11 n n n
1,0đ
Ta thấy: 133.11 133 n
144 11 (144 11) 133 12. 144 11 133 n n n n
0,5đ
Do đó suy ra: 133.11 12. 144 11 n n n chia hết cho 133
Vậy: số n 2 2n 1 A 11 12 chia hết cho 133, với mọi n
0,5đ
2
4
điểm
a) Tìm tất cả các cặp số (x; y): 2,0đ
Ta có: 2012 là số tự nhiên chẵn 2012 (2x y 7) 0
và 2013
x x 3 0 3 0
0,5đ
Do đó, từ
2012 2013
2 7 3 0 x y x
suy ra:
2012
2 – 7 0 x y và 2013
x 3 0
0,5đ
2 – 7 0 x y (1) và x – 3 0 (2) 0,5đ
Từ (2) x 3 0,5đ
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
27
Trang 27
Từ (1) y x 2 7 2.3 7 13
Vậy cặp số x y ; cần tìm là 3; 13
b) Tìm số tự nhiên n và chữ số a 2,0đ
Ta có: 1 1 2 3 . . .
2
n n
n
và aaa a a .111 .3.37 0,5đ
Do đó, từ 1 2 3 . . . 1 2.3.37. n aaa n n a
n n 1 chia hết cho số nguyên tố 37
n hoặc n 1 chia hết cho 37 (1)
0,5đ
Mặt khác: ( 1) 999 ( 1) 1998 45 2
n n
aaa n n n
(2)
Từ (1) và (2) suy ra hoặc n 37 , hoặc n 1 37
0,5đ
- Với n 37 thì 37.38 703
2
aaa (không thỏa mãn)
- Với n 1 37 thì 36.37 666
2
aaa (thỏa mãn)
Vậy n 36 và a 6.
0,5đ
3
4
điểm
Tính tổng số học sinh của mỗi lớp 7 ở trường K. 4,0đ
Gọi tổng số học sinh của 1 2 3 7 , 7 , 7 A A A lần lượt là a, b, c (a,b,cN*)
Theo bài ra ta có :
1 1 1
3 4 5
a a b b c c (*) và a b c 147
1,0đ
Từ (*)
2 3 4
3 4 5
a b c
12 12 12
18 16 15
a b c
18 16 15
a b c 1,0đ
Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta có :
18 16 15
a b c = 147 3
18 16 15 49
a b c .
1,0đ
Suy ra : a b c 54, 48, 45 1,0đ
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
28
Trang 28
Vậy tổng số học sinh của 7A1, 7A2, 7A3 lần lượt là 54, 48 và 45.
4
4
điểm
a) Tính số đo các góc của ABC : 2,0đ
Từ A B C 3 6 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 180 20
6 2 1 6 2 1 9
A B C A B C
1,0đ
ˆ 6.20 120
ˆ 2.20 40
ˆ 1.20 20
A
B
C
Vậy: ˆ ˆ ˆ A B C 120 ; 40 ; 20
1,0đ
b) Chứng minh AD < BD < CD. 2,0đ
- TrongACD có
2 1 ADC C A A 90 ; 20 70 50
- Xét ADB có 1
ˆ ˆ B A AD BD 40 50 (1)
1,0đ
- Xét ABC có ˆ ˆ 0 0 2 2 B C AB AC AB AC 40 20 (*)
- Áp dụng định lý Pytago cho hai tam giác vuông ADB và ADC có:
2 2 2 AB AD BD và 2 2 2 AC AD CD
Do đó, từ (*) 2 2 2 2 AD BD AD CD
2 2 BD CD BD CD (2)
Từ (1) và (2) AD BD CD
1,0đ
5
4
điểm
a) Chứng minh rằng: BM CN 1,0đ
Theo giả thiết, ta có:
2AB AB AB AB AM BM
AM AN AM AC CN
ABC cân ở A AB AC
Do đó, từ AM N AB A 2
BM CN
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
29
Trang 29
b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN. 1,5đ
Qua M kẻ ME AC // (E BC)
ABC cân ở A BME cân ở M EM BM CN
0,75đ
MEI NCI (g-c-g) IM IN
Vậy: BC đi qua trung điểm của MN.
0,75đ
c) Chứng minh rằng: KC AN 1,5đ
+ K thuộc đường trung trực của MN KM KN (1)
+ ABK ACK (c-g-c) KB KC (2); ABK ACK (*)
+ Kết quả câu c/m câu a) BM CN (3)
0,5đ
+ Từ (1), (2) và (3) BMK CNK (c-c-c) ABK NCK (**) 0,5đ
+ Từ (*) và (**) 180 90
2
ACK NCK KC AN 0,5đ
- Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám khảo
cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm.
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
30
Trang 30
ĐỀ SỐ 7. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN
Bài 1: (6 điểm)
a) Tìm x, biết
2 1
3
x ;
b) Tính giá trị của biểu thức sau:
2 2 3 1
3 2
x x A
x
với 2 1
3
x
Bài 2: (3 điểm)
a) Tìm chữ số tận cùng của A biết 2 2 3 – 2 3 – 2 n n n n A biết * n
b) Tìm các giá trị nguyên của x để 3
2
x
x
nhận giá trị nguyên.
Bài 3: (4 điểm)
Cho đa thức f x xác định với mọi x thỏa mãn: 2 x f x x f x . 2 – 9 . .
a) Tính f 5 .
b) Chứng minh rằng f(x) có ít nhất 3 nghiệm.
Bài 4: (6 điểm)
Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh C bờ là đường thẳng
AB dựng đoạn AE vuông góc với AB và AE AB . Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh B bờ là
đường thẳng AC dựng đoạn AF vuông góc với AC vàAF AC . Chứng minh rằng:
a) FB EC
b) EF AM 2
c) AM EF .
Bài 5: (1 điểm)
Cho a b c d , , , là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A x a x b x c x d
------------------------------------------Hết---------------------------------------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
31
Trang 31
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài Hướng dẫn chấm Điểm
1
(6đ)
a) Ta có
2 5 1 2 3 3 1
3 2 1 1
3 3
x x
x
x x
4.0đ
b) Từ câu a) Với 5
3
x thay vào A ta được
14
27
A
Với 1
3
x thay vào A ta được
2
9
A 2.0đ
2
(3đ)
a) 2 2 3 – 2 3 – 2 n n n n A
9. 9 1 . 3 3 – 4.2 – 2 3 – 4 1 .2 3 1 . 0 – 5 2. n n n n n n n n
10.3 10 n và 5.2 10 n (do * n hay n 1 ) A10
Chứng minh A chia hết cho 10 suy ra chữ số tận cùng của A là 0
1.5đ
b) Ta có:
3 2 5 5 1 2 (5) 1; 5 2 2 2
x x Z x U
x x x
x 1;3; 3;7
1.5đ
3
(4đ)
a) Ta có với x f 3 5 0
b) x f x 0 0 0 0 là một nghiệm
x f x 3 5 0 5 là một nghiệm
x f x 3 1 0 1 là một nghiệm
Vậy f(x) có ít nhất là 3 nghiệm.
2.0đ
2.0đ
4
(6đ)
a) Chứng minh ABF AEC cgc FB EC ( )
b) Trên tia đối của tia MA lấy K sao cho
AK AM 2 . Ta có ABM KCM
CK AB //
0 ACK CAB EAF CAB 180
ACK EAF
EAF và KCA có AE AB CK ;
AF AC (gt); ACK EAF
EAF KCA (cgc) EF AK AM 2 .
c) Từ EAF KCA CAK AFE
0 AFE FAK CAK FAK 90
AK EF
3.0đ
1.5đ
1.5đ
M
I
A
B C
E
K
F
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
32
Trang 32
5
(1đ)
Không mất tính tổng quát, giả sửa b c d
Áp dụng BĐT a b a b , dấu bằng xảy ra ab 0 ta có:
x a x d x a d x x a d x d a (1)
x b x c x b c x x b c x c b (2)
Suy ra A c d a b Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi dấu “=” ở (1) và (2)
xảy ra x a d x – – 0 và ( )( ) 0 x b c x a x d và b x c
Do đó minA c d a b b x c
1.0đ
- Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám khảo
cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm.
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
33
Trang 33
ĐỀ SỐ 8. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN
Bài 1: ( 2,0 điểm)
a. Tìm x, y biết:
4 4
7 7
x
y
và x y 22
b. Cho
3 4
x y và
5 6
y z . Tính 2 3 4
3 4 5
x y z M
x y z
Bài 2: ( 2,0 điểm)
Thực hiện tính:
a. 2010 2009 2008 S 2 2 2 ... 2 1
b. 1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 ... 1 2 3 ... 16
2 3 4 16
P
Bài 3: ( 2,0 điểm)
Tìm x biết:
a.
1 2 3 4 5 30 31 . . . . ... . 2
4 6 8 10 12 62 64
x
b.
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
5 5 5 5 5
4 4 4 4 6 6 6 6 6 6 . 2
3 3 3 2 2
x
Bài 4: ( 4,0 điểm)
Cho tam giác ABC có
B 90 và B C 2 . Kẻ đường cao AH. Trên tia đối của tia BA lấy
điểm E sao choBE BH . Đường thẳng HE cắt AC tại D.
a. Chứng minh BEH ACB .
b. Chứng minh DH DC DA .
c. Lấy B’ sao cho H là trung điểm củaBB ' . Chứng minh AB C' cân.
d. Chứng minhAE HC .
------------------------------------------Hết---------------------------------------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
34
Trang 34
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1: (2,0 điểm)
28 7 28 4 x y 0,25
4 7 4 7
x y x y 0,25
22 2
4 7 11
x y x y 8; 14 0,25
3 4 15 20
x y x y ;
5 6 20 24
y z y z
15 20 24
x y z (1) 0,25
(1) 2 3 4 2 3 4
30 60 96 30 60 96
x y z x y z
0,25
(1) 3 4 5 3 4 5
45 80 120 45 80 120
x y z x y z
0,25
2 3 4 3 4 5 2 3
: :
30 60 96 45 80 120 30 45
x y z x y z x x
0,25
2 3 4 245 2 3 4 186 . 1
186 3 4 5 3 4 5 245
x y z x y z M
x y z x y z
0,25
Bài 2: ( 2,0 điểm)
Thực hiện tính:
2011 2010 2009 2 2S 2 2 2 ... 2 2 0,25
2011 2010 2010 2009 2009 2 2 2S S 2 2 2 2 2 ... 2 2 2 2 1 0,25
2011 2010 S 2 2.2 1 0,25
2011 2011 S 2 2 1 1 0,25
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
35
Trang 35
1 2.3 1 3.4 1 4.5 1 16.17 1 . . ...
2 2 3 2 4 2 16 2
P 0,25
2 3 4 5 17 . ... 2 2 2 2 2
0,25
1 1 2 3 ... 17 1
2
0,25
1 17.18 1 76
2 2
0,25
Bài 3: ( 2,0 điểm)
6
1 2 3 4 5 30 31 . . . . ... . 2
2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.31 2
x 0,25
30 6
1.2.3.4...30.31 2
1.2.3.4...30.31.2 .2
x 0,25
36
1 2
2
x 0,25
x 36 0,25
5 5
5 5
4.4 6.6 . 2
3.3 2.2
x 0,25
6 6
6 6
4 6. 2
3 2
x 0,25
6 6
6 4 . 2
3 2
x
0,25
12 2 2 12 x x 0,25
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
36
Trang 36
Bài 4: ( 4,0 điểm)
Câu a: 0,75 điểm Hình vẽ:
BEH cân tại B nên
1 E H 0,25
1 ABC E H E 2 0,25
ABC C BEH ACB 2 0,25
Câu b: 1,25 điểm
Chứng tỏ được DHC cân tại D
nênDC DH . 0,50
DAH có: DAH C 90 0,25
2 DHA H C 90 90 0,25
DAH cân tại D nên DA DH . 0,25
Câu c: 1,0 điểm Câu d: 1,0 điểm
ABB ' cân tại A nên B B C ' 2 0,25 AB AB CB ' ' 0,25
B A C ' 1 nên 1 2C A C 0,50 BE BH B H ' 0,25
C A1 AB C' cân tại B’
0,25
Có: AE AB BE
HC CB B H ' '
AE HC
0,50
- Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám khảo
cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm.
1
2
1
A
E
C
B
H B'
D
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
37
Trang 37
ĐỀ SỐ 9. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN
I. Phần trắc nghiệm khách quan: (6 điểm)
Câu 1: Giá trị của x trong biểu thức 2 ( 1) 0,25 x là:
A. 9 1
;
4 4 . B. 1 9
;
4 4 . C. 9 1
;
4 4 . D. 9 1
;
4 4 .
Câu 2: Cho xOy 50 , điểm A nằm trên Oy. Qua A vẽ tia Am . Để Am song song với Ox
thì số đo của OAm là:
A.50 . B.130 . C. 50 và 130 D. 80 .
Câu 3: Cho hàm số y f x xác định với mọix 1 . Biết f n n f n 1 . – 1 và
f 1 1 . Giá trị của f(4) là:
A. 3. B. 5. C. 6. D. 1.
Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại B, AB 6 ,
A 30 . Phân giác góc C cắt AB tại D.
Khi đó độ dài đoạn thẳng BD và AD lần lượt là:
A. 2; 4 . B. 3; 3. C. 4; 2. D. 1; 5.
Câu 5: Cho 2 4 m a . Kết quả của 6 2 5 m a là:
A.123 . B.133 . C. 123 D. 128 .
Câu 6: Cho tam giác DEF có E F= . Tia phân giác của góc D cắt EF tại I . Ta có:
A. DIE DIF . B. DE DF,IDE IDF .
C.IE IF DI EF ; D Cả A, B,C đều đúng
Câu 7: Biết a b 9 . Kết quả của phép tính 0, ( ) 0, ( ) a b b a là:
A. 2. B. 1. C. 0,5. D. 1,5 .
Câu 8: Cho
2
a b a b 6 . 36 . Giá trị lớn nhất của x a b . là:
A. 6 B. 6 C. 7. D. 5.
Câu 9: Cho tam giác ABC, hai đường trung tuyến BM, CN. BiếtAC AB . Khi đó độ dài
hai đoạn thẳng BM và CN là:
A.BM CN B.BM CN C.BM CN D. BM CN
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
38
Trang 38
Câu 10: Điểm thuộc đồ thị hàm số y x 2 là :
A.M 1; 2 . B.N 1;2 . C.P 0 ; 2 . D. Q 1; 2
Câu 11: Biết rằng lãi suất hàng năm của tiền gửi tiết kiệm theo mức 5% năm là một hàm số
theo số tiền gửi:i p 0,005 . Nếu tiền gửi là 175000 thì tiền lãi sẽ là:
A. 8850 đ B. 8750 đ C. 7850 đ D.7750 đ
Câu 12: Cho tam giác ABC cân tại A
A 20 . Trên cạnh AB lấy điểm D sao choAD BC .
Số đo của góc BDC là:
A.50 B.70 C. 30 D. 80
II. Phần tự luận (14 điểm)
Câu 1.(3 điểm)
a, Chứng tỏ rằng: 2017 2016 2 M 75. 4 4 ... 4 4 1 25 chia hết cho 2 10
b, Cho tích a b. là số chính phương vàa b, 1 . Chứng minh rằng a và b đều là số chính
phương.
Câu 2.(4 điểm)
2.1 Cho đa thức A x x x x x 2 .( 3) ( 7) 5( 403)
Tính giá trị của A khix 4 . Tìm x để A 2015
2.2 Học sinh khối 7 của một trường gồm 3 lớp tham gia trồng cây. Lớp 7A trồng toàn bộ
32,5% số cây. Biết số cây lớp 7B và 7C trồng được theo tỉ lệ 1,5 và 1,2. Hỏi số cây cả 3 lớp
trồng được là bao nhiêu, biết số cây của lớp 7A trồng được ít hơn số cây của lớp 7B trồng
được là 120 cây.
Câu 3.(5 điểm)
1. Cho đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB vẽ hai tia
Ax và By lần lượt vuông góc với AB tại A và B. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên
tia Ax lấy điểm C và trên tia By lấy điểm D sao choCOD 90 .
a) Chứng minh rằng: AC BD CD .
b) Chứng minh rằng:
2
. 4
AB AC BD
2. Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H. Chứng minh rằng:
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
39
Trang 39
2 ( )
3
HA HB H C AB AC B C
Câu 4.(2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của A, biết : A x y z x xy yz zx 7 5 2 3 2000
------------------------------------------Hết---------------------------------------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
40
Trang 40
HƯỚNG DẪN CHẤM
I. Phần trắc nghiệm khách quan: (6 điểm)
Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Đ. án A C C A B D B A C D B C
II. Phần tự luận (14 điểm)
Câu Nội dung chính Điểm
1(4
điểm)
M 75. 4 4 4 4 1 25 2017 2016 2
2017 2016 2 25.(4 1) 4 4 4 4 1 25
2017 2016 2 2017 2016 2 25 4 4 4 4 4 1 4 4 4 4 1 25
2018 2017 2 2017 2016 2 25. 4 4 4 4 25 4 4 4 4 1 25
2018 25.4 25 25
2018 2017 2017 25.4 25.4.4 100.4 100
Vậy M 102
b, Đặt 2 a b c . (1)
Gọi a c d , nên a d,c d
Hay a m d . và c n d . với m n, 1
Thay vào (1) ta được 2 2 m d b n d . . .
2 2 m b n d b n . vì a b b d , 1 ,
Và 2 2 n b b n
Thay vào (1) ta có 2 a d đpcm
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,5
2(4
điểm)
1. Ta có 2 2 A x x x x x 2 6 7 5 2015 2 x x4 2015
a, Với x 4 ta được A 2015 1
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
41
Trang 41
b, 2 0
2015 4 0 ( 4) 0 4
x
A x x x x
x
2. Gọi số cây ba lớp trồng lần lượt là a, b, c ( cây, a,b,c N*)
Theo đề bài ta có b c: 1,5 : 1,2 và b a – 120
a a b c 32,5%
Vậy cả 3 lớp trồng được số cây là 2400 cây
1
1
1
3(5
điểm)
A, Vẽ tia CO cắt tia đối của tia By tại điểm E.
Chứng minh AOC BOE g c g AC BE CO EO ;
Chứng minh DOC DOE c g c CD ED
Mà ED EB BD AC BD .
Từ đó : CD AC BD (đpcm)
b, Áp dụng định lí Pytago vào các tam giác vuông BOE và BOD ta có:
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
OE OB EB
OE OD OB EB DB
OD OB DB
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
y
x
D
E
O
A B
C
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
42
Trang 42
Mà 2 2 2 OE OD DE ; Nên
2 2 2 2 DE OB EB DB 2
2 2 . .( ) OB EB DE BD DB DE BE
2 2 . . . . OB EB DE EB BD DB DE DB BE
2 2 . . 2 . OB EB DE DB DE BD BE
2 2 2 2 . 2 . 2 2 . OB DE EB DB BD BE OB DE BD BE
Suy ra 2 2 2 2 . 0 . OB BD BE BD BE OB
Mà ; 2
AB BE AC OB .
Vậy
2 2
. 2 4
AB AB AC BD
(đpcm)
2.
Qua H kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại D, kẻ đường thẳng
song song với AC cắt AB tại E
Ta có AHD HAE (g –c-g)
AD HE AE HD ;
AHD có HA HD AD nên HA AE AD (1)
Từ đó HE BH
HBE vuông nên HB BE (2)
Tương tự ta có HC DC (3)
Từ 1,2,3 ta có HA HB HC AB AC (4)
Tương tự HA HB HC AB BC (5)
HA HB HC BC AC (6)
Từ đó suy ra 2
3
HA HB HC AB A C BC đpcm
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
43
Trang 43
4
(2
điểm)
Ta có 7 5 0 x y ; 2 3 0 z x và xy yz zx 2000 0
Nên A x y z x xy yz zx 7 5 2 3 2000 0
Mà A = 0 khi và chỉ khi
7 5 2 3 2000 0 x y z x xy yz zx
Có: 7 5 0 7 5
5 7
x y x y x y
2 3 0
2 3
x z
z x
xy yz zx xy yz zx 2000 0 2000
Từ đó tìm được
20; 28; 30
20; 28; 30
x y z
x y z
A 0 , mà A x y z 0 ( , , ) (20;28;30) hoặc ( , , ) ( 20; 28; 30) x y z
Vậy minA x y z 0 ( , , ) (20;28;30) hoặc ( , , ) ( 20; 28; 30) x y z
1
1
- Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám khảo
cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm.
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
44
Trang 44
ĐỀ SỐ 10. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN
Bài 1: Thực hiện phép tính (6 điểm).
a) 3 2 5 9
: .
4 3 9 4
; b)
1 1 1
45 1 1 1
19 2 3 4
; c)
15 9 20 9
10 19 29 6
5.4 .9 4.3 .8
5.2 .6 7.2 .27
.
Bài 2: (6 điểm)
a) Tìm x, biết:2 1 – 3 2 2 – 4 2 3 16 x x x ;
b) Tìm x, biết:
1 21 3 : 2 1
2 22
x
c) Tìm x, y, z biết: 2 3 2
5 15
x y y z và x z y 2 .
Bài 3: (1,5 điểm) Cho tỉ lệ thức
a c
b d .
Chứng minh rằng : a c b d a c b d 2 2 .
Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A; K là trung điểm của BC. Trên tia đối của
tia KA lấy D , sao cho KD KA .
a. Chứng minh: CD AB // .
b. Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N .
Chứng minh rằng: ABH CDH
c. Chứng minh: HMN cân.
Bài 5: (2 điểm): Chứng minh rằng số có dạng abcabc luôn chia hết cho 11.
------------------------------------------Hết---------------------------------------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
45
Trang 45
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1: Thực hiện phép tính (6 điểm).
Giải:
a) 3 2 5 9
: .
4 3 9 4
3 2 5 9 3 1 9
: :
4 3 9 4 4 9 4
0,75đ
=
3 9 9 36 . 9
4 1 4 4
0,75đ
b)
1 1 1
4
1
3
1
2
1
19
45
1 1 1
45 1 1 1 45 1
19 2 3 4 19 1 1
2 1 4
3
1,0đ
= 45 26 19 1
19 19 19 1,0đ
c)
15 9 20 9
10 19 29 6
5.4 .9 4.3 .8
5.2 .6 7.2 .27
15 9 20 9
10 19 29 6
5.4 .9 4.3 .8
5.2 .6 7.2 .27
=
2.15 2.9 2 20 3.9
10 19 19 29 3.6
5.2 .3 2 .3 .2
5.2 .2 .3 7.2 .3
01đ
29 18 2
29 18
2 .3 5.2 3
2 .3 5.3 7
01đ
= 10 9 1
15 7 8
0,5đ
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
46
Trang 46
Bài 2: (6 điểm)
Giải:
a. Tìm x, biết: 2(x-1)-3(2 x+2)-4(2 x+3)=16
2 2 6 6 8 12 16 x x x 0,25đ
12 – 20 16 x 0,25đ
12 36 x 0,50đ
x 3 0,50đ
b. Tìm x, biết:
1 21 3 : 2 1
2 22
x
Nếu
1
2
x . Ta có: (vì nếu
1
2
x thì2 – 1 0 x ) 0,25đ
1 21 3 : 2 1
2 22
x
7 21 : (2 1) 2 22
x 0,25đ
7 21 7 22 11 2x 1 :
2 22 2 21 3 0,25đ
11 14 2x 1
3 3
0,25đ
14 7 1 x : 2
3 3 2
(thỏa mãn) 0,25đ
Nếu
1
2
x . Ta có: 0,25đ
1 21 3 : 2 1
2 22
x
7 21 : (1 2 ) 2 22 x 0,25đ
11 8 2 1
3 3 x 0,25đ
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
47
Trang 47
8 4 1 x : ( 2) 3 3 2
0,25đ
Vậy
7
3
x hoặc
4
3
x 0,25đ
c. Tìm x, y, z biết : 2 3 2
5 15
x y y z và x z y 2
Từ x z y 2 ta có:
x y z – 2 0 hay 2 – 4 2 0 x y z hay 2 – – 3 2 0 x y y z 0,25đ
hay 2 – 3 – 2 x y y z 0,25đ
Vậy nếu:
2 3 2
5 15
x y y z thì: 2 – 3 – 2 0 x y y z (vì5 15 ). 0,25đ
Từ 2 – 0 x y suy ra:
1
2
x y 0,25đ
Từ 3 – 2 0 y z và x z y x z y z 2 2 0 hay 1
2
y y – 0 z 0,25đ
hay 3
2
y z 0 hay 2
3 y z suy ra:
1
3
x z 0,25đ
Vậy các giá trị x, y, z cần tìm là: 1 2
; ; 3 3 x z y z z
hoặc
1 3
; ; 2 2 x y y z y
hoặc { ; 2 ; 3 } | x y x z x
0,5đ
Bài 3: (1,5 điểm) Cho tỉ lệ thức
a c
b d .
Chứng minh rằng : a c b d a c b d 2 2
Ta có: a c b d a c b d 2 2
ab ad cb cd ab ad cb cd 2 2 2 2 0,75đ
cb ad suy ra:
a c
b d 0,75đ
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
48
Trang 48
Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A; K là trung điểm của BC. Trên tia đối của
tia KA lấy D , sao cho KD KA .
a. Chứng minh: CD AB // .
b. Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N .
Chứng minh rằng: ABH CDH
c. Chứng minh: HMN cân.
Giải:
a/ Chứng minh CD song song với AB.
Xét 2 tam giác ABK và DCK có:
0,25đ
BK CK (gt)
BKA CKD (đối đỉnh) 0,25đ
AK DK (gt) 0,25đ
ABK DCK (c-g-c) 0,25đ
DCK DBK ; mà ABC ACB 90 ACD ACB BCD 90 0,25đ
ACD BAC 90 AB CD // (AB AC và CD AC ). 0,25đ
b. Chứng minh rằng: ABH CDH
Xét 2 tam giác vuông: ABH và CDH có:
0,25đ
BA CD (do ABK DCK )
AH CH (gt) 0,25đ
M N
H
D
K
A C
B
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
49
Trang 49
ABH CDH (c-g-c) 0,50đ
c. Chứng minh: HMN cân.
Xét 2 tam giác vuông: ABC và CDA có:
0,25đ
AB CD ; ACD BAC 90 ; AC cạnh chung: ABC CDA (c-g-c)
ACB CAD 0,25đ
mà: AH CH (gt) và MHA NHC (vì ABH CDH ) 0,50đ
AMH CNH (g-c-g) 0,50đ
MH NH . Vậy HMN cân tại H 0,50đ
Bài 5: (2 điểm): Chứng minh rằng số có dạng abcabc luôn chia hết cho 11.
Giải:
Ta có: 5 4 3 2 abcabc a b c a b c .10 .10 .10 .10 .10 0,25đ
2 3 3 3 a b c .10 10 1 .10 10 1 . 10 1 0,50đ
3 2 10 1 a.10 b.10 c 0,50đ
2 2 (1000 1) a 10 b.10 c 1001 a.10 b.10 c 0,25đ
2 11.91 a.10 b.10 c 11 0,25đ
Vậy abcabc11 0,25đ
Hết
- Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám khảo
cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm.
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
50
Trang 50
ĐỀ SỐ 11. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN
Câu 1 (2,5 điểm).
Tính:
a) 7,3.10,5+7,3.15+2,7.10,5+15.2,7
b) 9 10 10 19 3 9 4 6 2 12 : 2 27 15.4 .9
Câu 2 (5 điểm).
So sánh A và B trong mỗi trường hợp sau:
a) 2012
4025
A ;
1999
3997
B
b) 21 A 3 ; 31 B 2
c) 2011 2011 2011 2011 ..... 1.2 3.4 5.6 1999.2000
A ;
2012 2012 2012 2012 ..... 1001 1002 1003 2000
B
Câu 3 (5 điểm).
a) Chứng minh rằng: 1 2 3 100 3 3 3 3 x x x x chia hết cho 120 (với x N)
b) Cho 3 2 2 4 4 3
4 3 2
x y z x y z . Chứng minh rằng: 2 3 4
x y z
c) Cho f(x) là hàm số xác định với mọi x thỏa mãn điều kiện f x x f x f x 1 2 1 2 . . và
f 2 10 . Tính f 32 .
Câu 4 (5 điểm). Cho tam giác ABC cóAB AC . Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao
cho CD AB . Gọi I là giao điểm các đường trung trực của BC và AD.
a) Chứng minh AIB DIC
b) Chứng minh AI là tia phân giác của góc BAC.
c) Kẻ IE vuông góc với AB, chứng minh 1 AE AD
2 .
Câu 5 (2,5 điểm). Cho 100 số hữu tỉ trong đó tích của bất kì ba số nào cũng là một số âm.
Chứng minh rằng tất cả 100 số đó đều là số âm.
------------------------------------------Hết---------------------------------------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
51
Trang 51
HƯỚNG DẪN CHẤM
CÂU ý ĐÁP ÁN ĐIỂM
Câu
1
(2,5đ
)
a
1,5đ
7,3.10,5+7,3.15+2,7.10,5+15.2,7
10,5 (7,3 2,7) 15.(7,3 2,7)
=10,5.10+15.10
=105+150=255
0,5
0,5
0,5
b
1đ
10 10 19 3 9 4 69.2 12 : 2 27 15.4 . .9
9 9 10 20 10 19 9 18 8 3 2 2 2 3 : 2 3 3.5 2 3
19 9 18 9 2 3 (1 2.3) : 2 3 (2 5)
=(2.7) : 7=2
0,5
0,25
0,25
Câu
2
(5đ)
a
2đ
2012 2012 1 1 1999 1999 2012 1999
; 4025 4024 2 2 3998 3997 4025 3997
2012 1999
4025 3997
. Vậy A B
1,5
0,5
b
1,5đ
10 21 2 10 A 3 3. 3 3.9
10 31 3 10 B 2 2. 2 2.8
Suy ra A B
0,5
0,5
0,5
c
1,5đ
2011 2011 2011 2011 ..... 1.2 3.4 5.6 1999.2000
A
1 1 1 1 1 1 1 2011. 1 ....
2 3 4 5 6 1999 2000
1 1 1 1 1 1 1 2011. 1 .... ....
3 5 1999 2 4 6 2000
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2011. 1 .... 2. ....
2 3 4 5 6 1999 2000 2 4 6 2000
0,25
0,25
0,25
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
52
Trang 52
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2011. 1 .... 1 ....
2 3 4 1999 2000 2 3 999 1000
1 1 1 1 1 2011. ....
1001 1002 1003 1999 2000
1 1 1 1 2012. .....
1001 1002 1003 2000
B
Suy ra A B
0,25
0,25
0,25
Câu
3
(5đ)
a
2,5đ
1 2 3 100 3 3 3 3 x x x x
1 2 3 4 5 6 7 8 3 3 3 3 3 3 3 3 x x x x x x x x
97 98 99 100 3 3 3 3 x x x x
2 3 4 4 2 3 4 96 2 3 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 x x x
4 96 3 .120 3 .120 3 120 . x x x
4 96 120 3 3 3 120 x x x (đpcm)
0,75
0,75
0,5
0,5
b
1,5đ
3 2 2 4 4 3
4 3 2
x y z x y z . Suy ra:
4(3 2 ) 3(2 4 ) 2(4 3 ) 12 8 6 12 8 6 0
16 9 4 29
x y z x y z x y z x y z
Vậy
3 2 0 3 2 (1) 4 2 3
x y x y x y
2 4 0 2 4 (2) 3 2 4
z x x z
z x
Từ (1) và (2) ta được
2 3 4
x y z
0,75
0,25
0,25
0,25
c
1đ
Vì f x x f x f x 1 2 1 2 . . nên
f f f f 4 2.2 2 . 2 10. 10 100
f f f f (16) (4.4) (4) . (4) 100.100 10000
f f f f (32) (16.2) (16). (2) 10000.10 100000
0,5
0,25
0,25
Hình vẽ 0,5
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
53
Trang 53
Câu
4
(5đ)
a
1,5đ
Vì I là giao điểm các đường trung trực của BC và AD
nên IB IC , IA ID
Lại có AB CD (gt)
Do đó AIB DIC (c.c.c)
0,25
0,5
0,25
0,5
b
1,5đ
AID cân ở I, suy ra DAI D
AIB DIC (câu a), suy ra BAI D
Do đó DAI BAI .
Vậy AI là tia phân giác của góc BAC
0,5
0,250
,5
0,25
c
1,5đ
Kẻ IP AD , ta có AIE AIP ( cạnh huyền-góc nhọn)
AE AP Mà
2
AD AP (vì P là trung điểm AD)
Suy ra 1 AE AD
2
0,5
0,25
0,5
0,25
Câu
5
a
1đ
Trong 100 số đã cho, phải có ít nhất một số âm (vì nếu cả 100 số đều
dương thì tích của ba số bất kì không thể là một số âm).
Ta tách riêng số âm đó ra. Chia 99 số còn lại thành 33 nhóm, mỗi nhóm
3 thừa số.
Theo đề bài, mỗi nhóm đều có tích là một số âm nên tích của 33 nhóm
0,25
0,25
0,25
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
54
Trang 54
(2,5đ
)
tức là của 99 số là một số âm.
Nhân số âm này với số âm đã tách riêng từ đầu ta được tích của 100 số
là một số dương
0,25
b
1,5đ
Sắp xếp 100 số đã cho theo thứ tự tăng dần, chẳng hạn
1 2 3 100 a a a a
Các số này đều khác 0 (vì nếu có 1 thừa số bằng 0 thì tích của nó với
hai thừa số khác cũng bằng 0, trái với đề bài).
Xét tích 98 99 100 a a a . . 0 98 a 0 (vì nếu 98 a 0 thì 99 a 0 , 100 a 0 ,
tích của ba số này không thể là một số âm).
Vậy 1 2 3 98 a a a a , , , ..., là các số âm.
Xét tích 1 2 99 a a a . . 0 mà 1 2 a a 0 nên 99 a 0
Xét tích 1 2 100 a a a . . 0 mà 1 2 a a 0 nên 100 a 0
Vậy tất cả 100 số đã cho đều là số âm.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
- Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám khảo
cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm.
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
55
Trang 55
ĐỀ SỐ 12. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN
Bài 1 (5 điểm)
a) Thực hiện phép tính:
12 5 6 2 10 3 5 2
6 3 2 4 5 9 3
2 .3 4 .9 5 .7 25 .49
2 .3 8 .3 125.7 5 .14
A
b) Tính giá trị biểu thức: B 1.2.3 2.3.4 3.4.5 4.5.6 17.18.19
c) Tìm một số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng nếu tăng chữ số hàng trăm thêm n đơn vị
đồng thời giảm chữ số hàng chục và giảm chữ số hàng đơn vị đi n đơn vị thì được một
số có 3 chữ số gấp n lần số có 3 chữ số ban đầu.
Bài 2 (3 điểm)
a) Tìm các số x, y, z biết rằng: 3 4 , 5 6 x y y z vàxyz 30 .
b) Tìm x biết: 1 3 3 1,6 2 4 5
x
Bài 3 (3 điểm)
1) Cho hàm số y f x m x – 1
a) Tìm m biết: f f 2 – –1 7
b) Chom 5 . Tìm x biết f x 3 – 2 20
2) Cho các đơn thức
1 2 2 A x yz 2 , 3 2 2
4 B xy z , 3 C x y
Chứng minh rằng các đơn thức A, B, C không thể cùng nhận giá trị âm.
Bài 4 (7 điểm). Cho ABC nhọn có góc
A 60 . Phân giác ABC cắt AC tại D, phân giác
ACB cắt AB tại E. BD cắt CE tại I.
a) Tính số đo góc BIC.
b) Trên cạnh BC lấy điểm F sao choBF BE . Chứng minh CID CIF.
c) Trên tia IF lấy điểm M sao choIM IB IC . Chứng minh BCM là tam giác đều.
Bài 5 (2 điểm)
Tìm số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện: 2 3 4 n n 11 2.2 3.2 4.2 n 2 2
------------------------------------------Hết---------------------------------------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
56
Trang 56
HƯỚNG DẪN CHẤM
BÀI Ý NỘI DUNG ĐIỂM
1
(5đ)
a
12 5 6 2 10 3 5 2 12 5 12 4 10 3 10 4
6 3 12 6 12 5 9 3 9 3 3 2 4 5 9 3
2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 2 .3 2 .3 5 .7 5 .7
2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7 2 .3 8 .3 125.7 5 .14
A
0.5
12 4 10 3
12 5 9 3 3
2 .3 3 1 5 .7 1 7
2 .3 3 1 5 .7 1 2
A
0.5
2 5.( 6)
3.4 9
A 0.5
1 10 7
6 3 2
A 0.5
b
4 1.2.3.4 2.3.4. 5 – 1 3.4.5. 6 – 2 17.18.19. 20 – 16 B 0.5
4 1.2.3.4 2.3.4.5 – 1.2.3.4 3.4.5.6 – 2.3.4.5 17 B .18.19.20 – 16.17.18.19 0.5
4 17.18.19.20 B 0.5
B 17.18.19.5 29070 0.5
c
Gọi số có 3 chữ số cầìm tìm là abc (a, b, c là STN có 1 chữ số,a 0 )
Theo bài ra ta có: ( )( )( ) . a n b n c n n abc
0.25
100 10 – – 100 10 a n b n c n n a b c
100 100 10 – 10 – 100 10 a n b n c n an bn cn
100 1 10 – 1 – 1 89 n a n b n c n
n a b c n 1 100 10 89
0.25
89 – 1 n n mà 89; – 1 1 n nên n n – 1 0.25
Tìm được n 2
Số có 3 chữ số cần tìm là 178 0.25
2
(3đ)
a
; 4 3 6 5 8 6 5
x y y z x y z k 0.25
x k y k z k 8 , 6 , 5 0.25
3 1 30 8 .6 .5 30 240 30
2 xyz k k k k k 0.5
5 4, 3, 2
x y z 0.5
b
1 3 3 1 3 8 3 1,6 2 4 5 2 4 5 5
x x 0.25
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
57
Trang 57
1 3 1
2 4
x 0.25
1 1
2 4
x 0.5
3
; 4
x
1
4
x 0.5
3
(3đ)
1.a
Vì f f m m (2) ( 1) 7 ( 2) 2 ( 1) ( 1) 7 0.25
2m 4 m 1 7 0.25
3 5 7 4 m m 0.5
1.b
Với m 5 ta có hàm số y f x x 4 0.25
Vì f x x (3 2 ) 20 4(3 2 ) 20 0.25
12 8x 20 x 1 0.5
2
Giả sử cả 3 đơn thức A, B, C cùng có giá trị âm
AB C . . có giá trị âm (1) 0.25
Mặt khác: 3 6 4 4 .B.
8 A C x y z 0.25
Vì 6 4 4 0 3
8
x y z x y, AB C . . 0 x y; (2) 0.25
Ta thấy (1) mâu thuẫn với (2) điều giả sử sai.
Vậy ba đơn thức A, B, C không thể cùng có giá trị âm. 0.25
4
(7đ)
Vẽ hình đúng, ghi đúng giả thiết, kết luận
0.5
4
3
2
2 1 1
N
M
F C
E
D
I
B
A
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
58
Trang 58
a
BD là phân giác của góc ABC nên
1 2 2
ABC B B
CE là phân giác của góc ACB nên
1 2 2
ACB C C
0.5
Mà tam giác ABC có 0 A B C 180 suy ra
60 180 ABC ACB 0.5
ABC ACB 120 B C 60 2 1 0.5
120 BIC 0.5
b
BIE BIF (cgc) BIE BIF 0.5
BIC 120 BIE 60 BIE BIF 60 0.5
Mà BIE BIF CIF 180 CIF 60 0.5
0 CID BIE 60 (đ.đ) CIF CID 60 0.5
CID CIF (gcg) 0.5
c
Trên đoạn IM lấy điểm N sao cho IB IN NM IC 0.5
BIN đều BN BI và BNM 120 0.5
BNM BIC (cgc) 0.5
BM BC và B B 2 4 BCM đều 0.5
5
(2đ)
Đặt 2 3 4 n S 2.2 3.2 4.2 n.2
3 4 5 n 1 2 3 4 n S 2S S 2.2 3.2 4.2 n 2 2.2 3.2 4.2 n.2
0.5
1 3 3 4 1 2 2 2 2 2 2 n n n S n 0.5
Đặt 3 4 n 1 n T 2 2 2 2 . Tính được n 1 3 T 2T T 2 2 0.5
n 1 3 n 1 3 n 1 S n.2 2 2 2 (n 1).2
n 1 n 11 10 10 (n 1) 2 2 n 1 2 n 2 1 1025
0.5
- Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám khảo
cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm.
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
59
Trang 59
ĐỀ SỐ 13. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN
Câu 1. (1,5 điểm)
a)
2 2 1 1 0,4 0,25 2014 9 11 3 5 :
7 7 1 2015 1,4 1 0,875 0,7 9 11 6
M
b) Tìm x, biết: 2 2 x x x 1 2 .
Câu 2. (2,5 điểm)
a) Cho a, b, c là ba số thực khác 0, thoả mãn điều kiện:
a b c b c a c a b
c a b
.
Hãy tính giá trị của biểu thức 1 1 1 b a c B
a c b
.
b) Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia
cho ba lớp tỉ lệ với 5 : 6 : 7 nhưng sau đó chia theo tỉ lệ 4 : 5 : 6 nên có một lớp nhận nhiều
hơn dự định 4 gói. Tính tổng số gói tăm mà ba lớp đã mua.
Câu 3. (2,0 điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 2 2 2 2013 x x với x là số nguyên.
b) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x y z xyz .
Câu 4. (3,0 điểm) Cho xAy 60 có tia phân giác Az . Từ điểm B trên Ax kẻ BH vuông
góc với Ay tại H, kẻ BK vuông góc với Az và Bt song song vớiAy , Bt cắt Az tại C. Từ
C kẻ CM vuông góc với Ay tại M . Chứng minh :
a ) K là trung điểm của AC.
b ) KMC là tam giác đều.
c) Cho BK = 2cm. Tính các cạnh AKM
Câu 5. (1,0 điểm). Cho ba số dương 0 1 a b c chứng minh rằng:
2
1 1 1
a b c
bc ac ab
------------------------------------------Hết---------------------------------------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
60
Trang 60
HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu Nội dung Điểm
Câu 1
(1,5 điểm)
1) Ta có:
2 2 1 1 0,4 0,25 2014 9 11 3 5 :
7 7 1 2015 1,4 1 0,875 0,7 9 11 6
M
2 2 2 1 1 1
2014 5 9 11 3 4 5 :
7 7 7 7 7 7 2015
5 9 11 6 8 10
1 1 1 1 1 1 2
5 9 11 3 4 5 2014
:
1 1 1 7 1 1 1 2015 7
5 9 11 2 3 4 5
2 2 2014 : 0
7 7 2015
0.25đ
0.25đ
0.25đ
2) vì 2 x x | 1 | 0 nên (1) 2 2 x x x | 1 | 2 hay x - 1 2
+) x 3
+) x 1
0.25đ
0.25đ
0.25đ
Câu 2
(2,5 điểm)
1)
+Nếu a b c 0
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có:
1 a b c b c a c a b a b c b c a c a b
c a b a b c
mà 1 1 1 2 a b c b c a c a b
c a b
2 a b b c c a
c a b
Vậy B 1 1 1 8 b a c b a c a b c
a c b a c b
0.25đ
0.25đ
0.25đ
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
61
Trang 61
+Nếu a b c 0
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có:
0 a b c b c a c a b a b c b c a c a b
c a b a b c
mà 1 1 1 1 a b c b c a c a b
c a b
1 a b b c c a
c a b
Vậy B 1 1 1 1 b a c b a c a b c
a c b a c b
0.25đ
0.25đ
0.25đ
2) Gọi tổng số gói tăm 3 lớp cùng mua là x ( x là số tự nhiên khác 0)
Số gói tăm dự định chia chia cho 3 lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu lần lượt là:
a, b, c
Ta có: 5 6 7
; ; 5 6 7 18 18 18 18 3 18
a b c a b c x x x x x a b c
(1)
Số gói tăm sau đó chia cho 3 lớp lần lượt là a’, b’, c’, ta có:
' ' ' ' ' 4 5 6
; ; 4 5 6 15 15 15 15 3
' ' 1 ' 5 ' a b c a b c x x x x x a b c
(2)
So sánh (1) và (2) ta có: a a ;b b ;c c nên lớp 7C nhận nhiều
hơn lúc đầu.
Vây: c c '– 4 hay 6 7 4 4 360
15 18 90
x x x
x
Vậy số gói tăm 3 lớp đã mua là 360 gói.
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Câu 3
(2,0 điểm)
1) Ta có: A x x x x 2 2 2 2013 | 2 2 | | 2013 2 |
2 2 2013 2 2015 x x
Dấu “=” xảy ra khi 2013 (2 2)(2013 2 ) 0 1 2
x x x
Vậy Min A 2015 khi 2013 1
2 x , x
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
62
Trang 62
2) Vì x,y,z nguyên dương nên ta giả sử 1 x y z
Theo bài ra 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 3 1
yz yx zx x x x x
2 x x 3 1
Thay vào đầu bài ta có 1 1 0 y z yz y yz z
y z z (1 ) (1 ) 2 0
(y 1)(z 1) 2
TH1: y y 1 1 2 và z 1 2 z 3
TH2: y y 1 2 3 và z z 1 1 2
Vậy có hai cặp nghiệp nguyên thỏa mãn (1,2,3);(1,3,2)
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Câu 4
(3,0 điểm)
Vẽ hình , GT _ KL
a, ABC cân tại B do CAB ACB MAC và BK là đường cao
BK là đường trung tuyến K là trung điểm của AC
0,25đ
0,5đ
0,25đ
b, ABH BAK ( cạnh huyền + góc nhọn )
BH AK ( hai cạnh t. ý ) mà 1 AK AC
2
1 BH AC
2
Ta có : BH CM ( t/c cặp đoạn chắn )
mà 1 CK BH AC CM CK
2
MKC là tam giác cân ( 1 )
0,25đ
0,25đ
0,25đ
y
z
x
M
C
K
H A
B
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
63
Trang 63
Mặt khác MCB 90 và ACB 30
MCK 60 (2)
Từ (1) và (2) MKC là tam giác đều
0,25đ
c) Vì ABK vuông tại K mà KAB 30 AB 2BK 2.2 4cm
Vì ABK vuông tại K nên theo Pitago ta có:
2 2 AK 16 4 12 AB BK
Mà 1 KC AC KC AK 12
2
KCM đều KC KM 12
Theo phần b) AB BC 4
AH BK 2
HM BC (HBCM là hình chữ nhật)
AM AH HM 6
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Câu 5
(1 điểm)
Vì 0 1 a b c nên:
1 1 ( 1)( 1) 0 1 1 1
c c a b ab a b
ab a b ab a b
(1)
Tương tự:
1
a a
bc b c
(2) ; 1
b b
ac a c
(3)
Do đó:
1 1 1
a b c a b c
bc ac ab b c a c a b
(4)
Mà 2 2 2 2( ) 2 a b c a b c a b c
b c a c a b a b c a b c a b c a b c
(5)
Từ (4) và (5) suy ra: 2
1 1 1
a b c
bc ac ab
(đpcm)
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
- Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám khảo
cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm.
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
64
Trang 64
ĐỀ SỐ 14. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN
Câu 1: (4,0 điểm)
1. Thực hiện phép tính:
7 3 3
7
7 2
2 9 3 .5 :
5 4 16 . 2 .5 512
A
2. Cho 16 25 9
9 16 25
x y z và 3 2 1 15 x . Tính B x y z .
Câu 2: (4,0 điểm)
1. Tìm x, y biết: 3
10 x x y và 3
50 y x y .
2. Tìm x biết: 1 3 0.
2
x x
Câu 3: (5,0 điểm)
1. Tìm số tự nhiên n để phân số 7 8
2 3
n
n
có giá trị lớn nhất.
2. Cho đa thức p(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a, b, c, d là các hệ số nguyên. Biết rằng, p x 5
với mọi x nguyên. Chứng minh rằng a, b, c, d đều chia hết cho 5.
3. Gọi a, b,c là độ dài các cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
The linked image cannot be displayed. The file may have been moved, renamed, or deleted. Verify that the link points to the correct file and location.
Câu 4: (5,0 điểm). Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D (D khác B, C).
Trên tia đối của tia CB, lấy điểm E sao cho CE = BD. Đường vuông góc với BC kẻ từ D cắt
AB tại M. Đường vuông góc với BC kẻ từ E cắt đường thẳng AC tại N, MN cắt BC tại I.
1. Chứng minh DM = EN.
2. Chứng minh IM = IN, BC < MN.
3. Gọi O là giao của đường phân giác góc A và đường thẳng vuông góc với MN tại I.
Chứng minh rằng BMO CNO . Từ đó suy ra điểm O cố định.
Câu 5: (2,0 đ) Cho các số thực dương a và b thỏa mãn 100 100 101 101 102 102 a b a b a b
Hãy tính giá trị của biểu thức: 2014 2015 P a b .
------------------------------------------Hết---------------------------------------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
65
Trang 65
HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu Nội dung Điểm
1
(4,0đ)
1.
7 3 3 7 3
7 6 3 7 3
7 2 7 2 7 2 7 2 7 2 7 2 2
2 9 3 2 9 3 .5 : .5 :
5 4 16 5 4 16 2 2 3 2 12 1 . 2 .5 512 2 .5 2 .2 2 .5 2 .2 2 5 2 2
A
2,0
2. Ta có: 3 3 3 3 3 2 1 15 2 16 8 2 2. x x x x x
Suy ra: 18 25 9
9 16 25
y z
Do đó, ta có: 18 25 25 32 57.
9 16
y y y
18 9 9 50 41.
9 25
z
z z
Vậy B x y z 2 57 41 100.
0,5
0,25
0,5
0,5
0,25
2
(4,0đ)
1. Trừ từng vế hai đẳng thức đã cho ta được:
2
3 3 9 3 2
10 50 25 5 x x y y x y x y x y x y
Suy ra: 3 .
5 x y
Thay 3
5 x y vào hai đẳng thức đã cho ta được
1 1
; .
2 10 x y
Thay 3
5 x y vào hai đẳng thức đã cho ta được
1 1
; .
2 10 x y
0,75
0,25
0,5
0,5
2. Từ 1 3 0
2
x x
suy ra x – 3 và 1
2
x cùng dấu.
Dễ thấy
1 3
2
x x nên ta có:
x – 3 và 1
2
x cùng dương x x 3 0 3
x – 3 và 1
2
x cùng âm 1 1 0
2 2
x x
0,25
0,5
0,5
0,5
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
66
Trang 66
Vậy x 3 hoặc
1
2
x 0,25
3
(5,0đ)
1. Ta có:
7 8 7 5 2 7 8 7 2 3 5 . 2 3 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3
n n n
n n n n
Phân số đã cho có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi
5
2 2 3 n lớn nhất.
Từ đó suy ra: n 2.
Vậy giá trị lớn nhất của phân số đã cho bằng 6 khi n 2.
0,75
0,25
0,75
0,25
2. Vì p x 5 với mọi x nguyên nên p d 0 5
p(1) a b c d 5 (1)
p a b c d ( 1) 5 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 2( ) 5 b d và 2( ) 5 a c
Vì2 5 b d , mà 2;5 1 nên b d b 5 5
p a b c d 2 8 4 2 5 mà d 5;b 5 nên 8 2 5. a c
Kết hợp với 2( ) 5 6 5 5 a c a a vì6;5 1 . Từ đó suy ra c5
Vậy a, b, c, d đều chia hết cho 5.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
3. Vì a b c nên 1 . a a a a
b c b c b c a
(1)
Tương tự, ta có: 1 . b b b b
c a c a c a b
(2)
1 . c c c c
a b a b a b c
(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: 2 2 2 2. a b c a b c
b c c a a b a b c
0,25
0,25
0,25
0,25
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
67
Trang 67
4
(5,0đ)
1.
Tam giác ABC cân tại A nên ABC ACB NCE ACB ; ; (đối đỉnh)
Do đó: MDB NEC g c g DM EN ( . . ) .
0,75
0,75
2. Ta có MDI NEI g c g MI NI ( . . )
Vì BD CE nênBC DE .
Lại có DI MI , IE IN nên DE DI IE MI IN MN
Suy ra BC MN .
0,5
0,75
0,25
3) Ta chứng minh được:
ABO ACO c g c OC OB ABO ACO ( . . ) , .
MIO NIO c g c OM ON ( . . ) .
Ta lại có: BM CN . Do đó BMO CNO c c c ( . . )
MBO NCO , Mà: MBO ACO suy ra NCO ACO , mà đây là hai góc
kề bù nên CO AN.
Vì tam giác ABC cho trước, O là giao của phân giác góc A và đường vuông góc
với AC tại C nên O cố dịnh.
0,75
0,5
0,5
0,25
5
(2,0đ)
Ta có đẳng thức: 102 102 101 101 100 100 a b a b a b ab a b với mọi a, b.
Kết hợp với: 100 100 101 101 102 102 a b a b a b
0,5
0,5
I C
B E
M
N
A
O
D
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
68
Trang 68
Suy ra: 1 1 1 0. a b ab a b
100 101 102
100 101 102
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
a b b b b
b a a a a
Do đó 2014 2015 2014 2015 P a b 1 1 2.
0,5
0,5
- Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám khảo
cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm.
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
69
Trang 69
ĐỀ SỐ 15. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN
Bài 1: (4,0 điểm).
a) Tính giá trị biểu thức A = 1 2 3,5
3
1 1 : 4 3
6 7
+7,5
b) Rút gọn biểu thức: B =
4 2 9
7 7 7 4
2.8 .27 4.6
2 .6 2 .40.9
c) Tìm đa thức M biết rằng: 2 2 2 M x xy x xy y 5 2 6 9 .
Tính giá trị của M khi x, y thỏa mãn 2012 2014
2 5 3 4 0 x y .
Bài 2: (4,0 điểm).
a) Tìm x : 1 1 1
x
2 5 3
b) Tìm x, y, z biết: 2 3 ; x y 4 5 y z và x y z 11
c) Tìm x, biết : 1 11
2 2 n n
x x
(Với n là số tự nhiên)
Bài 3: (4,0 điểm).
a) Tìm độ dài 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 13cm. Biết độ dài 3 đường cao tương ứng
lần lượt là 2cm, 3cm, 4cm.
b) Tìm x, y nguyên biết : 2 2 xy x y
Bài 4: (6,0 điểm). Cho tam giác ABC (AB AC ,
B 60 ). Hai phân giác AD và CE của
ABC cắt nhau ở I, từ trung điểm M của BC kẻ đường vuông góc với đường phân giác AI
tại H, cắt AB ở P, cắt AC ở K.
a) Tính AIC
b) Tính độ dài cạnh AK biết PK = 6cm, AH = 4 cm.
c) Chứng minh IDE cân.
Bài 5: (2.0 điểm) Chứng minh rằng 10 là số vô tỉ.
------------------------------------------Hết---------------------------------------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
70
Trang 70
HƯỚNG DẪN CHẤM
Nội dung Điểm
Bài 1
(4,0đ) .
Câu a: (1 điểm)
1 1 1 2 3,5 : 4 3 7,5
3 6 7
A
7 7 25 22 15
:
3 2 6 7 2
35 43 15
:
6 42 2
245 15 490 645 155
43 2 86 86 86
Câu b: ( 1 điểm)
B=
4 2 9
7 7 7 4
2.8 .27 4.6
2 .6 2 .40.9
=
13 6 11 9
14 7 10 8
2 .3 2 .3
2 .3 2 .3 .5
=
11 6 2 3
10 7 4
2 .3 . 2 3
2 .3 . 2 3.5
=
2
3
Câu c: (2 điểm)
2 2 2 M x xy x xy y 5 2 6 9
2 2 2 M x xy y x xy 6 9 5 2
2 2 2 2 2 M x xy y x xy x xy y 6 9 5 2 11
Ta có 2012 2014
2 5 3 4 0 x y
Ta có :
2012
2012 2014
2014
2 5 0
2 5 3 4 0
3 4 0
x
x y
y
Mà 2012 2014
2 5 3 4 0 x y 2012 2014
2 5 3 4 0 x y
0.5 đ
0,5đ
0,5đ
0.5
0.5
0,5
0.25
0.5
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
71
Trang 71
=>
2012
2014
1 2 2 5 0 2
1 3 4 0 1
3
x x
y y
. Vậy
1 2
2
1 1
3
x
y
Vậy
2 2
5 5 4 4 25 110 16 1159 M 11
2 2 3 3 4 3 9 36
0.25
2.
(1,0đ)
1 1 1
x
2 5 3
1 1 1
5 2 3
x
1 1
5 6
x
TH1: 1 1
5 6
x
1
30
x
TH2: 1 1
5 6
x
1 1 11
6 5 30
x
Vậy
1 11
; 30 30
x x
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
b.
(1,5đ)
Ta có : 2 3 x y suy ra 3 2
x y hay 15 10
x y
4 5 y z suy ra 5 4
y z hay 10 8
y z
Vậy 15 10 8
x y z
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau
15 10 8
x y z =
15 10 8
x y z
=
11 1
33 3
Suy ra 10 8 5, , 3 3 x y z
0.25đ
0.5đ
0.5đ
0.25
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
72
Trang 72
c
1,5
điểm
1 11 ( 2) ( 2) n n x x
1 11 ( 2) ( 2) 0 n n x x
1 10 ( 2) 1 ( 2) 0 n x x
TH 1: n 1 (x 2) 0 suy ra x 2
TH2: 10 1 ( 2) 0 x
10 ( 2) 1 x
x 2 1 suy ra x 1
x 2 1 suy ra x 3
Vậy x x x 2; 1; 3
0.25
0.5
0.25
0.5
Bài 3
(4.0đ)
a
(2.0đ)
Gọi độ dài ba cạnh của tam giác là x, y,z ( cm) ( x,y,z > 0)
Theo bài ra ta có : x y z 13
và 2 3 4 2 ABC x y z S
Suy ra 6 4 3
x y z
Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau
6 4 3
x y z = 13 1
6 4 3 13
x y z
suy ra x y z 6; 4 ; 3
KL:
0,25 đ
0,75 đ
0,75
0.25
b.
(2,0đ)
2 – – 2 xy x y
4 2 2 4 xy x y
2 2 1 2 1 5 x y y
2 1 2 1 5 y x
HS xét 4 trường hợp tìm ra , x y 1;3 ; 3;1 ; 2;0 ; 0; 2
( Mỗi trường hợp đúng cho 0.25 đ)
Vậy , x y 1;3 ; 3;1 ; 2;0 ; 0; 2
0,5 đ
0,5 đ
1 đ
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
73
Trang 73
Bài 4
(6.0đ)
1
(2.0đ)
a/ Ta có ABC 60 suy ra BAC BCA 120
AD là phân giác của BAC suy ra IAC BAC 1
2
CE là phân giác của ACB suy ra ICA BCA 1
2
Suy ra 1 IAC ICA 120 60
2
VâyAIC 120
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.25đ
0.25đ
2
(2đ)
b/ Xét AHP và AHK có
PAH KAH ( AH là phân giác của BAC )
AH chung
PHA KHA 90
Suy ra AHP AHK (g-c-g) suy ra PH KH ( 2 cạnh tương
ứng). Vậy HK cm 3
Vì AHK vuông ở H theo định lý Pitago ta có
2 2 2 2 2 AK AH HK 4 3 25
Suy ra AK cm 5
0.5 đ
0,5 đ
0.5
0.25
0.25
c
(2.0đ)
Vì AIC 120
Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 !
[Document title]
Toán Họa tổng hợp
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7
74
Trang 74
Do đó AIE DIC 60
Trên cạnh AC lấy điểm F sao cho AF AE
Xét EAI và FAI có
AE AF
EAI FAI
AI chung
Vậy EAI FAI (c-g-c)
suy ra IE IF (hai cạnh tương ứng) (1)
AIE AIF 60 suy ra FIC AIC AIF 60
Xét DIC và FIC có
DIC FIC 60 ; Cạnh IC chung; DIC FCI
Suy ra DIC FIC ( g-c-g)
Suy ra ID IF (hai cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra IDE cân tại I
0,25 đ
0,5 đ
0.25
0.5
0.25
0.25
Bài 5
(2,0đ)
Giả sử 10 là số hữu tỷ
10 a
b ( a,b là số tự nhiên , b khác 0 ;a b; 1 )
2
2 10 a
b Suy ra 2 2 a b 10
2 2 2 a 2 a 4 10b 4 b 2 b 2
Vậy (a;b) 1 trái giả sử.
Nên 10 là số vô tỷ
0.25đ
0.5đ
0.25đ
0.25đ
0.5đ
0.25đ
- Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám khảo
cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm.
0 Nhận xét